2022-2023学年北京北师大实验中学高二（上）期中数学试题及答案

2022北京北师大实验中学高二（上）期中数学班级_________姓名_________学号_________成绩_________1．本试卷共7页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分分，考试时间120分钟2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号考生须知3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。4．在答题卡上，选择题须用铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答第I卷(共100分)一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知空间向量a=(2,0)，b=0−，则(a+b)b=A．2−B．1C．1D2a=垂直，则2．若直线x−y−3=0与ax+2y−1=0112A．2−B．2C．D．−23．若x2+y−4x−2y+m=0表示圆的方程，则m的取值范围是2A．(,B．(−,5(+)C．+)D．4．平行六面体ABCD−ABCD中，设ABa，=AD=b，AA1=C，若M为AC1=的中点，则1111111111A．a+b+cB．a+b+cC．a+b+cD．a+b+c2222220−，，则线段B(4,3,2)ABA上靠近的三等分点的坐标为5．已知A．−−B．0)C．(2,1)D．(4,3)6l的一个方向向量为vnm的一个法向量为的一个法向量为的是v,n30l①若，则与所成的角为°；；所成的角为°；②若l与所成角为，则v,n30m,n=60，则平面与③若④若平面与A所成的角为°，则，n=60B．①③C．②④D．①③④7．点(−1.2关于直线)x+y+4=0的对称点的坐标为A．(−−(−−)B．6(−−)C．7,2(−−)D．78．三棱锥SABC中，−,SB,两两垂直，=1，==2，则点到平面的距离为S23622A．B．C．D．3333()=9．已知点M的坐标为a,b，圆M与x轴交于,B两点，与y轴交于C,D两点，则“CD”是a=b“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10P为函数y=3x图像上的动点，Q是圆C:xa(−)2yb+(−)2=1(其中ab=0）上的动点，若最小值为，则以所有满足条件的点C为顶点的多边形的面积为8331633A．B．43C．D．83二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分)()−．过点A3,0，B，2(5的直线的倾斜角为_________．a=(1)，b=()，c=(2,−为共面向量，则m的值为_________．12．若13ABCD−ABCD中，M,N分别为棱和BC和所成角的余弦值1111111为_________．()14．平面直角坐标系中，已知直线l过点，与坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线l的方程为_________．−SCDSCD⊥15．如图，四棱锥SABCD中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面ABCD,M,N,PBC,CD,的中点，Q为SCDPQ//平面分别为棱出下列四个结论：SAABCD所成角为°；①直线与平面27S−−N②二面角的余弦值为；7③点Q④线段到平面的距离为定值；1,1长度的取值范围是2其中所有正确结论的序号是____________三、解答题本大题共3小题，共35分)16．(本小题满分12分)a=(1)，b=(t,0)．已知向量(I)若t3，求a,b；=(Ⅱ)求证：对任意tR2a+b2a−b，与不垂直；(Ⅲ)若a+b与z轴平行，求，的值t17．(本小题满分13分)P−PD⊥ABCD，底面四边形如图，四棱锥中，平面ABCDAB=4，BC=2，PD=23，M为PB中为矩形，为N靠近的四等分点．D点，(I)求证：PB平面⊥；(Ⅱ)求二面角MB的余弦值：−−(Ⅲ)求点D到平面AMN的距离．18．(本小题满分10分)用坐标法解答以下问题．．．．．．．．．．ABCDAB=2，BC=1，O,MAB,CD分别为的中点，如图，已知矩形中，P为CB延长线上一点，________．从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一．．．．个解答计分，于点Q，求证：QMO=PMO；①连接并延长交()QMO=PMOQAQCQP,O,Q，求证：三点共线．②取上一点，使得第Ⅱ卷(共50分)四、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分)19．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西4km处，陆上的港口位于小岛中心正北危险？________(填“是”或“否”)()()()=(−)20A2,1，B3,4，C0,2l:ykx1l与线段ABk的最大值为________；若直线l与线段有公共点，则的取值范围是________．k21．已知单位向量e,e,e，两两夹角均为，则e+e=________；e+e+e的最小值为________．12312123322P−ABCD是边长为2的正方形，PD⊥ACPD=m直ABCD所成角为P−−B线PB与平面，二面角的大小为．给出下列四个结论：①若，则m1；②若m1，则；22③RBA；④其中所有正确结论的序号是________．五、解答题本大题共3小题，共34分)23．(本小题满分10分)()−+=A(−1,0)，点．平面直角坐标系中，已知圆C的圆心是，半径是1，直线l的方程为x2ym0(I)若l与圆C相切，求m的值；(Ⅱ)若l经过点A，求直线l与圆的交点的坐标；3，求l的斜率的取值范围．(Ⅲ)若过点A的直线l截得圆C的弦长24．(本小题满分14分)−ABC中，==5AB=AA1=2，M，111ABNAC是的中点．1为棱的中点，(I)证明：MN//平面BCCB；11(Ⅱ)求直线AC与平面BMN所成角的正弦值；11(III)棱上是否存在点P，使得点P在平面1内？若存在，求的值；若不存在，说明理由。25．(本小题满分10分)a,,mbaxc，其中表示x,y,mm=x,y,z这三个数的最大值。对于空间向量，定义111(I)已知a=,1，b=x,x,−x．22①写出a，写出b(用含的式子表示；x)②当0x4，写出a−b的最小值及此时x的值；(Ⅱ)设a=(x,y,z)，b(xyz)，求证：=a+ba+b；,,111222(Ⅲ)在空间直角坐标系O−xyzA(0)，(B4,0)，，点C(6)为球心，1为半径的P是以O球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点的坐标．P参考答案第I卷（共100分）一、选择题（每小题4分，共40分）题号答案12345678910DDBACBAACB二、填空题（每小题5分，共25分）题号答案122131415②③④32511y=x+1或y=−x+1444三、解答题（共分）16）当t=3时，a,b=ab|a||b|31==.2322a,b因为a,b[0,]，所以．3（Ⅱ）因为(2a+b)(2a−b)=4|a|2−|b|2()=8−t因此，对任意tR，2a+b与2a−b不垂直+2+9=−t2−10()（Ⅲ）由题意知，ab//0,1即存在kR，使得abk00,1+=(，)(+t,−)=(0,k)则+3=0即t=0，解得=−3，t=0−=k17PD平面⊥ABCDABCDPD,AD,CDD为坐标原点，分别以,,的方向为x,y,zD−轴的正方向建立空间直角坐标系．P23)，B(2,0)，(2,0)，M3)，N0)AN=(0)，=(1,2,23)，PB=(2,−23)．因为PB=2(−+42+(−23)23=0，所以PB⊥AM，即PB⊥AN因为PB=2(2)+41+(23)0=0所以PB⊥AN，即PB⊥AN又因为AMIAN=A，因此PB⊥平面AMN（IIPD⊥平面ABCDn=(0,1)为平面ANB的一个法向量()由（IPB=2,4,23为平面AMN的一个法向量。PBn(2,23)(0,6PB,n==−n422+42+(−23)26设所求角为，由图知为锐角，因此cos4DAPB(2,0)(2,23)2（Ⅲ）点D到平面AMN的距离d===PH222+42+(23)218．解：以O为原点，，OM的方向为x,y轴正方向建立平面直角坐标系．1212图中直线AC的方程为y=x+．()，P,k选择①：设POQy=，则直线的方程为11y=x+联立22，y=1k得Q,．2k−12k−1k−12k−1所以k==1−k12k−1k−1又k==k−1，所以k=−k．1=所以．t+1选择②：设Qt,，2t+1−1t−1t2k==则t1−tt因为=，所以k=−k=1−t所以直线PM的方程为yt+1=x+1tP所以tt+1t所以kk==，所以P,O,Q三点共线．第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（每小题4分，共16分）题号答案192021222；(−,+)否3；2①五、解答题（共分）23．解：圆C的方程为x2+(y−)=1．2|0−21+m||m−2|（I）由题意知，圆心C到直线l的距离d===112+(2)25解得m=2+5或2−5（Ⅱ）若直线l过点A，则m=1，直线l的方程为x−2y+1=0x−2y+1=0．联立直线l与圆C的方程，，x2+(y−2=13515−解得交点坐标分别为（，）y=k(x+)−y+k=0，即．（Ⅲ）设直线l斜率为k，则直线l的方程为2||(d')2+=1设圆心C到直线l的距离为d'，有21因为MN3，所以d|0−1+k||k−1|．2124−74+7解d==，得k．+k2k2+1331224）证明：连接AC,BC，由于AM,==1，故//111又因为BC平面BCCB，MN平面BCC1B，所以1MN//平面BCC11111ABQ于⊥平面ABC,MQ//AA⊥平面ABCAC=BC，1111所以⊥MB,MC,MMB,MC,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系M−12A(2),C(0,0),B2),M0),N−则．111AC=2)，MB=2)，=−112设平面1MN的法向量为n（x,y,，n1=0x+2z0=x=2=，取y2，即1−x+y+z=02z=−1n=0n2,21=(−)则设所求角为，则sin=,CnC(2,2)89==22+22+(212+22+(2)2（Ⅲ）设AP=AC0，则=+AP=(−0)+0)=(−2,0)若点P在平面1MN内，则垂直于平面BMN1的法向量n1因此M