2022-2023学年北京陈经纶中学高一（上）期中数学试题及答案

2022北京陈经纶中学高一（上）期中数学（时间：满分：150分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=2,3,4,5，若集合M，则（）A．2MB．3MC．4MD．5M2．若实数a，，cR且ab，则下列不等式恒成立的是（）aA．a2b2B．acbcC．1D．a−cb−cb13．全称量词命题“xR，x2−x+0”的否定是（）411A．xR，C．xR，x2−x+0B．xR，x2−x+04141x2−x+0D．xR，x−x+0244(+)4．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（）1y=−x2B．y=xC．yx−=1D．y=x3A．5．已知函数fx2−x,x0()=，若fa4，则a=（()=）x,x02A．4或−2B．4或2C．2或4D．2或2()()()6fx是定义在fx在fx在上的()f1最大值为”的（）A．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件=()(()=7．已知函数yfx的图象为折线OABff2（）A3B．4C．5D61−x2()=8．函数fx的图象可能是（）x3A．B．C．D．9．德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷，对函数论、三角级数论等都有重要贡献．狄利克雷函数为有理数()=()的判断错DxDx．为无理数误的是（）．(+)=()A．对任意有理数，DxtDx(())B．对任意实数x，DDx=1()C．Dx既不是奇函数也不是偶函数(+)=()+()D．存在实数x，，DxyDxDy()()−=()10知fx是定义域为Rffxx4f3）A3B．5C．7D9二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．2−．3的值是______．x()=12．函数fx上的定义域为______．x−1=−，B=2,3，若A13．己知集合Axxa0a的取值范围为______．x2ax1在区间1的取值范围是______．()=14．若函数fx+++)上单调递增，则f(−)1x−115．若x1，则f(x)=4x+的最小值是______．16X是实数集Rx0a0xX0x−0a，称x0为集合X的聚点，则在下列集合中：1nn+1*==,nN0为聚点的集①xxR,x0xZx0xx,nNxx*n合有______和______．三、解答题：本大题共5个小题，共70分．1712分）设全集U=R，集合A=x1x，B=x2x−4x−．（1；（2）若集合C=+，满足Bx2xa0，求实数a的取值范围．1814分）()=(−)(+)fxax2x1己知函数（Ⅰ）当（Ⅱ）当a=1时，求fx()0,2在上的最值；a0fx()0的解集．时，求关于的不等式x1914分）经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度v和（千米小时）之间有如下关920vv+v+1600()．v0系：y=2（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？2015分）ax+bx+121−()=fx()=，且f11已知定义在上的奇函数．2（1，b的值；()()（2）判断fx在0,1上的单调性，并用定义证明之；(−)+()ft1ft0．（3）解关于实数t的不等式2115分）已知集合S=2,3,A是SA中的任意两个不同的元素，()−+yxy，若xy都不能整除xy，则称集合A是S（1）分别判断数集P=6,8与Q=7是否是集合S()−（2）证明：若A是SA中的任意两个不同的元素，yxy，都有xy3；（3）求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．参考答案卷Ⅰ（选择题）一、选择题（本题共计10小题，每题5分，共计50分）1B2D3B4C5B6A7C8A9C10B题号答案卷Ⅱ（非选择题）二、填空题（本题共计6小题，每题5分，共计30分）题号11112131415816①和③)(−,4xx且x10答案16三、解答题（本题共计5小题，共计70分）17）由题意知A=−，Bx2x−4x−=，x1x3xx2=ABx1x3x或x36axx2x2x3=−=．则（2）C=x2x+a0=xx−，2由B知，BC，a−2，解得，a−4．2(+)所以，a的取值范围是【分】2129418a=1时，fx()=(−)(+)=−−=x2x1x2x2x−−，x0,2．1212()()在区间上，fx单调递减；在,2上，fx单调递增．1194所以，当x=时，fx()=f2=−；2()=−()=−=()fx=0【f02f202x26又，，所以当时，()fx(−)(+)ax2x10，0（Ⅱ），即a=02x1−(+)0x−1，解集为(−,−)；当当时，得，2a0(ax2x1−)(+)=0x=，x=1，2时，由，得1a22a−2−1−①②③时，，解集为aa222a0a=−2−1，解集为,−1时，；aa2时，=−1，解集为a19）因为c0，920v9201600v92092083所以y===11.08v2+v+16001600v++32v+3v1600当且仅当v=，即v=40时等号成立．v所以v=40千米小时，车流量最大，最大值为千辆8分】920v（2）据题意有：10，2v+v+16002v−89v+16000，化简得(−)(−)即v25v640所以25v64．所以汽车的平均速度应控制在25v64()20）因为fx为奇函数−ax+bax+bx+12所以f(−x)=fx=−()=−(−x)2+1整理得−+b=−−b解得b=0a1()==又因为f11+12解得a=1综上所述，a=1，b=0【5()=f00求需检验，否则扣1（注：用()()（2）fx在0,1上单调递增，证明如下：x，x()，且xx121212()−()=−f1f2x2+1x22+11()(21+)xx22+1−xx2===1(x2+)(−)+(x+)(−)(−)1xx12+1x221(−)x21x1x2xxx1221+1x22x1x2(x2+)+1221，x−x012x，2()又021即1−xx012()−()0fxfx12()()fx（3不等式在分】是奇函数，()fx(−)+()(−)−()=(−)ft1ftft，ft1ft0，即1上是增函数，()−fx又则在1t−1−t1，1解得0t．21所以，t的取值范围是【分】221．解4−2=24+2=6，所以集合P不是集合S（1）由于整除由于4−1=3不能整除4+1=5，7−1=6不能整除7+1=8，7−4=3不能整除7+4=，所以集合Q是集合S4（2A是Sx−y1，()−=假设存在A中的任意两个不同的元素x，yxy，使得xy2，则x与y同为奇数或同为偶数，从而x+y是偶数，此时，x−y=2能整除x+y，与A是“好子集”矛盾．()−故若A是SA中的任意两个不同的元素，yxy，都有xy39分】（3）设集合Aa,a,a