第四章 几何图形初步11类压轴题专练

第四章几何图形初步（压轴题专练）【题型一几何体中点、棱、面】例题：几何知识．（1）长方体有_____个面，_____条棱，_____个顶点．（2）圆柱体由_____个面围成，圆锥由_____个面围成，它们的底面都是_____．（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有_____个面，_____个顶点，_____条棱．【变式训练】1.如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱．(1)填写下表：立体图形顶点数面数棱数三棱柱五棱柱六棱柱(2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想________．2.如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.(1)根据要求填写表格：面数（f）顶点数（v）棱数（e）图1图2图3(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.3.综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分：多面体顶点数（）面数（）棱数（）四面体4六面体86八面体812十二面体2030通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．4.观察下列多面体，并把下表补充完整.名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数6棱数9面数5（1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱；（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________．【题型二根据三视图求原几何体的小立方块的个数】例题：一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？【变式训练】1.如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．2.由8个棱长都为的小正方体搭成的几何体如左图．(1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）(2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是cm2．(3)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要个小立方块．【题型三线段n等分点的有关计算】例题：（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；

（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．【变式训练】1.如图，已知点B在线段上，，，P、Q分别为线段、上两点，，，则线段的长为．【题型四角n等分线的有关计算】例题：在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【变式训练】1.定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或2.已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.(1)如图1，当时，若，求的度数；(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.【题型五分类讨论思想在线段的计算中的应用】例题：画直线，并在直线上截取线段，再在直线上截取线段，则线段的长是．【变式训练】1．两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为．2．有、两根木条，长度分别为24cm、18cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为cm．3．将一根绳子对折后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为．【题型六分类讨论思想在角的计算中的应用】例题：已知，，平分，则等于．【变式训练】1．已知，，则的度数是．2．已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是3．已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则．4．如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则．【题型七整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题：（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点．①若，则线段的长度是_________；②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)；（2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）【变式训练】1．如图，点在线段上，点、分别是、的中点．(1)若线段，，则线段的长为(2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，求的长；(3)若原题中改为点在直线上，满足，，，其它条件不变，求的长．2．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点,若，，求的长．（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．①如图2，当M，N分别是，的中点时，的长是___________；②如图3，若M，N分别是，的三等分点，即，，请直接写出线段的长．【题型八整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：已知：如图，在的内部，平分平分．

(1)当时，___________；(2)当时，___________；(3)当时，___________；(4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半．【变式训练】1．已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．

(1)如图1，若，求的度数；(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数．2．解答下列问题如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．

(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则（表示出所有可能的结果探索新知）．

(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

3．如图，已知，三角形是一个直角三角形，平分．

(1)如图1，当时，__________；(2)如图2，当时，__________；(3)如图3，当时，求的度数，借助图3计算；(4)由（1），（2），（3）问可知，当时，请直接写出的度数．（用来表示，无需说明理由）【题型九线段和与差综合问题】例题：已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．

(1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长；②若点在线段上，且，，求的长；(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．【变式训练】1．如图，点C在线段上，，点M，N分别为的中点．(1)求线段的长；(2)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为的中点，求的长．2．如图，点为线段上一点，点为的中点，且，．

(1)图中共有多少条线段，请写出这些线段；(2)求的长；(3)若点在直线上，且，求的长．3．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点，的速度分别是，．①若，当动点，运动了时，求的值；②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．4．如图，将一段长为厘米绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.若将绳子沿、点折叠，点、分别落在，处.(1)如图2，若，恰好重合于点处，展开拉直后如图3，求的长；(2)若点落在的左侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度；(3)若点落在的右侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度.【题型十线段上动点定值问题】例题：如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【变式训练】1．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．2．如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，cm，设点B运动的时间为（t不超过10）

(1)当时，________cm．(2)当时，求线段的长．(3)在运动过程中，若的中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．3．探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若点恰好是中点，则____________；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．4．应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若，求的长；(2)若为的中点，则与的数量关系是______；(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．【题型十一线段上动点求时间问题】例题：如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s

(1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；(3)当时，求t的值．2．材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作．如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．初步感知：(1)如图1，点在线段上，若，则__________；若，则____________；(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式子表示和，并判断它们的数量关系．拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为．则当为何值时，等式成立．

第四章几何图形初步（压轴题专练）参考答案【题型一几何体中点、棱、面】例题：几何知识．（1）长方体有_____个面，_____条棱，_____个顶点．（2）圆柱体由_____个面围成，圆锥由_____个面围成，它们的底面都是_____．（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有_____个面，_____个顶点，_____条棱．【答案】612832圆形【分析】（1）根据长方体的特征即可得到答案；（2）根据圆柱和圆锥的特征即可得到答案；（3）根据棱柱的特征进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）长方体有6个面，12条棱，8个顶点，故答案为：6，12，8；（2）圆柱体由3个面围成，圆锥由2个面围成，它们的底面都是圆形，故答案为：3，2，圆形；（3）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱，……，由此类推n棱柱有个面，个顶点，条棱，故答案为：，，．【点睛】本题考查了常见几何体的基础知识，解题关键是具备空间想象能力．【变式训练】1.如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱．(1)填写下表：立体图形顶点数面数棱数三棱柱五棱柱六棱柱(2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想________．【答案】(1)，，；，，；，，(2)【分析】（1）根据所给的图形，数一数直接得出结果；（2）把（1）中的结果代入，即可发现规律．【详解】（1）根据图形，可以得出三棱柱有个顶点，个面，条棱；五棱柱有个顶点，个面，条棱；六棱柱有个顶点，个面，条棱；故答案为：，，；，，；，，．（2）三棱柱：，，，；五棱柱：，，，；六棱柱：，，，；猜想：．【点睛】本题主要考查了几何体的结构特征，根据所给的材料，仔细观察图形，找出一般规律是解本题的关键．2.如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.(1)根据要求填写表格：面数（f）顶点数（v）棱数（e）图1图2图3(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15；(2)；(3)它的面数是2012【分析】（1）根据图形数出即可；（2）根据（1）中结果得出；（3）代入求出即可；【详解】（1）图1，面数，顶点数，棱数，图2，面数，顶点数，棱数，图3，面数，顶点数，棱数，故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．（2）由表格数据可得：．（3）∵∴，，即它的面数是2012．【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律3.综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分：多面体顶点数（）面数（）棱数（）四面体4六面体86八面体812十二面体2030通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)表见解析，(2)五(3)6【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数；（2）根据棱柱的定义进行解答即可；（3）由（1）得出的规律进行解答即可．【详解】（1）解：填表如下：多面体顶点数（）面数（）棱数（）四面体446六面体8612八面体6812十二面体201230顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，故答案为：；（2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面，有个侧面，这个棱柱是五棱柱，故答案为：五；（3）解：由题意得：棱的总条数为（条），由可得,解得：，故该多面体的面数为6．【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．4.观察下列多面体，并把下表补充完整.名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数6棱数9面数5（1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱；（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________．【答案】填表见解析；（1）；（2）；（3）；（4）【分析】由三棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；四棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；五棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；六棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：，即可填表．根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出（1）（2）和（3）的答案；（4）根据表格可总结出规律得出之间的关系．【详解】解：填表如下：名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形

顶点数

棱数面数（1）十二棱柱有个面，共有个顶点，共有条棱．故答案为：14，24，36；（2）某个棱柱由个面构成，则这个棱柱为棱柱．故答案为：28；（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱．故答案为：，，，；（4）之间的关系：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了几何规律型问题，熟记常见棱柱的特征，进而可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键．【题型二根据三视图求原几何体的小立方块的个数】例题：一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论．【详解】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：

最多有：（个），最少有：（个），即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体．【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型．【变式训练】1.如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体．(1)从正面、左面和上面观察这个几何体，请你在下面相应的位置分别画出你所看到的几何体的形状图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）从正面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有1，3，1，1个小正方形；从左面看所得到的图形，从左往右有2列，分别有1，3个小正方形；从上面看所得到的图形，从左往右有4列，分别有2，1，1，1个小正方形．（2）保持持从上面看和从左面看不变，可以在第1列后面一排添加2个，第3列添加2个，第4列添加2个，最多添加6个小正方体．【详解】（1）如图所示：（2）保持从左面和上面所看到的几何体的形状图不变，最多可以再添加块小正方体．故答案为：6．【点睛】此题考查了从不同方向观察几何体，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．2.由8个棱长都为的小正方体搭成的几何体如左图．(1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）(2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是cm2．(3)若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需要个小立方块．【答案】(1)见解析(2)32(3)9【分析】（1）根据从正面、从左面和从上面看到的形状画出图形即可；（2）分前后、左右、上下统计正方形的个数即可；（3）由俯视图易得最底层小正方体的个数，由左视图找到其余层数里最多个数相加即可．【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如下：（2）图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是，故答案为：32（3）若要用大小相同的小立方块搭一个几何体，使得它从上面和左面看到的形状图与你在图2方格中所画的形状图相同，则搭这样的一个几何体最多需9个小立方块．故答案为：9【点睛】此题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．【题型三线段n等分点的有关计算】例题：（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；

（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由中点的定义可得，然后根据求解即可；（2）由，可得，然后根据求解即可；（3）仿照（2）的过程求解即可．【详解】解：（1）∵M，N分别是，的中点∴∵∴（2）①∵∴∵∴；②．【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【变式训练】1.如图，已知点B在线段上，，，P、Q分别为线段、上两点，，，则线段的长为．【答案】7【分析】根据已知条件算出BP和CQ，从而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到结果．【详解】解：∵AB=9，BP=AB，∴BP=3，∵BC=6，CQ=BC，∴CQ=2，∴BQ=BC-CQ=6-2=4，∴PQ=BP+BQ=3+4=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键．【题型四角n等分线的有关计算】例题：在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案．【详解】解：∵，射线为的三等分线．∴或，∴，∴的度数为或．故选：C．【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．【变式训练】1.定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或【答案】C【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；综上，为或或，故选：C．【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．2.已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.(1)如图1，当时，若，求的度数；(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.【答案】(1)；(2)；理由见解析；(3)【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．【详解】（1）如图1，，在内部，，，，，；（2）；理由如下：如图2，，射线、分别在内、外部，，，，；（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，则，，如图3，，，，，；②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，则，，，，，，，.综合①②得．【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．【题型五分类讨论思想在线段的计算中的应用】例题：画直线，并在直线上截取线段，再在直线上截取线段，则线段的长是．【答案】3或7/7或3【分析】分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，利用线段的和与差即可求解．【详解】解：当点C在线段上时，，当点C在线段的延长线上时，，故答案为：3或7．【点睛】本题考查了线段的和与差，熟练掌握其计算方法是解题的关键．【变式训练】1．两根木条，一根长，另一根长，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为．【答案】或．【分析】设，，根据题意分两种情况：①如图1，两根木条如图放置，有一端重合，根据点是的中点，点是的中点，可得，，再由即可得出答案；②如图2，两根木条如图放置，有一端重合，根据点是的中点，点是的中点，可得，，再由即可得出答案．【详解】解：设，，根据题意，①如图1，∵点是的中点，点是的中点，∴，，∴；②如图2，∵点是的中点，点是的中点，∴，，∴．综上所述，两根木条的中点之间的距离为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和差，中点的定义，本题运用了分类讨论和数形结合的思想方法．熟练掌握两点的距离及线段和差的计算方法是解题的关键．2．有、两根木条，长度分别为24cm、18cm，将它们的一端重合且放在同一条直线上，此时、两根木条中点之间的距离为cm．【答案】3或21【分析】假设端点B和端点D重合，分两种情况如图：①不在上时，，②在上时，，分别代入数据进行计算即可得解．【详解】解：假设端点B和端点D重合如图，设较长的木条为，较短的木条为，∵M、N分别为、的中点，∴，，①如图1，不在上时，（cm），②如图2，在上时，（cm），综上所述，两根木条的中点间的距离是21cm或3cm，故答案为：3或21．【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，解题的关键是在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．3．将一根绳子对折后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为．【答案】140或210/210或140【分析】根据绳子对折后用线段表示，可得绳子的长度是的2倍，分类讨论，的2倍最长，可得，的2倍最长，可得的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．【详解】解：①当的2倍最长时，得，，，，∴这条绳子的原长为，②当的2倍最长时，得，，，∴这条绳子的原长为．综上所述，这条绳子的原长为或．故答案为：140或210．【点睛】此题考查了线段的和差倍分及分类讨论的思想，根据线段之间的比例关系列式为解题关键．【题型六分类讨论思想在角的计算中的应用】例题：已知，，平分，则等于．【答案】或【分析】分两种情况：利用角平分线的定义即可求解．【详解】解：当如图所示时：

平分，，，，当如图所示时：

平分，，，．故答案为：或.【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，利用分类讨论解决问题是解题的关键．【变式训练】1．已知，，则的度数是．【答案】或【分析】分两种情况讨论：①当在的内部时；②当在的外部时，分别求解即可得到答案．【详解】解：①如图，当在的内部时，

，，，；②如图，当在的外部时，

，，，；综上可知，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了角度的和差计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．2．已知，平分，射线与所形成的角度是，那么的度数是【答案】或/50或30【分析】分两种情况：射线在的上方和射线在的下方，根据角平分线的定义和角的和差分别计算即可．【详解】解：如图1，

∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；如图2，

∵，平分，∴，∵射线与所形成的角度是，∴，∴；综上可知的度数是或．故答案为：或．【点睛】此题考查了角平分线的定义和角的和差计算，分类讨论是解题的关键．3．已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则．【答案】或【分析】根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可．【详解】解：∵射线是的三等分线，∴或，当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

当时，如图：∵，，∴，∵射线为的平分线，∴，∴；

故答案为：或．【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．4．如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则．【答案】或【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．∵，∴，由翻折变换的性质可知，，∴，∴．当点N在点M的下方时，设，，则，由翻折变换的性质可知，，∴．综上所述，满足条件的或．故答案为：或．【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．【题型七整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】例题：（1）如图，已知线段，点C是线段上一点，点M、N分别是线段，的中点．①若，则线段的长度是_________；②若，，求线段的长度(结果用含a、b的代数式表示)；（2）在（1）中，把点C是线段上一点改为：点C是直线上一点，，．其它条件不变，则线段的长度是___________（结果用含a、b的代数式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，即可求解；②，即可求解；（2）根据题意进行分类讨论即可：当点C在线段上时，当点C在点A的左边时，当点C在点B的右边时．【详解】（1）解：①∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴，故答案为：4；②∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；（2）当点C在线段上时，由（1）可得：；当点C在A左边时，，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；当点C在点B右边时，∵点M、N分别是线段，的中点，，∴，∴；综上：或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点的定义，具有分类讨论的思想．【变式训练】1．如图，点在线段上，点、分别是、的中点．(1)若线段，，则线段的长为(2)若为线段上任一点，满足，其它条件不变，求的长；(3)若原题中改为点在直线上，满足，，，其它条件不变，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（2）由点、分别是、的中点，可得，，再由，即可求解；（3）分三种情况讨论：当点在线段上时，当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，即可求解．【详解】（1）解：，，，又点、分别是、的中点，，，；故答案为：；（2）解：点、分别是、的中点，，，；（3）解：当点在线段上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，；当点在的延长线上时，点、分别是、的中点，，，．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，根据题意，准确得到线段之间的数量关系是解题的关键．2．（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点,若，，求的长．（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）．①如图2，当M，N分别是，的中点时，的长是___________；②如图3，若M，N分别是，的三等分点，即，，请直接写出线段的长．【答案】（1）6

（2）①

②【分析】（1）由，得，根据M，N分别是，的中点，即得，故；（2）①由M，N分别是，的中点，知，即得，故；②由，知，即得,故；【详解】解：（1）M，N分别是，的中点故答案为：6（2）①M，N分别是，的中点故答案为：②故答案为：【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．【题型八整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题：已知：如图，在的内部，平分平分．

(1)当时，___________；(2)当时，___________；(3)当时，___________；(4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分线的定义求得和的度数，再求得，进一步计算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出结论；【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案为：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论，即不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半．故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线的定义、角的计算，关键是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．【变式训练】1．已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．

(1)如图1，若，求的度数；(2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；(3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论；（3）设，依次表示出，，，，最后根据列方程即可得到结论．【详解】（1）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以

（2）因为为直线上一点，且，所以，因为射线平分所以因为所以（3）设，则，，因为所以因为所以解得因为所以.【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角的性质，灵活运用余角的性质是解题的关键．2．解答下列问题如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．

(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则（表示出所有可能的结果探索新知）．

(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则（用含α的代数式表示出所有可能的结果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴,∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．

（2）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．（3）解：如图3：①当时，则；②当，则，解得：；③当，则，解得：．综上，可以为．

【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．3．如图，已知，三角形是一个直角三角形，平分．

(1)如图1，当时，__________；(2)如图2，当时，__________；(3)如图3，当时，求的度数，借助图3计算；(4)由（1），（2），（3）问可知，当时，请直接写出的度数．（用来表示，无需说明理由）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据角的和差先求出，再根据角平分线的定义求出，再利用角的和差即可解答；（2）同（1）的思路求解即可；（3）先根据角的和差求出，再根据角平分线的定义求出，再利用角的和差求解即可；（4）分，与三种情况，分别结合图形求解即可．【详解】（1）解：如图1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案为：；

（2）解：如图2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案为：；

（3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；

（4）解：当时，如图1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；

当时，如图2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；当时，如图3，由（3）的结论可得；综上：．【点睛】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角之间的数量关系、灵活应用分类讨论思想是解题的关键．【题型九线段和与差综合问题】例题：已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．

(1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长；②若点在线段上，且，，求的长；(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可；（2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案．【详解】（1）解：①，，，，，如图，

为中点，，，；②如图，

，点在点的左侧，点是的中点，，，；当点在点的右侧，如图

，，，，，综上所述，的长为或；（2），，满足关系式，如图，当在点的右侧时：

设，，则，，，，，，，，，解得，，

；如图，当在点的左侧时：

设，，则，，，，，，，，，解得，，

．故答案为是或．【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键．【变式训练】1．如图，点C在线段上，，点M，N分别为的中点．(1)求线段的长；(2)若点C在线段的延长线上，且满足，点M，N分别为的中点，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据线段中点的定义求出的长度，再根据线段的和差进行求解即可；（2）先根据线段中点的定义求出的长度，再根据线段的和差进行求解即可．【详解】（1）∵，点M分别为的中点，∴，∵，∴，∵点N分别为的中点，∴，∴；（2）如图，∵点M，N分别为的中点，∴，∴．【点睛】本题考查了线段的中点和线段的和差，准确理解题意，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2．如图，点为线段上一点，点为的中点，且，．

(1)图中共有多少条线段，请写出这些线段；(2)求的长；(3)若点在直线上，且，求的长．【答案】(1)图中的线段有，，，，，共条(2)(3)或【分析】（1）根据题意结合图形，数出线段即可求解．（2）根据线段中点的性质可得，根据，即可求解；（3）分点在上时，点在延长线上时，两种情况分别讨论即可求解．【详解】（1）解：图中的线段有，，，，，共条，

（2）点为的中点，，．，；（3）分两种情况讨论：①如图，当点在上时，，，

；②如图，当点在延长线上时，

，，；综上，的长为或．【点睛】本题考查了线段数量问题，线段中点以及线段和差问题，数形结合是解题的关键．3．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点，的速度分别是，．①若，当动点，运动了时，求的值；②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①先计算，再计算；②利用中点的性质求解；（2）将用其它线段表示即可．【详解】（1）解：①由题意得：，．．②点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，设运动时间为t，则：，，．（2）解：设运动时间为，则，，，．．【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．4．如图，将一段长为厘米绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.若将绳子沿、点折叠，点、分别落在，处.(1)如图2，若，恰好重合于点处，展开拉直后如图3，求的长；(2)若点落在的左侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度；(3)若点落在的右侧，且，画出展开拉直后的图形，并求的长度.【答案】(1)厘米(2)厘米(3)厘米【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，进而根据即可求解；（2）先根据题意画出图形，根据线段中点的性质，得出，，根据即可求解；（3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解．【详解】（1）解：∵绳子沿、点折叠，点、分别落在、处，、恰好重合于点处，∴，，∴；（2）∵，，∴.根据题意得，、分别为、的中点，∵，，∴，∴；（3）当点落在点的右侧时，∵，∴.∴.【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键．【题型十线段上动点定值问题】例题：如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)(2)不变，还是，理由见解析【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得；（2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解．【详解】（1）解∶，，，点是的中点，点是的中点，，；（2）线段的长度不发生变化．点是的中点，点是的中点，，．【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键．【变式训练】1．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，图及理由见解析【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点，∴，∴∴线段的长为．（2）解∶∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如图:

∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键．2．如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，cm，设点B运动的时间为（t不超过10）

(1)当时，________cm．(2)当时，求线段的长．(3)在运动过程中，若的中点为E，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)4(2)3cm(3)不变，5cm【分析】（1）利用路程等于速度乘以时间可得答案；（2）当时，而，先求解，再利用中点的含义可得答案；（3）由的中点为E，C是线段的中点，可得BD．从而可得结论．【详解】（1）解：当时，；（2）当时，而，∴．∵C是的中点，∴即线段的长为3cm．（3）不变，如图，

∵的中点为E，C是线段的中点，∴BD．∴即的长为5cm．【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，理解题意，利用数形结合的方法解题的关键．3．探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若点恰好是中点，则___________