北京市朝阳区17中2016-2017学年高二下期期中考试数学（理）试题

20162017北京朝阳17中高二下期中一、选择题：本大题共8题，每题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列结论正确的是（）A.若，B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】对于，若，则，故项错误；对于，若，则，故项错误；对于，若，则，故项正确；对于，若，则，故项错误，故选．2.计算（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，故选．3.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（）A.个B.个C.个D.个【答案】B【解析】如图，不妨设导函数的零点分别为，，由导函数的图象可知：当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，当时，，为增函数，当时，，为减函数，由此可知，函数在开区间内有两个极大值点，分别是当时和时函数取得极大值，故选B.4.作反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数时，下列假设正确的是（）A.假设，，都是偶数B.假设，，都不是偶数C.假设，，中至多有一个是偶数D.假设，，中至多有两个是偶数【答案】B【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，“至少有一个”的否定为“都不是”，所以先假设，，都不是偶数．本题选择B选项.5.设函数，则在其定义域内（）A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数【答案】A【解析】本题考查函数的性质及均值不等式由得；令得，此为函数的一个极大值点，故函数不单调，所以C，D均错.因为，所以，则且由均值不等式定理得，当且仅当时成立则所以即此函数有最大值，所以正确答案为A6.设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，得，由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为可知，曲线在点处切线的斜率的取值范围为，设点横坐标为，则，解得，即点横坐标的取值范围为，故选．【思路点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及已知倾斜角范围求斜率的范围，属于中档题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，由倾斜角正切值的范围求得切线斜率的范围，也就是导函数的范围，从而可列出关于切点横坐标的不等式，解不等式即可得结果.7.已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】若不等式对于任意的恒成立，则对于任意的恒成立，∵当时，，∴，即实数的取值范围是，故选．8.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：五角星向上升起的时候，首先面积缓慢提升，然后突然变大，但是面积提升的速度变换，然后稍微面积提升速度又变快一点，最后面积提升速度变慢．有以上分析过程可知，A选项正确．考点：函数图象与性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．9.由直线，，曲线及轴所转成的图形面积为（计算出结果）__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可知，由直线，，曲线以及轴所围成的图形面积，故答案为.10.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为__________．【答案】【解析】∵曲线在点处的切线斜率，∴，又，∴，故曲线在点处切线的斜率为，故答案为.11.类比平面几何中的命题：“垂直于同一直线的两条直线平行”，在立体几何中，可以得到命题“__________”，这个类比命题的真假性是__________．【答案】(1).垂直于同一平面的两个平面平行(2).假命题【解析】在由平面图形的性质向空间图形的性质进行类比时，我们常由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，故由平面几何中的命题：“垂直于同一直线的两条直线平行”我们可以推断在立体几何中：“垂直于同一平面的两个平面平行”．该命题是一个假命题，故答案为(1)垂直于同一平面的两个平面平行；(2)假命题.12.已知函数在处有极大值，则的值为__________．【答案】【解析】由得，∵在处取得极大值，∴，即，解得或，当时，，令，得或，令得，∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，∴在处取得极小值，故不满足题意，舍去，当时，，令，得或，令，得，∴在上是增函数，在上是减函数，∴在处取得取大值，符合题意．综上所述，．故答案为.13.图、、、分别包含个、个、个、个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方法构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则__________；__________（答案用数字或解析式表示）．【答案】(1).(2).【解析】根据题意可得，，，，．∴，，，，，，，,故答案为(1),(2).【方法点睛】本题通过观察几组图形，归纳出一般规律来考查累加法及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.14.已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数，则，，的大小关系是__________．【答案】【解析】二次函数的导函数是一次函数，三次函数的导函数是二次函数，∵一次函数过点，，∴，，∵二次函数过点，，，∴，∴，∴，记为常数，则，，，∴，故答案为．三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（）求的单调区间；（）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）由（）可知，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，比较.的大小可得在区间的最大值为，从而可得得，进而可得结果.试题解析：（）由得，令，即，解得或，令，即，解得，∴的单调增区间为和，单调减区间为．（）由（）可知，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，且，，∴在区间的最大值为，∴，解得，∴在区间上的最小为．16.在数列中，，，，，．（）计算，，的值．（）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】（1），，；（2），证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，利用，可依次求得，，的值，求解过程注意避免出现计算错误；（2）根据（1）中所得，，的值，找出共同规律，可猜测：，先验证当时，等式成立，然后假设时，，只需证明当时，即可证明猜想正确.试题解析：（）∵，，∴，，．（）由（）可猜想：，证明：当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，．17.设函数，．（）当时，求曲线在点处的切线方程．（）求函数单调区间和极值点．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【解析】试题分析：（1）当时，，,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合函数的单调性，可得函数的极值点.试题解析：（）当时，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即．（）由得，当时，，在上是单调递增，无极值，当时，令得或，令，得，∴在和上单调递增，在上单调递减，∴在时取得极大值，，在时取得极小值，，综上所述，当时，的单调增区间为，无极值，当时，的单调增区间是和，单调减区间为，极大值为，极小值为．【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.18.设函数，其中．（）若，求函数的单调递减区间．（）求函数的极值．（）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）.试