4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时）课件高二上学期数学人教A版选择性

4.2.2等差数列的前n项和第一课时1.等差数列的性质：若已知am,an,求ap,(1)可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap;(2)也可以利用等差数列通项公式的推广公式求解,即用d=直接求解;课前回顾2、下标和公式：

1、若等差数列{an}的公差为2,则数列{3an-2}的公差为(

)A.3 B.4

C.5

D.6解析:(1)∵数列{an}的公差为2,∴数列{3an-2}的公差为3×2=6.答案:D

2、在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=(

)A.100 B.90

C.95

D.20解析:在等差数列{an}中,∵a2+a8=10,∴a2+a8=2a5=10,解得a5=5.∴(a4+a6)2-2a5=(2a5)2-2a5=100-10=90.答案:B学习目标1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题．据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：自学指导你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？

倒序相加法公式与梯形面积：补成平形四边形分割成一个平行四边形和一个三角形两个公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是:公式（1）已知an;公式（2）已知d.已知三个量就可以求出Sn，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。an=a1+(n-1)d(n-1)d梯形的面积等于中位线乘以高.知三求二例1例1

反思感悟a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意整体代换思想的运用,以便简化计算.【变式训练1】

根据下列条件求等差数列的前n项和.(1)a1=1,a10=21,n=10;(2)a1=100,d=-2,n=50;(3)a1=2,an=32,d=2.所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定．例2【变式训练2】

已知数列{an}是等差数列,(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求公差d;(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10;(3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值.(2)(方法一)设数列{an}的公差为d,所以a10=a1+9d=29.(方法二)设数列{an}的公差为d,由S5=5a3=40,得a3=8.所以a2+a5=a3-d+a3+2d=2a3+d=16+d=19,得d=3.所以a10=a3+7d=8+3×7=29.解得n=6或n=7.图4.2-3中的电子表格A列中A1，A2，A3分别表示p，q，r的值，B列、C列中分别是相应的Sn和an的值.判断一个数列是等差数列的方法：（4）前n项和法当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104,由n=1也适合上式,得数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*).当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn反思感悟求数列{|an|}的前n项和需注意以下问题(1)给出数列{an},要求数列{|an|}的前n项和,关键是分清n取什么值时an≥0或an<0.(2)当{an}的各项都为非负数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和;当{an}的各项都为非正数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和的相反数;当{an}的某些项为正,某些项为负时,要对n进行分类讨论,转化为{an}的前n项和求解,其结果用分段函数表示.【变式训练3】

在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.故an=a1+(n-1)d=-60+3(n-1)=3n-63.令an<0,即3n-63<0,n<21,得等差数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项是非负数.设Sn和S'n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和.1.在等差数列{an}中,已知a1=3,d=2,则S10等于(

)A.120 B.240

C.180

D.280答案:A2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于(

)A.13 B.35

C.49

D.63解析:∵a2+a6=a1+a7=14,答案:C当堂检测（优化）3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=12,则S9=

.

解析:由等差数列的性质可得a1+a9=2a5.答案:1084.已知{an}是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9,求此数列前10项的和.解:设数列{an}的公差为d.∵a1+a3+a5=3a3=9,课堂小结1、等差数列前n项和公式2、a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解.3、求数列{|an|}的前n项和需注意给出数列{an},要求数列{|an|}的前n项和,关键是分清n取什么值时an≥0或an<0.第22页课后作业（课本）6．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261．求此数列中间一项的值以及项数．∴此数列中间一项的值为29，项数为19．7．（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和．（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和．（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．（4）在小