专题04平面与平面的位置关系（原卷版）

【原卷版】专题04平面与平面的位置关系本章主要讨论三维空间中的直线与平面，从四个简单直观的公理（也称为“基本事实”)出发，通过演绎推理的方法建立起关于空间的点、直线与平面之间基本关系的比较系统完整的理论；这方面的要求与“二期课改“教材相比，有明显的提高，因此课程的难度也略有增大；作这样变化的目的在于克服学生空间直观想象和逻辑推理上的不足；所以，充分利用教材的内容但不要超越教材的难度，注意给学生铺设好从平面到立体的台阶，聚焦培养学生的能力和索养；因此，在学习过程中，培养学生的空间观念与空间想象能力是学习立体几何的关键；教学中，应关注空间图形及其位置关系的多种表征方式；如实物、模型、图形、符号及文字等，并通过不同表征方式的相互转化来帮助学生理解空间概念、图形和解决，用好长方体这一直观的模型；．一、《必修第二册》目录与内容提要【本章教材目录】第10章空间直线与平面10.1平面及其基本性质10.1.1空间的点、直线与平面；10.1.2相交平面；10.1.3空间图形的平面直观图的画法；10.2直线与直线的位置关系10.2.1空间的平行直线；10.2.2异面直线；10.2.3两条异面直线所成的角；10.3直线与平面的位置关系10.3.1直线与平面平行；10.3.2直线与平面垂直；10.3.3直线与平面所成的角；10.3.4三垂线定理；10.4平面与平面的位置关系10.4.1平面与平面平行；10.4.2二面角*10.5异面直线间的距离【本章内容提要】1、立体几何中的公理及其推论（1）公理1如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上；（2）公理2不在同一直线上的三点确定一个平面；推论1一条直线和这条直线外的一点确定一个平面；推论2两条相交直线确定一个平面；推论3两条平行直线确定一个平面；（3）公理3如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；（4）公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行；2、直线与直线的位置关系（1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面；（2）等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；（3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线；（4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线；（5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角；3、直线与平面的位置关系（1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行；（2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行；（3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直；（4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直；（5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直；推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直；（6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；（7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直；4、平面与平面的位置关系（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；（3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小；（4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直；*5、异面直线间的距离（1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交；（2）定义：两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离；1、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)【说明】如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行；2、平面与平面平行的判定定理文字语言符号语言图形语言平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；【说明】可以由直线与平面平行判断平面与平面平行；即将平面与平面的平行关系转化为直线与平面的平行关系；3、平面与平面平行的性质定理文字语言符号语言图形语言两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；若//β，∩β=b，∩=a，则a//b;结论：夹在两个平行平面间的平行线段相等4、二面角文字语言符号语言图形语言二面角的定义：如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；二面角的记法：①棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角αABβ；②也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角PABQ；③棱记作l，这个二面角记作二面角αlβ或PlQ；二面角的平面角的定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角求二面角的一般步骤：（1）作：在棱上选择恰当的一个点，在两半平面内分别作与棱垂直的射线，两射线组成的角，即为二面角的平面角；（2）证：证明（1）中所作出的角就是二面角的平面角；注：关键证明线线垂直）（3）求：通过解三角形，求出(1)中所作的角的大小；用三垂法作二面角的平面角的一般步骤：（1）在其中一个半平面内取恰当的一点P，过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；（2）过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；（3）易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角的平面角；5、平面互相垂直的定义文字语言符号语言图形语言当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面互相垂直；β6、平面与平面垂直的判定定理文字语言符号语言图形语言平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直若l,l⸦β，则β;7、平面与平面垂直的性质定理文字语言符号语言图形语言平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于交线的直线与另一个平面垂直；若β，∩β=l，m⸦，且ml；，则mβ；【注意】这个定理说明了，可以由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直结论：如果α，β，γ是三个不同的平面，且α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l．那么：l⊥γ．题型1、准确理解平面与平面的位置关系例1、（1）以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.A．③④ B．②③④C．②④ D．①④（2）如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．垂直（1）平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.（2）平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.2、常见平面与平面平行的几何模型：长方体、正方体中三组相对的面平行；题型2、平面与平面平行的理解与应用例2、（1）如图，已知点P在三角形ABC外，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.（2）如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP＝1，BP＝4，CD＝6，那么CP＝________.题型3、平面与平面平行的判定方法例3、（1）已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点；求证：平面MDB1∥平面ANC.（2）如图所示，点P在矩形ABCD所在平面外，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.【说明】1、证明两个平面平行主要方法：（1）根据定义证明两平面没有公共点（采用反证法）；（2）判定定理；（3）利用平行平面的传递性；2、利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找（或作出）两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交；题型4、平面与平面平行的性质定理及其应用例4、（1）如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.①求证：AC∥BD；②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.（2）已知平面α∥平面β，若点P在平面α与β之间，其它条件不变.①求证：AC∥BD；②已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【说明】1、利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；（2）判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；（4）由定理得出结论；2、类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例；题型5、空间平行关系的综合应用例5、（1）平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面（2）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：①MN∥平面CC1D1D；②平面MNP∥平面CC1D1D.【说明】1、常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：2、判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系；题型6、二面角及其求法例6、（1）在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．.AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β（2）如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求：二面角P－BC－A的大小；【说明】1、二面角是一个空间图形，其大小是利用二面角的平面角进行度量，注意二面角与两相交平面所成的角并不一致；2、求二面角大小主要分为三步“一作、二证、三计算”；3、作二面角的平面角常采用：（1）定义法；（2）垂面法；（3）垂线法（利用线面垂直转化）；题型7、平面与平面垂直的判定例7、（1）如图，空间四边形ABCD中，点E，F分别为AC，AD的中点，AD⊥CD，BA＝BD，求证：平面EFB⊥平面ABD.（2）在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.【说明】证明平面与平面垂直的方法：1、利用定义：证明二面角的平面角为直角；2、利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；题型8、平面与平面垂直条件的探求例8、（1）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中有________对平面与平面垂直()A．1B．2C．3D．4（2）如图，点P在四边形ABCD外，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形.①求证：AD⊥PB；②若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.【说明】1、平面与平面垂直的判定定理的应用：（1）本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.（2）证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决；题型9、对平面与平面垂直的性质定理的理解及其应用例9、（1）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是()A．l∥β或l⊂βB．l∥mC．m⊥αD．l⊥m（2）如图，点P在三角形ABC外，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.【说明】利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线；题型10、空间垂直关系的相互转化例10、如图，点P在四边形ABCD所在平面外，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD.【说明】1、熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路；2、垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明；1、若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是____________________2、已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________.3、二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是