河南省九师联盟2024-2025学年高三年级上册开学 数学试题（含解析）

[WJ二数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z满足z（l—i）=i，则I的虚部为（）

11.11.

A.一B.—iC.---D.—i

2222

2.已知集合2%—7<0},5=^eN|j=-x2-4x-21,则2口5=（）

A.{0}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{0,l}

（iV

3.x—〒展开式中的常数项为（）

A.-84B.-28C.28D.84

22

4.己知双曲线C：彳—a=1（。>0,6>0）,若圆£：（X—4）2+/=4与。的渐近线相切，则c的

离心率为（）

A.空~B.2C.272D,3

3

—一—一8

5.已知a=（2,3）,6=（-4,X）,若夕：a与6的夹角是钝角，q：2<-,则夕是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7T

6.在锐角△NBC中，记角/,B,C的对边分别为a,b,c,若/=—,a=2,且

3

sin/—sin（8—C）=sin28,则△/BC的面积为（）

A.3GB.2GC.^-D.V3

3

7.已知圆锥的高与底面半径之和为3,则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（）

A.2石兀B.0若+4>C.小底iD.40+

ex-l,x>0,

8.已知函数/(x)〃2g(x)=kx-l,若关于％的方程/(x)=g(x)有2个不相等的实数解,

一,x<0,

、X

则实数左的取值范围是()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知实数Q,b,c满足〃<b<c,4c<0,则()

A.ab2<b2cB.->—D.c-a>

ca

，()

10.已知函数f(x)=sin2x-mgx=cos,则(

A./(x)与g(x)的图象有相同的对称中心

B./(x)与g(x)的图象关于x轴对称

C./(x)与g(x)的图象关于J，轴对称

D./(x)2g(x)的解集为—+kn,—+kn(左eZ)

1|_63

11.如图，在棱长为2的正方体45c£>—中，尸为棱Z4的中点，0为线段4。上的动点，£为

底面48C。内的动点，则()

人.若坐=2,则20_LZ0

B.若PE=昱,则动点E的轨迹长度为冥况

C.若直线PE与平面所成的角为女JT，则点E的轨迹为双曲线的一部分

113

7T

D.若直线PE与平面8CG用所成的角为一，则点£的轨迹为椭圆的一部分

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知样本数据：11,12,14,a,18(aeN)的标准差为26，则。=.

13.Z,B,C,。共4位同学报名参加学校组织的暑期社会实践活动，这次社会实践活动共有：交通安

全宣传，防火知识宣传，防水安全教育，养老院志愿者服务，国情宣传教育，养老院志愿者服务，国情宣

传教育，年项目，每人报目仅报其中一个项目.记事件M为“四名同学所报项目互不相同”，事件N为

“仅有幺报了防火知识宣传"，则尸.

14.如图，已知抛物线E：x2=4y,点尸是£的准线/上一动点，过点尸作E的两条切线，切点分别为

M,N,点。为线段"N的中点，连接PQ与E交于点G,在点G作£的切线与尸N分别交于

点S,T,APST,△尸跖V的面积分别记为Sksr，SAPMN,则&^=______.

S&PMN

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面

试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束。已知李明答对每道题的概率

均为巳，且每道题是否答对相互独立.

5

(1)求李明没通过面试的概率；

(2)记李明所答题目的数量为X,求X的分布列和数学期望.

16.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=Inx+ax?«eR)在x=l处取得极值.

X

(1)求/(X)的单调区间；

(2)若/(x)W—/+加恒成立，求整数6的最小值.参考数据：In4al.39,ta5®1.61.

17.(本小题满分15分)

如图，四棱锥尸—48C。中，底面四边形48c。为凸四边形，且尸。=/。=。。=4,

PA=PC=AC=46,AB=BC.

(D证明：ACVPB-

(2)已知平面4PC与平面APC夹角的余弦值为拽7,求四棱锥尸-/8C。的体积.

57

18.(本小题满分17分)

己知椭圆C：]+。=1,点，(加,0)(加〉0)与C上的点之间的距离的最大值为6.

(1)求点/到。上的点的距离的最小值；

(2)过点Z且斜率不为0的直线/交。于N两点(点m在点N的右侧)，点N关于x轴的对称点

为T.

①证明：直线过定点；

②已知O为坐标原点，求△板T面积的取值范围.

19.(本小题满分17分)

若数列｛4｝的相邻两项或几项之间的关系由函数/(x)确定，则称/(x)为｛4｝的递归函数.设｛4｝的递

归函数为y(x)=-x2+%.

⑴若%=/(%)(〃eN*),证明：｛%｝为递减数列；

(2)若a“+i=/(%)+54+%：,且％=；,｛%,｝的前九项和记为S”.

①求S,,；

②我们称g(x)=[x|为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1,

n22024

[一1.3]=-2.若求Xg(1)

7；=/=1X5L—T+7I,z=l

高三数学参考答案、提示及评分细则

i(l+i)_i-l_11111

1.C由z(l—i)=i,得z=.---------------------------1---1所以z=--------i,其虚部为——.故

I)1-i(l-i)(l+i)222222

选C.

2.B因为y=-X?-4x-2=-(x+2)2+2W2,又yeN,故8={0』,2},易验证0,1,2均是

x3—x—7W0的解，所以0,l,2eN,所以/口8={01,2}.故选B.

：

„9[r1),v9-3

3.DT.+1=C；x-—〒=(-1)C；x2,令9—三.=0,得r=6,

IW2

所以常数项为4=（-1）6仁=84.故选D.

JT

4.B法1：设渐近线与£的一个切点为4,连接/£,则/。/£二—（如图所示），不妨设第一象限的

2

渐近线/的倾斜角为。，则sine=E1=2=L,又四],所以tan6=立，所以/的斜率为立,

\OE\42I2）33

所以a=与,设c的半焦距为C,则C的离心率6=：='1+[3）=Jl+gj=设故选B.

法2：由题意知C的渐近线方程为勿±亦=0,E的圆心为（4,0）,半径为2,则怛%二2,两边平

Va2+b2

方并化简得4/=/+/,设。的半焦距为。，则离心率e=■|=1号工="=2.故选B.

5.A〃与B的夹角是钝角且a与3不能方向相反.由〃,3<0,得一8+3几<0,所以.若

3

Z与否共线，有24—（—12）=0,所以力=-6,此时Z与3方向相反，所以Z与B的夹角是钝角的充要条

Q

件为X且4W-6.故夕是9的充分不必要条件.故选A.

6.D因为sin/—sin（B—C）=sin2B,所以sin（B+C）—sin（B—C）=sin23,所以

2cosBsinC=2sinBcosB,又△43C为锐角三角形，所以cos5w0,所以sinC=sinB,所以

b=c,又/=工，所以△4BC为等边三角形，所以△4BC的面积为工x2x2sin«=G.故选D.

323

7.A设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高为3-「(0<r<3),则圆锥的体积为

17r

V(尸)二§兀/2(3—〃)=兀/之一§/3,所以『(尸)=2兀/一兀/二兀/(2—厂)，易得厂(厂)在(0,2)上单调递增,

在(2,3)上单调递减，所以当r=2时，％。)取得最大值，此时圆锥的高为1,母线/=J22+F=也,

故圆锥的侧面积S=nrl=JIX2X^5=26兀.故选A.

8.C关于x的方程/(x)=g(x)有2个不相等的实数解，即y=/(x)与y=fcc—l的图象有2个交点.当

2

k=0,直线y=—l与y=—的图象交于点(―2,—1),又当x20时，ev-l>0,故直线y=—1与

j=er-l(x>0)的图象无公共点，故当k=0时，y=/(x)与y=—1的图象只有一个交点，不合

题意；当左>0,直线y=丘一1与曲线y=e“—1(x»0)相切时，此时歹=/(%)与>=自一1的图象

有2个交点，设切点尸(Xo，eM—l),则左=山>\。=e'。，又y=—1过点(0,—1),所以

ex°-1-(-1)2,

----------=e'°,解得x0=1,所以左=e；当左<0时，若一=Ax-l,则kx~-x-2=0,由

x0-0x

1112

A=l+8左=0,得左=——,所以当左=——,所以当人=——时，直线y=—1与y=—的图象相切，

888x

由图得当-!(左<0时，直线y=Ax-l与y=/(x)的图象有2个交点.综上所述，实数左的取值范围是

8

U{e}故选C.

9.BC因为a<b<c,ac<0,所以a<0,c>0,6的符号不确定，当6=0时，不成立,

故A错误；由a<0,c>0,得L>L-<0,-<0,所以

caac

—2,当且仅当c=—Q时取等号，故B,C均正确；由

a<b<c,得c-b>0,b-a>0,故=(0_6)+0_〃)2,当且仅当

c—b—b—ci即2b=Q+c时等号成立，故D错误.故选BC.

10.ABD令2%-4=尢兀(左］eZ),得'=工+4■兀(k、6Z),所以/(x)图象的对称中心为

362

|—+-^—,0j（尢eZ）；令2%+乌=乌+左2兀（左z^Z）,x=—+—71（左2£Z）,所以g（x）图象

\62）6262'

的对称中心为—^-,0^

(A;2GZ),所以/(x)与g(x)的图象有相同的对称中心，故A正确;

g(x)=cos^2x+j=cos^2x-J+j=-s^n--fj=(')'所以/(')与8(、)的图象关于工轴

对称，故B正确；g(x)w/(—X)，故C不正确；由/(x)2g(x),得/(x)20,即sin[2x—

71712兀

所以2左兀《2%——《2左兀+兀，keZ,解得一+E«xV——+左兀(左EZ),故D正确.故选ABD.

363

11.ABC连接ZC,AD一则NC=N〃=20,作纱，ZC,交4C于点尸，易证。尸〃幺&，由

坐=2,得空=,，-=所以。尸=2,AF=晅,所以=声而产=2,同理

℃/413AC333

而__________

。1。=2,所以幺。2+。]。2=2。；，所以A0J_Z0,故A正确；由尸£=岩=’2尸2+幺石2,

PA=-AAX=\,所以2£=迪，点£的轨迹是以幺为圆心，逋为半径的圆在正方形48C。内的

233

部分，」-〉2,设该圆交棱CO于S点，交棱C8于R点，则cos/D4S=cosNA4R=J,又

32

TT7T

ADAS,NA47?为锐角，所以ND4S=NB4R=一,所以N7MS=—,故所求轨迹长度为

66

兀402也R,,丁心

-x----=-----,故B正确；

639

如图，以Z为坐标原点，DA,AB,所在的直线分别为x轴，歹轴，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，则尸(0,0,1),设£(x/,0),PE=(x,y,-l),易得平面的一个法向量为=(°，1，0)，

7T7T

因为直线尸E与平面8CG4所成的角为一，所以sin—,所以

1,33

•兀/石云；一\PE-n\

smj=cos\PE,n,回一=",化简得f——=1,故c正确,

RR荷+r+(—Ql23

D错误.故选ABC.

12.2011+12+14+18=55,设a=10+5f,易求该样本平均数x=13+/,所以该样本的标准差

5=/-r(-2-z)2+(-1-Z)2+(1-z)2+(4Z-3)2+(5-Z)21=273,解得/=2,或/=—！(舍)，所以

Y5--2

a=20.

3A33

13.-由题意知尸(〃乂)=寸

85所以尸(i):号号8

14.；由题意知/：y=-l,设尸(％,—1),N(x2,y2~),由丁=4＞，得了=；/,所以

y'=：x,故左p“=T，所以刊/的方程为y=T(x—XJ+M,即2y=可%—2乂.又PM过点

P(x0,-l),所以%西-2%+2=0,同理/工2-2%+2=0,所以直线MV的方程为七%-2了+2=0,

xax+2-2y=0,,,，—9

所以直线"N过点(0,1),由＜2消去y并化间得f一2%0%-4=0,所以再+%2=2X0,

X=4y

(2)

/，所以＞G=]，即

西工2=一4，所以必+%=%；+2,所以。％0，&+1.直线尸。的方程为x=

I2J

(2\22

G/号，因为冷+1+(—l)=2x,所以点G为心的中点，kST=y'xx=Xo=^-=kMN,所以

ST//MN,且ST为△尸4W的中位线，所以生”=’.

S&PMN4

15.解：(1)李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况,

故所求概率为c；x3x[2]+[2]=—.....................4分

35⑸^5)625

(2)由题意得X的取值为2,3,4,则

2l344

p(X=2)=-x-=—,p(X=3)=CjX-x-x-+8分

5525555125

32i236

尸(X=4)=C；x]x10分

125

故所求分布列为:

X234

94436

P

25125125

11分

5L/、八c9c44,36366

所以£(X)=2x---F3X---F4X--=--13分

v725125125125

16.解：(1)由题意得/(x)的定义域为(0,+oo),f'(x)>=-+2ax+\(x>0),

XX

因为/(x)在x=l处取得极值，所以/'(l)=l+2a+l=0,解得a=-1,2分

+x+]_0-现2了2+2x+1)

此时，ff(x)=--2x+^-=

4分

XXX2X2

其中2/+2x+l〉0恒成立，当xe(0,l)时，f'(x^>0,当xe(l,+oo)时，0,

所以/(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+8),并且/(x)在x=l处取得极大值.6分

(2)f(X^<-X2+/?XBPZ?>-------,令g(%)=------9则62gOOmax，7分

XXXX

l-lnx+2

1-lnx2/2/21

X,令/z(x)=l+——Inx,贝！——-——<0,

尸+了=x2

所以〃(X)在(0,+8)上单调递减,..........8分

37

又"4)=]-ln4〉0,/z(5)=--ln5<0,

22

所以存在唯一的毛£(4,5),使得力(%)=0,即1+—―ln/=0,所以1+—=ln/.10分

当X£(O,Xo)时，//(%)>0,g'(x)>0,当X£(%o，+O0)时，//(%)<0,g"(x)<0,

所以g(x)在(0,%)上单调递增，在(%,+8)上单调递减,12分

i+2

111

所以gG)max=g(%)==~+~，又X。£(4,5),所以一<—<一，

xoX；/与5

又了=/+x在(士工]上单调递增,

又6eZ,所以整数6的最小值为1...................15分

17.(1)证明：因为尸。=40=4,PA=472,

所以尸。2+幺。2=尸42,所以尸..........1分

同理尸£>，C£>,又4DnCZ>=。，AD,C£>u平面48C0,

所以尸。，平面48C。，.........2分

因为ZCu平面Z8C。，所以尸..........3分

连接AD,因为4。=C£>,AB=BC,DB=DB,

所以△组2sCDB,所以N4DB=NCDB.

又4D=CD,由等腰三角形三线合一，得8OL4C...................4分

因为60口尸。=£>，BD,尸。u平面尸AD,所以ZCL平面05£),

又PBu平面PBD,所以ZCJ.尸反.........6分

(2)解：因为40=8=4,AC=4y[2,所以NQ2+CQ2=幺。2,

所以4D_LC。，又PDLAD,PD1CD,故40,CD,PQ两两垂直，

故以。为坐标原点，DA,DC,QP所在的直线分别为x轴，歹轴，z轴建立空间直角坐标系,

则4（4,0,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,4）,所以丽=（0,—4,4）,CA=（4,-4,0）,.................8分

由（1）知平分/40C,设8（a,a,0）,所以屈=（a,a—4,0）.................9分

一/、fm-CP=0,[-4u+44=0.

设平面4C尸的法向量为加=(X],%,zJ,贝H____.即，J

'"m-CA=0,14再-4乂=0,

令七=1,得必=1,Z]=l,所以加=(1,1,1),

n-CP=0,—4%+4Z=0,

设平面尸的法向量为％2

BC(x2,y2,z2),则<

n-CB=0,ax2+(a-4)j2=0,

令％=口，Wx2=4-a,z2=a,所以〃=(4_q,a,a),.................11分

\m-n\4+a7J5

设平面APC与平面BPC夹角的大小为e,则cose==一,11==—

国（4-4+/+/57

,5

两边平方并化简得4a2_17。+15=0,解得a=3或a=................12分

4

因为N£>=C£>=4,ADLCD,所以点。到ZC的距离为NDsin巴=2亚，

4

因为四边形48CD为凸四边形，所以BD>2亚,所以a=*不合题意，

4

所以a=3,所以8。=3g，................13分

所以S四边形/Be。=5NC,BD=-x4A/2x3A/2=12,

所以小棱锥四=3SABCDDP=jxl2x4=16..................15分

18.（1）解：设尸（%,九）是椭圆。上一点，则9+?=1,所以>；=3—1x：,

所以1PH+JVQ—XQ—2TT7XQ+加2+3—(X。-4加)-3m2+3(—2«K2),

4

因为4加>0,所以当％0=-2时，|P/|max=J7772+4m+4=6,

m2+4m-32=0,解得加=4或加=一8（舍去），.........3分

所以|尸闻=J1%—16）2—45,所以当x0=2时，|24nm=2・...............4分

（2）①证明：由题意可知直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=k（x-4）（左W0）,

N（x2,y2）,T（x2,-y2）,联立直线/和。的方程，得

y=k（x-4）,

<x2y2消去歹并化简，得6+4左2»2—32左2%+64左2—12=0,.................5分

----—1

[43

所以A=(—32左2]—4。+4左2)84左2—12)=144。一4左2)〉0,

解得一』〈左<!，且左W0.................6分

22

32”264“2_12

又点拉在点的右侧，则—七<且厂，..........分

N2</2<12,M1+X2,==,12=—7

3+4左23+4左2

所以直线的方程为y=区土匹(x-%)-%，

再-x2

X-X

由1、1%+歹2（12）^2°八

所以y=—~—x-x2-----------,.................8分

^1-^2L必+为_

因为%+―/）%=%+（西-%）（%-4）=中2+*-8%+西々-月-4占+4%

%%X1+%—8%j+x2-8

,64左2—12人32k2

2X1X2-4（X]+々）_3+4左2-3Z4F=128左2—24-128,=-24=1

x+X.-8-32k2。—32左2—24—32左2——24-'

3+4产

所以了=乂[%

(x-1),所以直线过定点(1,0).................10分

②解：由①知直线的方程为"=旦土匹(X—1),设忙五=S,则》=5>+1,

X]-%%+%

（X]+x）2-4X1X

S_Xjj-%2_22⑹32k°64左2—12

=代入,

，1寸再+%Tx,1x72=----------

J1+J2左（X1+X2-8）123+4-3+4左2

可得s=-户

，由一1<2左<1,且左/0,

2k

得s的取值范围为%|swO}.11分

x=sy+1,

2

<x「消去X并化简得@1+4)/+60—9=0,

143

贝必i=(6s)2-4-(?52+4)-(-9)=144(y2+l)>