2024年中考数学重难点押题预测《反比例函数》大题含答案解析

反比例函数大题(二大题型)通用的解题思路：题型一．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题(1)k(2)判断正比例函数y=kx和反比例函数y=2在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：xk2x①当k与ky=kx和反比例函数y=在同一直角坐标系中有个交点；2121k2x②当k与ky=kx和反比例函数y=0在同一直角坐标系中有个交点．121题型二．反比例函数综合题(1)应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．(2)数形结合类综合题解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数题型一．反比例函数与一次函数的交点问题(共25小题)kx321(2024•新北区校级模拟)y=与直线y=x交于AB两点．点A(2,a)和点B(b,-3)C为x轴正半轴上的一点．kx(1)求双曲线y=的表达式和ab的值；(2)请直接写出使得y>y的x的取值范围；12(3)若ΔABC的面积为12C点的坐标．132kx分(1)把A(2,a)和B(b,-3)代y2=x，a与b的A点y1=，反比例函数解析式(2)根据A与B横坐标x的范围即可(3)根据SABC=SAOC+SBOC=12，OC的长C点的坐标．32【(1)∵直线y=x过点A(2,a)和点B(b,-3)，3232∴a=×2=3，b=-3，∴b=-2．k∵双曲线y=过点A(2,3)，x∴k=2×3=6，k6x∴双曲线y=的表达式为y=；x(2)观察图象x<-2或0<x<2时即使得y>y的x的取值范围是x<-2或0<x<2；12(3)∵A(2,3)B(-2,-3)，SABC=SAOC+SBOC=12，1212∴OC×3+OC×3=12，∴OC=4，∴此时C点的坐标为(4,0)．【坐标特征kx2(2023•苏州)y=2x的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(4,n)．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点BD为xB的横坐标大于点D的横坐kxBDBD的中点C在反比例函数y=(x>0)的图象上．(1)求nk的值；(2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大？最大值是多少？(1)首先将点A(4,n)代入y=2x可求出n，(2)过C作EF⊥x轴F，AB于E，C(8,4)，B(m+4,8)，BE=DF=m-4OD=12-m，A的坐标代入y=k/x即可求出k；ΔECB和ΔFCD全BE=DFCE=CF=4，而AB⋅DD=m(12-m)，【(1)将点A(4,n)代入y=2x，n=8，2∴点A的坐标为(4,8)，kx将点A(4,8)代入y=：k=32．(2)∵点B的横坐标大于点D的横坐标，∴点B在点D的右侧．过点C作直线EF⊥x轴于FAB于E，由平移的性质得：AB⎳x轴，AB=m，∴∠B=∠CDF，∵点C为BD的中点，∴BC=DC，∠B=∠CDF在ΔECB和ΔFCD中，BC=DC，∠BCE=∠DCF∴ΔECB≅ΔFCD(ASA)，∴BE=DFCE=CF．∵AB⎳xA的坐标为(4,8)，∴EF=8，∴CE=CF=4，∴点C的纵坐标为4，32x由(1)y=，∴当y=4时，x=8，∴点C的坐标为(8,4)，∴点E的坐标为(8,8)F的坐标为(8,0)，∵点A(4,8)AB=mAB⎳x轴，∴点B的坐标为(m+4,8)，∴BE=m+4-8=m-4，∴DF=BE=m-4，∴OD=8-(m-4)=12-mAB⋅OD=m(12-m)=-(m-6)+36∴当m=6时，AB⋅OD36．(2)k1x3(2024•常州模拟)y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(-1,2)，12B4,-．kx(1)求函数y=1和y=kx+b的表达式；(2)若在x轴上有一动点CSABC=2SC的坐标．312k1x(1)将点A(-1,2)B4,-分别代入反比例函数y=y=kx+b和一次函数可；(2)设AB与y轴交于点DC作CE⎳y轴交AB于点E可．12k1x(1)将点A(-1,2)B4,-分别代入反比例函数y=y=kx+b的解析式，和一次函数-k+b=24k+b=-1∴k=-1×2=-2，，21k=-∴k=2，2．3b=22x1232∴反比例函数的解析式为：y=y=-x+．(2)AB与y轴交于点DC作CE⎳y轴交AB于点EC(m,0)，1232∴Em,-m+．1232∴CE=-m+．32令x=0y=，3∴D0,，232∴OD=，121232154∴S=OD⋅(x-x)=××[4-(-1)]=．BA152∴SABC=2S=．115121232152∴CE⋅(x-x)=⋅-m+⋅5=．2BA2解得m=-3或m=9，∴点C的坐标为(-3,0)或(9,0)．例函数的性质是解题的关键．mx4(2024•常州模拟)y=kx+b(k≠0)与函数为y=(x>0)的图象交于A(4,1),1212B,a两点．(1)求这两个函数的解析式；(2)y-y>0时x的取值范围；12(3)点P在线段ABP作xMy2的图象于点QΔPOQ的面积为34点P的坐标．mx(1)将A点坐标代入即可得出反比例函数y2=(x>0)B的坐标，再将AB两点坐标分别代入y=kx+b(2)由题意即求y>y的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取12值范围；124p4p(3)P(p,-2p+9)且≤p≤4Qp,得PQ=-2p+9-124p到S=-2p+9-⋅p=3m(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(4,1)，xm4∴1=．∴m=4．4∴反比例函数解析式为y=(x>0)．x124x把Ba代入y=(x>0)a=8．12∴点B坐标为8，12∵一次函数解析式y=kx+b图象经过A(4,1)B4k+b=18，∴．1k+b=82k=-2b=9∴．故一次函数解析式为：y=-2x+9．(2)由y-y>0，12∴y>y121由图象可得，<x<4．212(3)P(p,-2p+9)且≤p≤4，4p∴Qp,．4p∴PQ=-2p+9-．124p∴S=-2p+9-⋅p=3．5解得p=p=2．2552∴P4或(2,5)．kx5(2024•沭阳县模拟)y=的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A(a,-1)B(-1,3)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设直线AB交y轴于点CN(t,0)是xN作NM⊥x轴交反比例函数ykx=的图象于点MCNOM．若SCOMN>3t的取值范围．(1)将点BAa和k析式；(2)先求出点Ckx(1)∵反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A(a,-1)B(-1,3)两点，∴k=-1×3=a×(-1)，∴k=-3a=3，-3x∴点A(3,-1)y=，3=-m+n-1=3m+nm=-1由题意可得：，n=2∴一次函数解析式为y=-x+2；(2)∵直线AB交y轴于点C，∴点C(0,2)，3212∴SCOMN=SOMN+S∵SCOMN>3，=+×2×t，3212∴+×2×t>3，32∴t>．1x6(2024•宿迁二模)已知函数y=的图象与函数y=kx(k≠0)的图象交于点P(m,n)(1)若m=2nk的值和点P的坐标．(2)当|m|≤|n|k的取值范围．6nm(1)由y=kx(k≠0)得k=m=2n可得到kP(2n,n)P的坐标代入反比例函数解析式可求得n的值；nm(2)由y=kx(k≠0)得k=|m|≤|n|可得k的取值范围．(1)∵y=kx(k≠0)，yxnmn2n12∴k====．∵m=2n，∴P(2n,n)，22∴2n∙n=1n=±．∴m=±2．2222∴P2，或-2-．(2)∵y=kx，yxnm∴k==，∵|m|≤|n|，∴k≥1．【点评】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．17(2024•泉山区校级模拟)xOyy=x+5和y=-2x的图象2kx相交于点Ay=的图象经过点A．(1)求反比例函数的表达式；12kx(2)设一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=的图象的另一个交点为BOBΔABO的面积．(1)联立方程求得A(2)联立方程求得交点Bx1y=x+5x=-2y=4(1)由∴A(-2,4)，2得，y=-2xkx∵反比例函数y=的图象经过点A，∴k=-2×4=-8，78x∴反比例函数的表达式是y=-；8y=-x=-2y=4x=-8(2)解x得或，y=112y=x+5∴B(-8,1)，1由直线AB的解析式为y=x+5得到直线与x轴的交点为(-10,0)，21212∴S=×10×4-×10×1=15．mx8(2023•常州)y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(2,4)B(4,n)．C是yCACB．(1)(2)若ΔABC的面积是6C的坐标．(1)利用待定系数法求得即可；12(2)先求得D(0,6)SABC=S-S得×CD⋅(4-2)=6CD=6C的坐标．mx(1)∵点A(2,4)在反比例函数y=的图象上，∴m=2×4=8，8x∴反比例函数解析式为y=；8x又∵点B(4,n)在y=上，∴n=2，∴点B的坐标为(4,2)，2k+b=44k+b=2把A(2,4)和B(4,2)两点的坐标代入一次函数y=kx+b得k=-1，解得，b=6∴一次函数的解析为y=-x+6．(2)对于一次函数y=-x+6x=0y=6，即D(0,6)，12根据题意得：SABC=S-S=×CD⋅(4-2)=6，解得：CD=6，∴OC=0或12，∴C(0,0)或(0,12)．时满足一次函数与反比例函数解析式．kx9(2024•姜堰区一模)y=-2x+a的图象与反比例函数y=(k>0)的图象在第一12象限相交于点A(m,n)B(m-2,3n)．(1)求ak的值；(2)当y>y>0x的取值范围．128(1)m=3AB点的坐标再代入一次函数解析式组成方程组求出n和ak值即可；(2)根据函数图象直接写出当y>y>0时自变量取值范围即可．12(1)∵点A(m,n)B(m-2,3n)都在反比例函数图象上，∴mn=3n×(m-2)，整理得：2n(m-3)=0，∵m≠0n≠0，∴m-3=0m=3．∵A(3,n)B(1,3n)在直线y=-2x+a的图象上，-6+a=n-2+a=3nn=2a=8∴，∴A(3,2)，∵A(3,2)在反比例函数图象上，∴k=6．∴a=8k=6．(2)由(1)可知：A(3,2)B(1,6)y>y>0时，x的取值范围为：1<x<3．12kx10(2024•昆山市模拟)y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=2(k≠0)的图象11相交于ABA的坐标为(-2,1)B的坐标为(1,n)．(1)求这两个函数的表达式；kx(2)kx+b>2的取值范围；(3)求ΔABO的面积．(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；(2)根据图像直接写出不等式的解集即可；(3)根据S=SAOC+S代入数据计算即可．9(1)∵A(-2,1)B(1,n)在反比例函数图象上，∴k=-2×1=n，∴k=n=-2，2x∴反比例函数解析式为：y=-，∵A(-2,1)B(1,-2)在一次函数图象上，-2kb=1k+b=-2k=-1b=-1∴，∴一次函数解析式为：y=-x-1．kx(2)kx+b>2的解集为：x<-2或0<x<1．(3)设直线AB与y轴的交点为CC(0,-1)即OC=1，121232∴S=SAOC+S=×1×2+×1×1=．kx3211(2024•兴化市一模)已知函数y=(k是常数，k≠0)y=-x+9．(1)若函数y和函数y的图象交于点A(2,6)B(4,n-2)．12①求kn的值．②当y>yx的取值范围．12(2)若点C(8,m)在函数y1C先向下平移13DD恰好落在函数y1m的值．(1)①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可；②根据图形分布和解答横坐标直接写出不等式解集即可；(2)先根据平移条件得到D(5,m-1)m值即可．(1)①∵函数y和函数y的图象交于点A(2,6)B(4,n-2)，12∴k=2×6=4×(n-2)k=12n=5．12xy=A(2,6)B(4,3)∴y>y时，x的取值范围为：0<x<2或x>4．12(2)∵点C(8,m)在函数y1C先向下平移13D，∴D(5,m-1)，k∵D恰好落在函数y=图象上，x53∴5(m-1)=8mm=-．kx12(2024•南通模拟)AB交双曲线y=于ABx轴于点CB恰为线段ACOA．若SOAC=6．求k的值．10设出点BA和点CΔOAC的面积即可解决问题．kaB坐标为a,，∵点B为线段AC的中点，2k∴y=2y=，ABaa2k2则点A的坐标为,，ax+x∴C=a，23∴xC=a，232则点C坐标为a,0．又∵ΔAOC的面积为6，12322ka∴⋅a⋅=6，解得k=4，故k的值为4．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．13(2024•亭湖区模拟)OAB中，AO=ABB坐标为(4,0)顶点A在反比例函数kxy=ΔOAB的面积为12．(1)k=12．kx(2)过B点直线对应的解析式为y=x+b与双曲线y=MN．①求点MN的坐标．kx②直接写出不等式-x-b≥0的解集．(1)过点A作AC⊥OB于点CAC即可求得点A的坐标是(2,6)点A的11(2)①②根据图象即可求得．(1)过点A作AC⊥OB于点C，∵等腰三角形OAB中，AO=ABB坐标为(4,0)，∴OB=4，∵ΔOAB的面积为12，12∴OB⋅AC=12，∴AC=6，∴A(2,6)，kx∵顶点A在反比例函数y=的图象上，解得：k=2×6=12，故答案为：12；(2)①把B点的坐标代入y=x+b得：4+b=0，∴b=-4，∴过B点直线解析式为y=x-4，y=x-4x=6y=2x=-2y=-6或联立得，y=x∴M(6,2)N(-2,-6)；kx-x-b≥0的解集是0<x≤6或x≤-2．A点的坐标以及数形结合是解题的关键12kx14(2024•常熟市模拟)y=x-1的图象与y轴相交于By=(k≠0,x>0)图象相交于点A(m,2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)点C在点AC作yDBD．设点C的横坐标为aa为何值时，ΔBCD(1)根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)根据三角形面积公式列出关于a12(1)∵点A(m,2)在一次函数y=x-1的图象上，1212∴m-1=2得m=6，∴A(6,2)，∵点A(6,2)在反比例函数图象上，∴k=6×2=12，12x∴反比例函数解析式为：y=；12(2)在一次函数y=x-1x=0y=-1，∴B(0,-1)，1∵点C的横坐标为aC的纵坐标为a-1，212a12a∴Da,，12∴CD=-a+1，1212a12S=×-a+1×a14141412=-a+a+6254=-(a-1)+，∵-<0，254∴Sa=1S=．kx15(2024•东海县一模)一次函数y=-x+5与反比例函数y=的图象在第一象限交于AB两点，其中A(1,a)．(1)求反比例函数表达式；k(2)-x+5≤时，x的取值范围；xkx(3)若把一次函数y=-x+5的图象向下平移by=直接写出b的值．(1)待定系数法求出k值即可；(2)(3)把一次函数y=-x+5的图象向下平移b个单位得到新的解析式为：y=-x+5-bx2-(5-b)x+4=00出b值即可．(1)∵A(1,a)在一次函数图象上，∴a=-1+5=4A(1,4)，13∵A(1,4)在反比例函数图象上，∴k=1×4=4，4x∴反比例函数解析式为：y=；4y=x=1y=4x=4y=1或(2)联立方程组x，y=-x+5∴A(1,4)B(4,1)，kx-x+5≤的解集为：0<x≤1或x≥4；(3)把一次函数y=-x+5的图象向下平移b个单位得到新的解析式为：y=-x+5-b，y=-x+5-b4x联立方程组掉y得：-x+5-b=，4y=x整理得：x-(5-b)x+4=0△=(5-b)-16=0，∴5-b=±4，，∴b=9或1．kx16(2024•钟楼区校级模拟)y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(2,3)和点B(n,-2)．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；kx(2)直接写出不等式>ax+b的解集；(3)若点P是xΔPAB的面积是10P的坐标．(1)将点A坐标代入反比例函数解析式求出kB解析式；(2)通过观察图象交点求解；(3)设点P坐标为(m,0)PAB的面积为10及三角形面积公式求解．kxk2(1)将(2,3)代入y=得3=，解得k=6，6x∴反比例函数解析式为y=．∴-2n=6，解得n=-3，所以点B坐标为(-3,-2)，14-2=-3a+b3=2a+b把(-3,-2)(2,3)代入y=ax+b得：，a=1b=1解得，∴一次函数解析式为y=x+1；kx(2)由图象可得当x<-3或0<x<2时式>ax+b；(3)设点P坐标为(m,0)x轴交点为E，把y=0代入y=x+1得0=x+1，解得x=-1，∴点E坐标为(-1,0)．121252∴S=S+S=×3PE+×2PE=PE，5252∴PE=10|m+1|=10，解得m=3或m=-5．∴点P坐标为(3,0)或(-5,0)．等式的关系．17(2024•姑苏区校级模拟)x轴上长为1的线段AB为宽作矩形ABCDADBC交kx直线y=-x+3于点FEy=(x>0)的图象正好经过点FE．(1)线段EF长为ꢀ2ꢀ；(2)求k值．(1)表示出EFEF的长度；(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=m(-m+3)=(m+1)(-m+2)(1)∵点FE在直线y=-x+3图象上，∴设F(m,-m+3)E(m+1-(m+1)+3)(m+1,-m+2)∴EF=(m+1-m)+(-m+2+m-3)2=2．故答案为：2；kx(2)∵反比例函数y=(x>0)的图象正好经过点FE，∴k=m(-m+3)=(m+1)(-m+2)得m=1，∴k=m(-m+3)=1×2=2．1518(2024•昆山市一模)xOyy=kx+b(kbk≠0)111kx与反比例函数y=2(kk≠0)2的图象交于点，．A(m,6)B(4,-3)2(1)求反比例函数和一次函数的表达式；kx(2)当2>kx+b>0x的取值范围；(3)已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点CP在xΔPAC的面积为9P的坐标．(1)(2)x(3)先求得点Ck2x(1)将B(4,-3)代入y=，解得：k=-12，12x∴反比例函数表达式为y=-，12x将A(m,6)代入y=-m=-2，∴A(-2,6)，-2k+b=64k+b=-3将A(-2,6)B(4,-3)代入y=kx+b，32k=-1解得：，b=332∴一次函数的表达式为：y=-x+3；(2)∵A(-2,6)B(4,-3)，kx2>kx+b>0-2<x<0时，；32(3)∵y=-x+3y=0，解得：x=2，∴C(2,0)，设P(p,0)，则PC=|p-2|，∵ΔPAC的面积为9，12∴×|p-2|×6=9，解得：p=5或-1，∴P(5,0)或P(-1,0)．16k2x19(2024•盐城模拟)y=kx+b的图象与反比例函数y=A和112点BAB两点的坐标分别是A(-1,-2)和B(2．m)OAOB．kx(1)求一次函数y=kx+b与反比例函数y=2的函数表达式；112(2)求ΔAOB的面积．(1)AB两点坐标求出直线解析式即可；(2)求出直线AB与x轴的交点MS=S+S代入数据计算即可．(1)∵点A(-1,-2)在反比例函数图象上，2x∴k=2y=；∵B(2．m)在反比例函数图象上，∴m=1B(2,1)，∵点AB在一次函数y=kx+b的图象上，11-k+b=-22k+b=1k=1b=-1∴，一次函数解析式为：y=x-1，(2)设直线AB交x轴于点My=0x=1M(1,0)OM=1．121232所以S=S+S=×1×1+×1×2=．的分界点．20(2024•天宁区校级模拟)xOyy=2x+b的图象与x轴交于kx点A(-1,0)y轴交于点By=(x>0)的图象交于点CAB=BC．点D是x轴正CD∠ODC=45°．(1)求b和k的值；(2)求ΔACD的面积．17分析(1)将点Ab的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出OH=OA=1CH=2OB=4出Ck的值；(2)根据∠ODC=45°得到ΔDCHAD求ΔACD的面积即可．(1)将点A(-1,0)代入一次函数y=2x+b，得-2+b=0，解得b=2，∴B(0,2)，∴OB=2，在y=2x+2y=0x=-1，∴A(-1,0)，∴OA=1，过点C作CH⊥x轴于点HCH⎳OB，OAAHOBCHABAC∴==，∵AB=BC，1AH2CH12∴==，∴AH=2CH=4，∴OH=OA=1，∴C(1,4)，kx∵反比例函数y=(x>0)的图象过点C，∴k=1×4=4；(2)∵∠ODC=45°CH⊥x轴于点H，∴∠DCH=45°，∴ΔDCH是等腰直角三角形，∴DH=CH=4，∴AD=1+1+4=6，1212∴ΔACD的面积为：AD⋅CH=×6×4=12．C坐标是解决本题的关键．mx21(2024•姑苏区校级一模)y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交12于点A(4,1)和点B(2,n)．(1)求一次函数和反比例函数解析式；(2)过点B作BC⊥y轴于点COAOABC的面积；mx(3)根据图象直接写出使kx+b<成立的x的取值范围．18(1)采用待定系数法求函数解析式．先将点AmB代入反比例函数解析式求出nnAB点坐标代入一次函数解析数即可．(2)四边形OABC数与坐标轴的交点即可求出面积．(3)结合图象确定x的取值范围即可．m(1)将点A(4,1)代入y=(x>0)中，xm4得1=故y=m=4，4；x4x42将点B(2,n)代入y=n==2，将A(4,1)B(2,2)代入y=kx+b，121=4k+b2=2k+bk=-b=3得，1故y=-x+3；2(2)如图所示，12对于一次函数y=-x+3，令x=0y=3E(0,3)令y=0x=6D(6,0)，∴OD=6OE=3，∵B(2,2)BC⊥y轴，∴BC=2CE=3-2=1，设ΔAOD的高为hA(4,1)可知h=1，SOABC=S-S-S12121212==×OD×OE-×BC×CE-×OD×h112×6×3-×2×1-×6×12=5；mx(3)kx+b<时，x的取值范围为0<x<2或x>4．OABC放在大三角形中求解面积．kx22(2024•新北区一模)y=(x>0)与一次函数y=2x+m的图象交于点A(1,4)，19BC⊥y轴于点DBC．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接ABOD=1ΔABC的面积．(1)将点A坐标分别代入两个解析式得到km值即可；(2)将y=1分别代入两个解析式求出点BC(1)∵点A(1,4)在反比例函数图象上，∴k=1×4=4，4x∴反比例函数解析式为：y=，∵y=2x+m的图象过点A(1,4)，∴4=2×1+m．解得m=2，∴一次函数解析式为：y=2x+2．4x(2)将y=1代入y=得x=4，∴B(4,1)，12将y=1代入y=2x+2得x=-，1∴C-1，2129292∴BC=4--=，12274∴S=××(4-1)=．23(2024•武进区校级模拟)y=-x+3与y轴交于点Ax轴交于点Dykx=(k≠0)的图象交于点CC作CB⊥x轴于点BAD=3AC．(1)求点A的坐标及反比例函数的解析式；kx(2)若点E是直线y=-x+3与反比例函数y=(k≠0)ΔCOE的面积．DAACDOOB(1)求出点A点DAODOCB⎳y轴得出=AD20=3AC得出OD=3BOC解析式；(2)联立两个函数解析式求出点E(1)∵直线y=-x+3与y轴交于点Ax轴交于点D，∴A(0,3)D(3,0)OA=3OD=3，∵CB⊥x轴，∴CB⎳y轴，DAACDOOB∴=，∵AD=3AC，∴OD=3OB，∴OB=1，∴点C的横坐标为-1，∵点C在直线y=-x+3上，∴点C(-1,4)，∴k=-1×4=-4，4x∴反比例函数的解析式为y=-；y=-x+3(2)联立方程组x=-1，4xy=-x=4解得或，y=-1y=4∴直线与反比例函数图象的另一个交点E的坐标为(4,-1)，12121212152∴S=SAOC+S=OA⋅|xC|+OA⋅|x|=×3×1+×3×4=．求出反比例函数解析式是解答本题的关键．24(2024•东海县一模)如图1y=x+b的图象经过点A(-2,0)kx比例函数y=的图象交于B(a,4)C两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点MS=4M的坐标；(3)反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BCCCBB两条曲线相交于PQ2PQPQ的长．21(1)用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；(2)由S=4M满足在与y=x+2距离为2M在y=x或y=x+4M；(3)PQ长即可．(1)把A(-2,0)代入y=x+b0=-2+b，∴b=2，∴y=x+2，把B(a,4)代入y=x+24=a+2，∴a=2，∴k=2×4=8，8x∴y=，8x∴一次函数和反比例函数的表达式分别为：y=x+2y=；(2)令y=x+2中y=0x=-2，∴点A(-2,0)，∴AB=2+22=42，12∵S=4=×42⋅h，∴h=2M满足在与y=x+2距离为2的直线上，∴点M在y=x或y=x+4上，y=xx=22x=-22，12由，8y=22y=-22y=x∵点M在第一象限，∴点M坐标为(2222)，y=x+4x=-2+23x=-2-23，12由，8y=y=2+23y=2-23x∵点M在第一象限，∴点M坐标为(-2+232+23)，综上点M坐标为(2222)或(-2+232+23)；88(3)平移之后的曲线为：y=-6和y=+6，x+6x-68y=y=+6-6x=27x=-27由x-68，，2y=-27y=27x+6∴点P(-2727)点Q(27-27)，∴PQ=(47)+(47)2=414．25(2024•泗阳县校级二模)A(-4,n)B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函mx数y=的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及ΔAOB的面积；(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．22mx(1)先把B点坐标代入代入y=出mA(2)根据x轴上点的坐标特征确定CΔAOB的面积=SAOC+S进行计算；(3)观察函数图象得到当-4<x<0或x>2mx∵B(2,-4)在反比例函数y=的图象上，∴m=2×(-4)=-8，8x∴反比例函数解析式为：y=-，8把A(-4,n)代入y=-，x得-4n=-8得n=2，则A点坐标为(-4,2)．把A(-4,2)B(2,-4)分别代入y=kx+b，-4k+b=22k+b=-4k=-1b=-2得得，∴一次函数的解析式为y=-x-2；(2)∵y=-x-2，∴当-x-2=0时，x=-2，∴点C的坐标为：(-2,0)，ΔAOB的面积=ΔAOC的面积+ΔCOB的面积1212=×2×2+×2×4=6；(3)-4<x<0或x>2【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是题型二．反比例函数综合题(共8小题)26(2024•泰兴市一模)如图1xOy中，OAC在反比例函数y=2x4xBD在反比例函数y=-ABCD．(1)若对角线ACBD交于点OAC的表达式为y=8xBD的表达式为y=-x．ABCD为平行四边形；②求▱ABCD的面积；23(2)如图2ABCD为平行四边形，AB平行于xACBD的交点坐标；(3)如图3ABCDACBD相交于点O．(1)①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定即可；②先求出ABCDS平行四边形=4S代入数据计算即可；2m24m4n2n4(2)设AmB-mCnD-nm=-nn24n可得A--nB--nCnD-nAC和BDnn(0,0)；2m4s2n4t(3)设Am,Bs,-Cn,Dt,-m=-ns=-t2n2n4t4t母可得A-n,-Cn.B-t,Dt,-AC和BD(0,0)．(1)AC的表达式为y=8xBD的表达式为y=-xAC在反比例2x4x函数y=BD在反比例函数y=-的图象上，根据两个反比例函数图象都是中心对称图形，∴AO=COBO=DO，∴四边形ABCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)；2y=2xy=与y=8x联立方程组得：x，y=8x1212x=x=-12解得，，y=4y=-41212∴A4C--4，同理求得：B(-2,2)D(2,-2)，如图1AM⊥xMBN⊥xN，125212121292S=S-SAOM-S=×2+4×-×4×-×2×2=，92∴S平行四边形=4S=4×=18．2m4m2n4n(2)AmB-mCnD-n，∵AB⎳CDAB=CD，242m24m24n42n4∴∴++=-=---，，mnmn2(m+n)4(m+n)∴=-，mnmn∴m+n=-2(m+n)，∴m+n=0，∴m=-n，2n4n2n4∴A--nB--nCnD-n，nn22设直线AC解析式为：y=kx+bAC坐标得：k=b=0，n2∴直线AC的解析式为：y=x，2n2同理可得BD解析式为：y=-x，4∴直线AC与BD(0,0)．2m4s2n4t(3)Am,Bs,-Cn,Dt,-，∵AB⎳CDAB=CD，2m4s4t2n2m2n4s4t∴m-s=t-nm+n=t+s，+=--+=--，2(m+n)mn4(s+t)4(m+n)∴∴∴=-=-，ststm+nmn2(m+n)=-，stm+nmn2(m+n)+=0，=0，st12∴(m+n)+mnst∵mn<0st<0，1mn2st∴+<0，∴m+n=0=s+t，∴m=-ns=-t，2n2n4t4t∴A-n,-Cn.B-t,Dt,-，2待定系数法求得直线AC解析式为：y=xn24t2待定系数法求得直线BD解析式为：y=-x∴AC与BD的交点坐标为(0,0)．27(2024•东台市一模)A(-3,2)B(n,-3)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数ymx=的图象的两个交点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求ΔAOB的面积；25(3)在坐标轴上是否存在一点PΔAOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)yS=SAOC+S代入数据计算即可；(3)分两种情况讨论①当OA=OPP的位置满足ΔAOP等腰三角形，②当PA=POP点，P点是线段OAP点坐标即可．mx(1)∵已知A(-3,2)B(n,-3)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点，∴m=-3×2=-3n，∴m=-6n=2，6x∴反比例函数解析式为：y=-；(2)∵A(-3,2)B(2,-3)在一次函数y=kx+b图象上，-3k+b=22k+b=-3k=-1b=-1∴，∴一次函数解析式为：y=-x-1，设一次函数与y轴交点为CC(0,-1)OC=1，121252S=SAOC+S(3)∵A(-3,2)，=×1×3+×1×2=；∴OP=3+22=13，①当OA=OPP的位置满足ΔAOP等腰三角形，P(0,13)P(-130)P(0,-13)P(130)；1234②当PA=POP点，P点是线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点，∵A(-3,2)在直线OA上，2332∴直线OA的k=-OA的中点坐标-1，32设线段OA垂直平分线解析式为y=x+b，3294134将点-1坐标代入得：1=-+bb=，3134∴线段OA垂直平分线解析式为y=x+，2134136当x=0时，y=y=0时，x=-，2613413P-0．∴P0,566134P点有6P(0,13)P(-130)P(0,-13)P(130)P0,、12345136P-0．628(2023•泰州)在平面直角坐标系xOyA(m,0)B(m-a0)(a>m>0)的位置和函数y=m-amx(x>0)y=(x<0)的图象如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCDAD边与函数y1x的图象相交于点ECD边与函数yy的图象分别相交于点GHy的图象经过点EGy123轴相交于点PPH．(1)若m=2a=4y3的表达式及ΔPGH的面积；(2)当am在满足a>m>0的条件下任意变化时，ΔPGH的面积是否变化？请说明理由；(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y2的图象上？并说明理由．(1)先确定EGy3P合H点求ΔPGH的面积；(2)按(1)的思路求解；(3)用am表示直线PH与BCy2的图象上．(1)∵m=2a=4，2x2x∴点A(2,0)B(-2,0)y=y=-，1212∴点E(2,1)G4H-4，∵一次函数y3的图象经过点EG，2k+b=1∴设y=kx+bk=-2，1k+b=42∴，b=5∴函数y的表达式为y=-2x+5，33∴P(0,5)，∴PM=OP-OM=1，121212∴S=×HG×PM=×1×1=．27mxm-a(2)∵点A(m,0)B(m-a,0)y=y=，xmam-a∴点E(m,1)GaHa，akm+b=111设y=kx+b，km311+b=a1a∴b=a+1，∴P(0,a+1)，∴PM=OP-OM=1，1212mam-a12∴S=×HG×PM=×-×1=．a∴当am在满足a>m>0的条件下任意变化时，ΔPGH的面积不变化．(3)设直线PH与BC边的交点为NPH为y=k2x+a+1Hm-ak(m-a)a+aaa+1=a，a∴k=∴y=，a-maa-mx+a+1，当x=m-a时，y=1，∴N(m-a,1)，m-a∴点N在y=(x<0)的图象上．x29(2024•盐城模拟取值范围如何呢？小明尝试从函数图象的角度进行探究：(1)建立函数模型4xm2设一矩形的面积为4mxyxy=42(x+y)=my=y=-x+4m2么满足要求的(x,y)应该是函数y=与y=-x+的图象在第一象限内的公共点坐标．x(2)画出函数图象4①画函数y=(x>0)的图象；xm2②在同一直角坐标系中直接画出y=-xy=-x+的图象可以看成是由y=-x的图象向上平移个单位长度得到．(3)研究函数图象平移直线y=-x4x①当直线平移到与函数y=(x>0)m的值为；②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围．28(4)面积为10的矩形的周长m的取值范围为．(1)由x>0y>0得(x,y)在第一象限；m2(2)①直接画出图象即可；②y=-x+与x(3)①②0个1个2(4)2x-mx+20=0(1)∵xym，∴x>0y>0m>0，4xm2∴满足要求的(x,y)应该是函数y=与y=-x+的图象在第一象限内的公共点坐标．4x(2)①y=的图象如图所示：②y=-x的图象如图所示，mm2∵y=-x+∴y=-x+与x轴的交点为0，2m2m2的图象可以看成是由y=-x的图象向右平移个单位长度得到，m2故答案为：；m2，y=-x+(3)①联立方程组可得：4y=x12整理得：x-mx+4=0，29∵两图象有唯一交点，1∴△=m-16=0，4∴m=8，1∴x-×8x+4=0，2解得：x=2，∴交点坐标为(2,2)，故答案为：(2,2)8；②由①知：0个交点时，0<m<82个交点时，m>81个交点时，m=8；10xm2(4)设相邻的两边长为xyx⋅y=102(x+y)=my=y=-x+，y=联立方程组可得x，m2y=-x+整理得：2x-mx+20=0∵两函数有交点，，∴△=m-4×2×20≥0，∴m≥410，故答案为：m≥410．kx30(2023•镇江)y=-3x与反比例函数y=(k≠0)的图象交于AB(1,m)两点，C点在x轴负半轴上，∠ACO=45°．(1)m=ꢀ-3ꢀk=C的坐标为；(2)点P在xBOP为顶点的三角形与ΔAOCP的坐标．(1)ΔAOC中，tan∠AOH=3∠ACO=45°AO=10角三角形的方法求出CO(2)证明点P在xΔAOC∽ΔBOP和ΔAOC∽ΔPOB(1)当x=1时，y=-3x=-3=mB(1,-3)，将点B的坐标代入反比例函数的表达式得：k=-3×1=-3，3x即反比例函数的表达式为：y=-，A(-1,3)，30由点OA的坐标得，OA=10A作AH⊥x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠AOH=3，而∠ACO=45°，设AH=3x=CHOH=xAO=10x=10x=1，则AH=CH=3OH=1，则CO=CH+OH=4，则点C的坐标为：(-4,0)，故答案为：-3-3(-4,0)；(2)当点P在x轴的负半轴时，∵∠BOP>90°>∠AOC，又∵∠BOP>∠ACO∠BOP>∠CAO，∴ΔBOP和ΔAOC不可能相似；当点P在x轴的正半轴时，∠AOC=∠BOP，OAOBOCOP若ΔAOC∽ΔBOP==1，则OP=OC=4，即点P(4,0)；AOOPCOOB若ΔAOC∽ΔPOB=，10OP410即=，解得：OP=2.5，即点P(2.5,0)，P的坐标为：(4,0)或(2.5,0)．(2)解题的关键．31(2023•连云港(1)如图1ABCD中，AB=4M是CD的中点，AE⊥BME．设BC=xAE=y含x的代数式表示y．(2)在上述表达式中，y与x2所示．若x2上补全函数图象．(3)xy随x31数值y的取值范围是-42<y<42ABCDABCD是平行四边形．其中正确的是①④．(写出所有正确结论的序号)(4)若将(1)AB=AB=