江苏省南京某中学2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题

江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期6月

期末考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1,也c。s]5+也sinl5=()

22

AJ_B括

cD1

23-T-

2.在复平面内，常把复数z=4+历(a,beR)和向量OZ进行一一对应.现把与复数2+i对应

的向量绕原点。按顺时针方向旋转90,所得的向量对应的复数为()

A.l-2iB.-l-2iC.l+2iD.-l+2i

3.下列各组向量中，可以作为基底的是（）.

A.=（0,0）,e2=（1,-2）B.ex=（-1,2）,

C.q=（3,5）,e2=（6,10）D.ex=（2,-3）,

4.复数Z满足Z.（l+i）=i3,则其共辗复数W的虚部为（）

A.-B.-iC.--

222

5.在VABC中，a,b,。分别为角A,B,C的对边.若A=60,6=1,5ABe=6，则

a+c/、

sinA+sinC-

A岳R2713「国2病

A.---D.------------C.---nL）.-------------

3333

6.已知正四面体P-ABC的棱长为1,空间中一点“满足产加=肝4+泮5+2尸5其中x,

九zeR,且x+y+z=l.则1PM的最小值为（）

A也B.如C.-D.1

333

7.已知sin（7。-&）=sin（5。+a）+cos（40+a）,贝ljtana=（）

A.BB.-BC.上D.-y/3

33

8.如图，已知三棱柱ABC-A再G的所有棱长均为2,满足则该三棱柱体积的

最大值为（）

C.2后D.4

二、多选题

9.已知Z-Z2为复数，贝U()

•Z]Z]=Z]*Z]B.上出卜团㈤

C.若Z]>Z2，则Z[—Z2>0D.若Zi—Z2>0,则Z]>Z2

10.已知非零向量a,b,记%=,+.,,则（）

A.若a，b，则工=y

B.若a〃z?,贝!Jx>y

C.若X=6,y=击,且同=2忖，则a,。的夹角为120

3

D.若孙=5。•人，贝|x=3y

11.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=l43,将三角形ACD沿直线AC翻折得到三角

形ACD',在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A.存在某个位置，使得三棱锥ABC的外接球半径大于gG

B.存在某个位置，使得异面直线3D与AC的所成的角为£

4

C.点B到平面ACD的距离的最大值为1

试卷第2页，共4页

D-直线.与平面A%所成角的正弦值最大为噜

三、填空题

12.已知向量。=(2,1),6=(尤,2),若。乂2”-54则实数x的值为.

71..71Y3兀..371]

cos—+ism—cos----Fisin—

।44人44J

13.求值:

2兀..271V71..兀、

cos----Fisin——cos—+isin—

33人33j

14.己知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥

的所有表面的交线总长为.

四、解答题

15.在平面直角坐标系xOy中，以统轴为始边的锐角«和钝角P的终边分别交单位圆于A,

8两点.已知点A的横坐标为立，点B的纵坐标为正.

510

(1)求sin(a+/7)；

(2)求2a-尸的值.

16.在底面为正三角形的三棱柱ABC-A瓦G中，已知点M，N分别是AG，与C的中点.

⑴求证：^^//平面四耳8;

(2)若AA=AC.求证：AC_L平面4cM.

17.在锐角VABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知方=2c2-7

,..,tanB,,

⑴求v氤的值;

123

⑵求---------1---------的最小值.

tanAtanBtanC

18.类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变

函数〃x)=V+4，xeC,weN*.

⑴当"=1时，解关于x的方程：/(%)=1；

⑵当〃=2时，

①若忖=1,求的最小值;

②若存在实部不为0的虚数x和实数/，使得成立，求国的取值范围.

19.在三棱台ABC-A与G中，△ABC为正三角形，AB=BC=2,且3C,点。为AC

的中点，平面ABC,平面阴C.

(1)若GOL4C,证明：平面cgqq，平面D3C］；

(2)当44,=CC］=4时，

①设平面A2A与平面D3C］的交线为/,求二面角4T-G的余弦值；

②若点E在棱8G上，满足4G=3EG.问：在棱BC上是否存在点尸，使得过点A，E,尸三

点的平面将三棱台ABC-A4G分为两个多面体，且体积相等？若存在，求出3尸的长度；

若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CABADBDBABCACD

题号11

答案BC

1.C

【分析】将原式转化为01145。8515。+8s45飞近15。，然后利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】-^cosl5+-^-sinl5

22

=sin45°cosl5°+cos45°sinl5°

=sin(45°+15°)=sin60°=*.

故选：C

2.A

【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转90。后对应的复

数为(2+"(cos(-90°)+isin(-90°))=l-2i.

【详解】根据题意可知，

复数2+i对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转90。可得

(2+i)(cos(-90°)+isin(-90°))=(2+i)(-i)=-2i-i2=l-2i,

即所得的向量对应的复数为l-2i.

故选：A.

3.B

【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.

【详解】因为0=(-1,2)与e2=(5,7)不共线，其余选项中6、e?均共线，所以B选项中的两

向量可以作为基底.

故选：B

【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.

4.A

【分析】首先利用复数的运算求z,再求其共辗复数的虚部.

i3-i-i(l-i)-1-i

【详解】由题意可知，z=—^―==——,

l+il+i(l+i)(l-i)2

答案第1页，共18页

所以彳=M+gi,

22

所以共物复数三的虚部为;.

故选：A

5.D

【分析】根据三角形面积求c,再根据余弦定理求。，再根据正弦定理，即可求解.

【详解】SABC=-bcsinA=—xlxcx^-=y/3,所以c=4,

ABC222

根据余弦定理"=&2+c2-2Z?ccosA=l+16-2xlx4x1=13,

_a岳2则

即。=^/1^，sinA百3，

T

所以a+c_27?sinA+27?sinC__2A/39

sinA+sinCsinA+sinC3

故选：D

6.B

【分析】对尸知=工尸4+＞尸3+2尸。结合％+丁+2=1化简得41/=,45+24。，从而可知点M

在平面ABC内，所以当9,平面ABC时，最小，从而可求得结果.

【详解】因为PM=xPA+yPB+zPC,x+y+z=l,

所以PM=(l-y-z)尸A+yPB+zPC,

PM=PA-yPA-zPA+yPB+zPC,

所以PM—PA=y(PB-PA)+z(PC-PA),

所以AM=yAB+zAC,

因为AB,AC不共线，所以AM,AB,AC共面,

所以点M在平面ABC内,

所以当PMJ_平面ABC时，|尸刈最小,

取BC的中点。，连接AD,则点M在AD上，且AM=2AO=2X正义1=走,

3323

所以PM=yJp^-AM2=

答案第2页，共18页

即的最小值为当.

故选：B

7.D

【分析】利用两角和差的正余弦公式，再结合诱导公式，以及辅助角公式，化简求值.

【详解】由条件等式可知，

sin70cosdz-cos70sina=sin50cosa+cos50sina+cos40coscr-sin40sina,

贝Usin70cosa-cos70sina=2sin50cosa，

sin70-2sin50

cos6Z(sin70-2sin50)=cos70sina则tanat---------------------

cos70

V33

sin(60+10)-2sin(60-10)——cos10+—smlO

22

cos70cos70

括sin(10-30)氐皿20

=—A/3•

cos70cos70

故选：D

8.B

【详解】如图：取AC的中点连接

B

因为是菱形，所以A耳，AB,又因为与A4，qCu平面阴。,

答案第3页，共18页

AB1nBjC=Bx,

所以AB_L平面阴C,因为ACu平面用C,所以AB_LAC,

因为AM=MC,AB=BC,所以BM1.AC,又因为AB8Mu平面,\BBM=B,

所以AC,平面ABM,因为AMu平面ABM,所以AC^AM,

4M=A41sin60°=V3,当侧面ACC^A，底面ABC时，三棱柱的体积最大，

2

此时三棱柱的高即为,V=乖)SABC=A/3X^^-X2=3.

故选：B

9.ABC

【分析】对于A、B,设4=。+历，z?=c+不，根据复数的乘法以及复数的模的公式计算

即可；对于C、D,复数只有在都是实数的情况下才能比大小.

【详解】设4=。+历，z2=c+di,

对于A：zxz2=ac-bd+(ad+bc)i=z%=ac-bd-(ad+be)i

Zj-z2=(a_bi)(c_di)=ac_bd_(ad+bc)i=z%,故A正确；

对于B：BZ21=yl(ac-bd)2+(ad+be)2=y/a2c2+a2d2+b2d2+b2c2，

卜忆|=yjci2+b2yjc2+d2=J//+〃2d2+b2c2=[zR,故B正确；

对于C：当Z]>Z2,说明Z],Z2都是实数，所以Z「Z2>0,故C正确；

对于D：当Z「Z2>。时，只能说明4-Z2是大于0的实数，不能说明4*2是实数，

例如Z]=l+i,Z2=—l+i,不能比大小，故D错误.

故选：ABC

10.ACD

【分析】对于A：只需得到“2=0即可判断；对于B：分为〃与b同方向或反向两种情况讨

论即可判断；对于C：根据条件计算出向=2,|z>|=l,a为=-1即可判断；对于D：利用

极化恒等式即可求解.

答案第4页，共18页

对于B：当〃//》时，♦与b同方向或反向,

当。与。同方向时，x=|d+W，＞=忖-忖，x＞y,

当。与。反向时，了=|阿-卜卜/=同+卜卜％＜兀故B错误;

+(W)+2a-b=3

根据题意有M『+（W）［2a.b=7,解得:向=2,

对于C：W=l，a-b=—\

同=2忖

/,\a-b1

所以cos（a,b）=而=-5，则”与b的夹角为120。，故C正确；

对于D：由彳=“问/+（忖）+2a-b,y=J（同/+（忖）-2d・b得:=；（/一;/）,

所以孙=|（/一_/）n（x-3y）（3x+y）=0nx=3y或x=—1（x,y＞。，舍去）.

故D正确.

故选：ACD

11.BC

【分析】对于A,可直接构造出球心，并得到外接球半径等于述；对于B,将异面角转化，

3

从而找到异面直线BD'与AC的所成的角为的特殊位置即可；对于C,先证明点3到平面

ACO的距离不超过1,再给出取到1的例子即可；对于D,法一：给出一种情况，证明此时

直线班）‘与平面A3C所成角的正弦值大于我即可，法二：构造线面角表达式，利用基本

10

不等式求出最大值.

【详解】连接4。，8。交于点0,过。作。尸工47,垂足为尸，过B作BGJ_AC,垂足为G,

记D关于AC的对称点为D",过。夕作D'H，平面ABC,设垂足为H,则点H在直线DD"上,

连接30.

答案第5页，共18页

D*

对A,因为。4=O3=OC=OD,因此三棱锥A3c的外接球半径为。4=2叵，选项A

3

错误.

对B,因为=0=则/ZMC=9,又因为AO=DO,

373

则AWO为等边三角形，贝|4。=冬巨，

3

则AF=FO=OG=GC=",AM=AFx^=—x^^=-,

3/333

则BD=FG=—=BC,则易知NCAB=ZABr>〃，则B0//AC,

33

因为AC_L平面DDO",因此3/y_L平面Diyiy,因此NDBD即为直线BD'与AC所成角,

因为">"u平面"TO",所以BD,又0<。7/<。/7=2,

则当。77=2叵时，tanZD'BD"=1,ZD'BD"=-,选项B正确.

34

对C,记4为点3到平面ABC的距离，4为点8到平面ACD的距离,

因为%-49=5-谢，SACD'=SABC>因此4=4(1,

当平面ACD'l.平面ACB时取等号，此时点以与图中点E重合，故C正确;

对D,法一：注意到当7/落在线段阳〃时，直线应）'与平面A3C所成角有最大值,

记此时F"=x,0<x<l,

则有D'H-=l-x2,D'B2=D'D"2+D"B~=1-x2+(l-x)2+|=y-2x,

不曰sinZHBD'=八，W,410-

于是D'B210c,令r=^-2x,贝k,

------ZX3I33

3

则化简知sm2ZHBD'=---—+-<-2.

4%3\49t33

答案第6页，共18页

当且仅当f=l，x=!时等号成立，于是sin/HBD最大值为且，选项D错误.

333

法二：设。关于直线AC的对称点为AC的中点为P.点O在直线AC上的投影为F,

点。在平面ABC上的投影为G,则G一定在线段。。的内部或端点上.

同A选项方法易知5E=1,

由于3Z)"〃AC,DD"±AC,故DD"_L3Zr.

设D"G=k,由于r>ZT=2DF=2,故0«%V2.

而PG=|O〃G-。阳=|"1,D'F=DF=1,

故D'G=y/D'F2-FG2==y/2k-k2.

2y

据相似三角形知识有「(=黑，故CB亍।73.

BEABCE=---BE=^—xl=——

AB23

由于3ELAC,ly'FLAC,故BED"F,而BE=D'F=1,所以四边形3EFD"是平行四

边形.

从而》一一竿=孚

这就得到了BG=^D"B2+D"G2=

由于点。在平面A3C上的投影为G,故直线3D与平面ABC所成角的大小就是〃2G.

而——震RR6k-3k26k-3k2

4+3k24+3k2，

答案第7页，共18页

2

26k-3k2V2

且由于当％=一时，有tanND'5G=

34+3/2

故此时有

交

sinZD'BGtanZD'BG7回

Vsin2ZD'BG+cos2ZD'BG7tan2ZD'BG+1

这表明当％=:时，直线BD'与平面ABC所成角的正弦值大于叵，故D错误.

310

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：本题的D选项关键在于可利用空间角的定义将线面角转化为两条相

交直线的夹角，然后使用函数方法即可找出反例或者求出最大值.

12.0

【分析】利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可求解.

【详解】由题意可知，2a-56=（4-5x,-8）,

若56）,贝ij2x（4-5x）-8=0,得x=0.

故答案为：0

13.1

【分析】首先根据三角函数化简，在利用复数的运算法则，即可求解.

【详解】原式=

故答案为:

14（8囱+9）无

.9

【分析】由题意可得以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面PBC,PDC,ABCD有

交线，其中表面尸BC,PDC的交线相同，取BC的中点E,连接尸E,过尸作尸尸AC,过B

作BF®E,过A作尸于G,连接尸G,AF,可证得AG，平面3cpF,所以可得以点A

答案第8页，共18页

为球心，2为半径的球与四棱锥的表面尸BC的交线为以G为圆心，PG为半径的一段弧，根

据已知条件可求出弧长，从而可求得结果.

【详解】因为正四棱锥P-ABCZ）的所有棱长均为2,

所以以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面PBC,PDC,ABCZ）有交线，

取BC的中点E,连接尸E,过尸作尸尸右C,过8作8尸色£,PFcBF=F,

则四边形为平行四边形，PELBC,所以3尸，BC,

过A作AGL3尸于G,连接尸G,AF,

因为3CLAB,ABBF=B,平面.尸，

所以BCJ_平面ARF,

因为AGu平面尸，所以BC1.AG,

因为尸，BCBF=B,u平面3CPF,

所以AG,平面3cPE,

因为正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,

所以BE=CE=PF=1,PE=BF=AF=5^,

所以sABF=gAB./尸AB］=1x2xV2=V2,

所以工3E-AG=应，得AG=平,

2V3

因为AB=AP=2,所以BG=PG=.22-［乎］=—,

所以以点A为球心，2为半径的球与四棱锥的表面P3C的交线为以G为圆心，之叵为半径

3

的一段弧，

因为=所以FG=百-空=且，

33

所以tanZPGF="=6,所以=

所以NPG2=1，

所以弧尸8的长为"乂空=也

339

同理可得以点A为球心，2为半径的球与四棱锥的表面PDC的交线长为勺国,

答案第9页，共18页

以点A为球心，2为半径的球与四棱锥的表面ABC。的交线为点A为圆心，为半径的四

分之一圆，弧8。的长为?义2=兀，

2

所以以点A为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为

4扃c（84+9）兀

-------x2+兀=---------，

99

故答案为：（8/+9）兀

9

【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥与球的截面问题，解题的关键是找出球在四棱锥表面上

的交线，考查空间想象能力，考查计算能力，属于难题.

15.⑴一生叵

50

⑵-：

【分析】（1）根据条件求得cosa=@，sin4=也，再根据同角三角函数基本关系式，以

510

及两角和的正弦公式，即可求解;

（2）首先利用角的变换求sin（2a-£）=sin[a+（a-0],即可求解.

【详解】（1）由题意可知，P

510

所以sina=71-cos2a=~~~，cos(3=-^/1-sin2[3=~~~~

sin(a+/)=sinacos/?+cosasin/=一；

(2)sin(a一尸)=sinacos/3-cosasin/?=

答案第10页，共18页

cos(a-尸)=cosacos'+sinasin/J=-

lo-

sin(2a-/7)=sin[a+(a—y0)]=sinacos(a—p)+cosasin(a-p),

由cosa=^^＜^^,得］＜尸＜兀，则一］＜2a—夕＜］,

所以2c-

16.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，构造中位线，即可证明;

(2)通过平行平面的转化，转化为证明线面垂直.

【详解】(1)如图，连结BG，43,

因为点N是BG的中点，且BCG用为平行四边形，

所以点3,N，G三点共线，且M,N分别是AG，的中点，

所以MN//A2,

A47V<Z平面，A8u平面AB21A，

所以MN//平面；

(2)如图，取AC的中点E,连结片£,BE,AtB,B}M,MC,ME,AtC,

答案第11页，共18页

4MC,

因为分别是AC和AC的中点，所以AM//EC，且A"=EC,

所以四边形AECM是平行四边形，所以AE//MC,

且AEZ平面耳VC,MCu平面片MC,

所以4E〃平面用WC,

且MEIAAIIB,B,且ME=AA=B内，所以四边形耳是平行四边形,

所以BE//印W,

且BE（Z平面BiMC/陷u平面B、MC,

所以3E〃平面瓦MC,

且AEBE=E,平面ABE,

所以平面〃平面片MC,

因为AA=AC,所以AE_LAC,同理3E_LAC,

且AEBE=E,平面ABE,所以AC,平面ABE,

所以AC，平面与CM.

17.d）|

⑵叵

2

【分析】⑴先由如〜〜-可得心白+火由余弦定理cosC^,再由正弦定理

asinA贝"八黑，由三角恒等变换可证结论;

4b4sin3

答案第12页，共18页

4tan31233tan311

（2）利用3tan3=tanC,得出tanA=则‘一+一+'---------十

3tan2B-ltanAtanBtanC44tan5'

利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】（1）因为2/=2。2_〃2,贝=；/+/,

l+l金2方…工田2,22片+/+/]

由余弦定理a+b-c（2）a,

cosC=--------------=--------------------------=——

2ablab4b

上十asinAsinA

由正弦定理于高田则cosC=

4sinB

在VABC中，A=7i-（B+C）,

所以4sinBcosC=sinA=sin（8+C）=sinBcosC+cosBsinC,

则3sinBcosC=cosBsinC，则3tanB=tanC,

tanB

所以

tanC3

/-./___\tanB+tanC4tan3

（2）由（1）3tanB=tanC,则tanA=—tan（5+C）=----------------

tanBtanC-13tan2B-l

1233tan2B-l213tan2B+ll

--------1----------1--------=----------------1----------1---------=-----------------

tanAtanBtanC4tan3tanBtan54tanB

在锐角ABC中，有tanB〉0,

1233tanB11,/3tanB11-

故——+——+----=------+------>2.---------x----------

tanAtanBtanC44tanBy44tanB

当且仅当学0=即tanB=K13时取等号，

44tanB3

123的最小值为学

所以---7------n"1------1

tanAtanBtanC

18.⑴尤二1土石

2

⑵①-2,②{1}

【分析】(1)由题意得%+工=1,化简后利用一元二次方程的求根公式求解即可；

X

(2)①设x=a+/i(a,/wR),代入/(同=/+g结合/十^=1可求得其最小值；②由题

意设x=a+历(a,6eR,qN0,6w0),代入〃力=尤2+4化简，再由/(力2加，可得/(x)为

实数，从而可得/+〃=1,进而可求出|x|的取值范围.

答案第13页，共18页

【详解】（1）由题意得X+'=1,整理得尤2_彳+1=0,

X

1±7P4l±V3i

X=------------=---------；

22

(2)①当〃=2时，f(x)=x2+-^,设％=a+Z?i(a,h£R),

x

因为W=i,所以/+〃=i,

/W="2+I=(a+Z,i)2+(^F

1

=(a2-b2)+2abi+

(〃2-b2)+2abi

(a2-b2)-2abi

+2abi+

^a2-b2)+2abi^a2-b2)-2abi]

(a?-/)-2abi

=(a2-b2)+2abi+

(〃2-Z?2)2+4«2Z?2

(〃2一/)一2〃方

=(a2-b2)+2abi+

(/+/)2

=(〃-b2)+2abi+(a2-b2)-2abi

=2(a2-b2)

=2(2/_1)12,

当且仅当〃=0时，取等号,

所以/（X）的最小值为-2；

②设I=〃+历w°,Ow°),则

“，）=一+：=（。+历f+f

1

=(/-b2)+2abi+

(a2-b2)+2abi

(Q2_02)_2Q历

a2廿)+2abi+

\^a2-b2)+2"i][[a2-b2)-2abi]

(/-/)-2a历

=(a2-b2)+2abi+

(a2-b2)2+4a2b2

(〃2—/)—2"i

=(〃-b2)+2abi+

(tz2+b2)2

z272、2abi

=(a—b)H-----------+2abi---------------z—：-

(a2+b2)2(4+从产

答案第14页，共18页

_72ab

二面一⑻+2ab----------i

+"7(a2+b2)2

因为存在实数使得/("2”成立,

所以/(X)为实数，所以2"-(/2：ab62)2=0,

因为aw0,6w。，所以4+〃=1,

222

当/+从=i时,y(%)=2(O-b)=2(2a-1)>-2(a0),符合题意,

此时*=。+历(<3,6€艮(7/0,6*0),则国=J/+62=],

所以国的取值范围为{1}

【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的模的计算，第(2)问解题的关键

是设x=a+历(a,)eR)代入〃切=/++，利用复数的乘除法运算法则化简，考查计算能

力，属于较难题.

19.(1)证明见解析;

52

⑵①②存在，BP=|

【分析】(1)根据面面垂直可得比＞1平面MC,进而可证4。，平面D3C],即可得结果;

(2)根据题意分析相关长度，确定三棱台的结构特征，并将三棱台补成三棱锥，①做辅助

线，分析可知/即为直线3N,利用三垂线法求二面角；②做辅助线，设黑=九＞°,结合

台体的体积公式运算求解.

【详解】(1)连接。1,

因为AB=BC,且点。为AC的中点，则BDLAC,

又因为平面ABC_L平面阴C,平面ABC「平面AB。=AC,5£＞u平面ABC,

答案第15页，共18页

所以平面MC,由4Cu平面AB。，可得

且GDLBC，C|。cJB。=D，G。,8Ou平面D3Cl，可得80，平面D3C],

且用Cu平面C28C,所以平面C8BG，平面D3C1

(2)①由题意可知：BD=；AC=0B[D=^,

因为△ABC为正三角形，且点。为AC的中点，则耳。人AC,

又因为平面ABC_L平面阴C,平面ABC平面AB|C=AC,4Ou平面阴C,

所以平面ABC,由班)u平面ABC,可得耳

可得48=西河+BD。=2>/2,

取A3的中点M,连接。M,瓦M,

因为48=44,40=08,则耳/_LA2,Z)M_L4B,

且4McOM=M,印％DMu平面4OM,则AB,平面BQM,

对于梯形ABB】A，过点A做A。，4耳，垂足为R,

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