2024年中考数学试题分类训练：特殊的平行四边形

专题21特殊的平行四边形（45题）

一、单选题

1.（2024•重庆・中考真题）如图，在矩形A8CD中，分别以点A和C为圆心，长为半径画弧，两弧有且

仅有一个公共点.若A£>=4,则图中阴影部分的面积为（）

A.32-8nB.16A/3-4TI

C.32-4兀D.1673-871

【答案】D

【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识.根据题意可得AC=2AD=8,由勾股定理得出

AB=46,用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论.

【解析】连接AC,根据题意可得AC=2AD=8,V矩形ABCD,：.AD=BC=4,ZABC=90。，在RtAABC

中，AB=JAC?_3c2=45,图中阴影部分的面积=4x46-2x也*=16百-8万•故选，D.

2.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，。是坐标原点，菱形A30C的顶点5在x轴的负半轴上，顶点C的坐

标为（3,4）,则顶点A的坐标为（）

A.(-4,2)B.\/3,4)C.(-2,4)D.(-4,73)

【答案】C

【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形.结合菱形的性质求出

AC=OC=5是解题关键.由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出AC=OC=5,从而可求出AD=2,

即得出顶点A的坐标为（-2,4）.

【解析】如图，：点C的坐标为（3,4）,AOC=A/32+42=5-:四边形ABOC为菱形，，AC=OC=5,

AD=AC-CD=AC-xc=5-3=2,.,.顶点A的坐标为（-2,4）.故选C.

3.（2024•湖北武汉•中考真题）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画/M4N；②以点A为圆心，1个

单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点8,D；③分别以点3,。为圆心，1个单位长为半径画弧，两

弧交于点C；④连接BC,CD,BD.若NA=44。，则/CBD的大小是（）

C.68°D.70°

【答案】C

【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的

性质，即可求解.

【解析】作图可得AB=AD=3C=OC.•.四边形ABCD是菱形，AD\\BC,ZABD=ZCBD-：ZA=44°,

ZMBC=ZA=44°,：.ZCBD=1(180°-ZMBC)=1(180°-44°)=68°,故选，C.

4.（2024.四川成都・中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与8。相交于点0,则下列结论一定正

确的是（）

A.AB^ADB.ACIBDC.AC^BDD.ZACB^ZACD

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可.

【解析】：四边形ABCD是矩形，AAB=CD,AC=BD,AD〃BC,则/ACB=/D4C,.•.选项A中

AB=AD不一定正确，故不符合题意；选项B中AC13D不一定正确，故不符合题意；选项C中AC=3D

一定正确，故符合题意；选项D中NACB=NACD不一定正确，故不符合题意，故选，C.

5.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE_L8c于点E,则AE

的长是（）

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC,进而得出AC=6,进而根据等面积

法，即可求解.

【解析】：四边形ABC。是菱形，CD=5,8。=8,二£>O=|BZ）=4,AC±BD,BC=CD=5,在Rt^CDO

中，CO=dDC?-DO?=3,；.AC=2OC=6,:菱形ABCD的面积为gaCxBOnBCxAE，

X8X6

4F_2_24,故选，A.

55

6.（2024・河北・中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征

值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的

是（）

D------.c

A---------'B

Ox

A.点AB.点8C.点CD.点。

【答案】B

【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设4（。/），AB=m,AD=n,

可得。（a,b+〃），B（a+m,b）,C[a+m,b+n）,再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案.

【解析】设A（a,Z?）,AB—m,AD=n,,矩形A_BCD,AD=BC=n,AB=CD=m,.,・/）（〃,/?+〃），

8（。+犯》）,C（tz+m,Z?+n）,-<-<—,而上<妇3,••.该矩形四个顶点中“特征值”最小的

a+maaa+ma+m

是点3故选，B.

7.（2024・吉林・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）.以0Aoe

为边作矩形。4BC,若将矩形Q4BC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAEC,则点8'的坐标为（）

少

A-------

B________C

AOCx

A.（M,-2）B.（T,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到。4=4,OC=2,再

由矩形的性质可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋转的性质可得。T=。4=4,AB'=AB=2,

ZOA'B'=90°,据此可得答案.

【解析】••,点A的坐标为（Y,0）,点C的坐标为（0,2）,；.。4=4,0c=2,...四边形Q4BC是矩形，

AB=OC=2,4BC=90。，：将矩形Q4BC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形OAEC,

OA=OA=4,A!B'=AB=2,ZOAB'=90°,A'B'ly轴，.•.点B'的坐标为（2,4）,故选，C.

8.（2024•甘肃•中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,3D相交于点0,ZABD=60°,AB=2,

则AC的长为（）

人.口

X

BC

A.6B.5C.4D.3

【答案】c

^OA=OB=OC=OD=^AC,结合ZABD=60。，得到AAOB是等边三

【分析】根据矩形ABCD的性质

JB=AB=^AC,解得即可.

角形，结合AS=2,得到。4=（

本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

【解析】根据矩形ABCD的性质，得。4=08=OC=。£>=；AC,；ZABD=60°,/.^AOB是等边三角形，

VAB^2,：.OA=OB=AB=^AC=2,解得AC=4.故选C.

9.（2024.四川眉山・中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6,8C=8,点E1在。。上，把VADE沿AE

折叠，点。恰好落在边上的点尸处，贝UcosNCEF的值为（）

.4

【答案】A

【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性

质是解题的关键.

根据折叠的性质，可求得AF=AD=8,EF=DE,从而求得跖，CF,在Rt^£FC中，由勾股定理，得

EF?=CE、CF2,即可求得结果.

【解析】；四边形ABCD是矩形，，加=叱=8,DC=AB=6,；把VADE沿AE折叠，点。恰好落在8c

边上的点尸处，...”=9=8,EF=DE,BF=YIAF2-AB2=A/82-62=2yfj-:.CF=BC-BF=8-2币,

在RtA£FC中，CE=DC-DE=6-EF,由勾股定理，得EF2=CE1+CF2,EF2=（6-EF）2+（8-2近丫，

8出-14

10.（2024•甘肃・中考真题）如图1,动点尸从菱形ABCD的点A出发，沿边AB-3c匀速运动，运动到点

C时停止.设点尸的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点

时，尸。的长为（）

图1图2

A.2B.3C.也D.2>/2

【答案】C

【分析】结合图象，得到当X=O时，尸0=49=4,当点尸运动到点2时，尸0=80=2,根据菱形的性

质，得NA08=N80C=90。，继而得至UAB=BC={0尺+OB?=2石，当点尸运动到3c中点时，尸。的

长为:=解得即可.

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理,

直角三角形的性质是解题的关键.

【解析】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4,当点尸运动到点B时，PO=BO=2,根据菱形的性

质，得NAaB=N8OC=90。，i&AB=BC=^0^+0B2=2^'当点尸运动到中点时，尸。的长为

1BC=A/5,故选C.

2

11.（2024•甘肃临夏.中考真题）如图1,矩形ABCD中，BD为其对角线,一动点P从。出发,沿着D—BfC

的路径行进，过点尸作PQLCD,垂足为Q.设点厂的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与X的函数图象

如图2,则AO的长为（

11

D.T

【答案】B

【分析】本题考存了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.

根据函数的图象与坐标的关系确定8的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解.

【解析】由图象得：CD=2,当6£>+BP=4时，PQ=CD=2,此时点尸在BC边上，设此时BP=a,则

222

BD=4-a,AT>=2C=2+a,在RQ3co中，BD2-BC2=CD\（4-a）-（a+2）=2?,解得：a=~,

Q

/.AD=a+2=—,故选,B.

3

12.（2024.广西.中考真题）如图，边长为5的正方形ABC。，E,F,G,〃分别为各边中点，连接AG,BH,

CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MN尸。的面积为（）

DGC

o

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先证明四边形MNP。是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出AM=QM,证

明AADG丝AR4H（SAS）得出ZZMG=ZABH,则可得出NQMN=ZAMB=90。，同理NAQD=90。，得出平行

四边形MNPQ是矩形，证明AADQ四△区4M（AAS）,得出。Q=A〃，进而得出QQ=AM=PQ=QM,得出

矩形MNP。是正方形，在Rt^AOQ中，利用勾股定理求出QM。=5,然后利用正方形的面积公式求解即可.

【解析】•••四边形ABCD是正方形，，AB=3C=CZ）=ZM,AB//CD,AD//BC,

ZDAB=ZABC=N3Cr>=NCn4=90。，分另1J为各边中点，CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

・・.DG=CG=AE,・,•四边形AECG是平行四边形，・・・AG〃C£,同理。尸||5",・••四边形脑VPQ是平行四

边形，VAG//CE,二备=冬=1，DQ=PQ,同理AM=QM,,:DG=AH,ZADG=ZBAH=90°,

AD=BA,AADG'BAH（SAS）,；.ZDAG=ZABH,"：ZDAG+Z.GAB=90°,；.ZABH+ZGAB=90°,

ZQMN=ZAMB=90°,同理ZAQ£>=90。，；.平行四边形MNP。是矩形，VZAQD=ZAMB=90°,

ZDAG=ZABH,AD=BA,/.ADQ^BAM（AAS）,：.DQ=AM,又DQ=PQ,AM=QM,

£>Q=AM=PQ=QA/,.•.矩形MNPQ是正方形，在Rt^AOQ中，AD^DQ^+AQ1,：.52QM2+（2QM^,

。叱=5,.•.正方形MNP。的面积为5,故选，C.

13.（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，边长为2的正方形A3C。的对角线AC与8。相交于点。.E

是2C边上一点，尸是8。上一点，连接。耳跖.若ADE尸与△£>£《关于直线DE对称，则△3EF的周长

是（）

A.20B.2+0C.4-20D.拒

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是

解题的关键.根据正方形的性质可求出2。=2后，根据轴对称的性质可得小="C=2,

ZDFE=NBCD=90°则BF=BD—DF=2五一2，再求出所=8尸=2近一2，BE=®BF=4-2也,即

可求出答案.

【解析】正方形A3CD的边长为2,3C=£>C=2,48。=90。,。。=：&）,ZCBD=45°,

BD=y/BC2+DC2=2A/2-•••△fiEF与ADEC关于直线OE对称，产=OC=2,ZDFE=ZBCD=90°,

:•BF=BD-DF=2及-2,NBFE=9Q。,：.ZFBE=ZFEB=45°,:.EF=BF=2及-2,

2石=&2尸=@2忘-2）=4-2忘,△BEF的周长是2石+所+8尸=4_2&+2忘-2+2夜—2=20,

故选，A.

14.（2024・上海.中考真题）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线30的垂线，过8、。作对角线AC的垂

线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【答案】A

【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题

的关键.由矩形性质得到SAOBCM""。，OC=OB=Q4=8,进而由等面积法确定C"=/=AE=OG,

再由菱形的判定即可得到答案.

【解析】如图所示.•••四边形ABCD为矩形，.,・々。"二川”。，OC=OB=OA=OD,-,-HA.C作对角线8。

的垂线，过8、。作对角线AC的垂线，.•.S，oBc=S，aw=；OC8b=；OBC〃=；OD-AE=；a4-£）G，

CH=BF=AE=DG,如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，故选，A.

15.（2024・四川德阳・中考真题）宽与长的比是由二1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感,

2

世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形A3CD是黄金矩

形.（AB<3C）,点尸是边上一点，则满足尸3,PC的点P的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一

元二次方程解的情况是解题的关键.设钻=a,BC=b,假设存在点P,且=则尸£>=6-x,利用

2222222

勾股定理得至产=4笈+”2=“2+/，pC=PD+CD=（b-Xy+a,BC^BP+PC,可得到方程

尤2一法+/=0,结合空=0=1二然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解.

BCb2

【解析】如图所示，四边形A5CD是黄金矩形，AB<BC,丝=1二1,设AB=a,BC=b,假设存在

BC2

点尸，S.AP=x,则尸£>=6—x,在RMABP中，BP2=AB2+AP2^a2+x2,在RtAPDC1中，

PC2=PD2+CD2=（b-x）2+a2,vPBLPC,，BC2=BP2+PC2,即〃=/+/+（）一外2十/,整理

^x2-bx+a1=0,A=/?2—4ac=b2—4a2>,BPa=­~-b>

BCb22

A=力-4ac=b2-4a2=及一4x-1）川=（2下-5）力，'：2右一5<0,b2>0,

4

△=/_4〃=（2百-5屹2<0,方程无解，即点P不存在.故选，D.

16.（2024•四川泸州•中考真题）如图，在边长为6的正方形A3CD中，点£,尸分别是边AB,BC上的动

点,且满足=AF与DE交于点。，点M是"'的中点，G是边48上的点，AG=2G3,则

的最小值是（）

C.8D.10

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等,

先证明AADE0ABAF（SAS）得到/4DE=NE4E,进而得到/。（»=90。，则由直角三角形的性质可得

OM=；DF,如图所示，在AB延长线上截取BH=BG,连接,易证明AFBG知FBH（SAS），则F"=bG,

可得当H、D、尸三点共线时，DF+HR有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的

一半，求出AH=8,在RSADH中，由勾股定理得DH=[AD。+AH?=10，责任OM的最小值为

5.

【解析】••,四边形ABCD是正方形，，A£>=AB,ZDAB=ZABC=90°,又,：AE=BF,：.

^ADE^BAF（SAS）,：.ZADE=ZBAF,：.ZDOF=ZADO+Z.DAO=ZBAF+Z.DAO=Z.DAB=90°,:

点用■是。尸的中点，如图所示，在4B延长线上截取BH=5G,连接FH,

ZFBG=ZFBH=90°,FB=FB,BG=BH,:.AFBGmAFBH（SAS）,:.FH=FG,：.

OM+]-FG=\DF+-HF=-（DF+HF）,.•.当X、D、尸三点共线时，。厂+所有最小值，即此时

2222'7

OM+工厂G有最小值，最小值即为的长的一半，；AG=2G3,AB=6,；.BH=BG=2,；.AH=8,

2

在Rt&4£）”中，由勾股定理得DH=JAD。+AH?=10,OM+g尸G的最小值为5,故选，B.

17.（2024.重庆•中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点歹是CO延长线上

一点，连接AE,AF,40平分ZEAF.交CD于点M.若BE=DF=l,则DM的长度为（）

12

A.2B.y[5C.76D.

y

【答案】D

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到

NABE=NADC=N4m=NC=90。，AB=AD=CD=BC=4,再证明/VIBE丝ZW^lSAS)得到

AE=AF,进一步证明△AEM/△AFM(SAS)得到四=9,设DM=尤，贝|

EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-DM=4-x,

在Rt^CEM中，由勾股定理得(X+1)2=32+(4-X＞，解方程即可得到答案.

【解析】：四边形ABCD是正方形，/钻石二乙堂^:二/功不二二^二的。，AB=AD=CD=BC=4,又

BE=DF=1,：.ZVLBE^ZXADF(SAS),：.AE=AF,,：AM平分NEAF,/./FAM=ZFAM,又：

AM=AM,ZXAEM^AAFM(SAS),：.EM=FM,设£)M=x,贝！]

EM=FM=DF+DM=x+1,CM=CD-CM=4—x,在RtACEM中，由勾股定理得EM?=CE?+CM?,

oo1?12

(X+1)2=32+(4-X)-,解得X=[,:.DM=W,故选，D.

二、填空题

18.（2024・福建・中考真题）如图，正方形A3CD的面积为4,点E,F,G,斤分别为边AB,BC,CD,

AD的中点，则四边形瓦G"的面积为.

【答案】2

【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到m=OG=1,

进而得到%GH，同理可得S/HE=S回=S承GF=1，最后利用四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积

Y个小三角形面积求解，即可解题.

【解析】••,正方形ABCD的面积为4,.1AS=30=00=4）=2,?£>90?,；点E,F,G,H分别为

边A3,BC,CD,AZ）的中点,HD=_DG=1,=5义1义1=5,同I理可得号人班=5«£物=S<GF=5,

二四边形EFGH的面积为4一一］=2.故答案为：2.

2222

19.（2024・山东威海•中考真题）将一张矩形纸片（四边形A8CD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB

上的点C处，折痕为MN,点。落在点D处，C'。'交AD于点E.若氏0=3,BC'=4,AC'=3,则

DN=

【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出

C'M=CM=5,然后证明ABC'M珏AEC',得到BC'=AE=4,MC=C'E=5,即可得到DE=4,DE=2,

然后在RtAD'EN中，利用NE2=D'E2+D'N2解题即可.

【解析】在Rt^C'3M中，C'M=+BM?=次+3?=5，由折叠可得CM=CM=5,

AD'CM=AD'=AD=AC=90°,又：ABCD是矩形，/.ZA=ZB=90°,

ZBC'M+ZACE=ZAEC+ZAC'E=90°,ZBC'M=ZAEC,又；AC'=BM=3,：.ABC'M知AEC',

ABC'=AE^A,MC'=C'E=5,:.AB=CD=C'D=7,BC=")=3M+CW=3+5=8,

DE=AD-AE=8-4=4,UE=C'D'-C'E=l-5=2,设DN=DN=a,则硒=4-a,在RtA/ZHV中，

22

NE=D'E-+D'N,即(4-a)2=1+22,解得：a=~,故答案为5.

20.(2024•河南・中考真题)如图，在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边在x轴上，点A的坐标为(-2,0),

点E在边CO上.将ABCE沿8E折叠，点C落在点F处.若点尸的坐标为(0,6)，则点E的坐标为.

【答案】（3,10）

【分析】设正方形ABCD的边长为a,CD与y轴相交于G,先判断四边形AOGD是矩形，得出OG=AD=a,

DG=AO,NEG尸=90。，根据折叠的性质得出Bb=BC=a,CE=FE,在Rt/\BO厂中，利用勾股定理

构建关于a的方程，求出a的值，在RSEGF中，利用勾股定理构建关于CE的方程，求出CE的值，即可

求解.

【解析】设正方形A5CD的边长为a,CO与y轴相交于G,则四边形AOGD是矩形，.;OG=AD=a,

DG^AO,NEGF=90°，:折叠，3尸=BC=a,CE=EE，:点A的坐标为（—2,0）,点F的坐标为（0,6）,

；.AO=2,FO=6,：.BO=AB-AO=a-2,在Rt^BO尸中，BO2+FO2=BF2,（a-2）2+62=a2,

解得。=10,:.FG=OG—OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,在RtAEGb中，GE2+FG2=EF2,：.

（8-CE）2+42=CE2>解得。5=5,；.6/=3,，点£的坐标为（3,10）,故答案为:（3,10）.

21.（2024・广西•中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60。，则

重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm.

【答案】8百

【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作A",8c于

ANLCD于N,由题意易得四边形ABC。是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得AM=AN,即可

得到四边形ABCD是菱形，再解RtA"W可得AO='g=2j§cm,即可求解，得出四边形45co是菱

sm60

形是解题的关键.

【解析】过点A作于ANLCD于N,则Z/WD=90。，：两张纸条的对边平行，CD,

AD〃3C,...四边形A3CD是平行四边形，又：两张纸条的宽度相等，.•.AAf=AN,：

SaABCD=BCAM=CDAN,：.BC=CD,：.四边形A3CD是菱形，在RtAADN中，ZADN=60°,AN=3cm,

AD=AN_3_2-/3cm

/."sin60°-73-，，四边形ABC。的周长为2岔x4=8gcm,故答案为：86.

22.(2024.天津・中考真题)如图，正方形ABCO的边长为3也，对角线相交于点。，点£在C4的

延长线上，OE=5,连接。E.

(1)线段AE的长为;

(2)若歹为OE的中点，则线段AF的长为.

【答案】2^/-A/10

22

【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键；

(1)运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解，

(2)作辅助线，构造中位线求解即可.

【解析】(1),,・四边形A3CD是正方形，NOOC=90。，在RSOOC中，

OD-+OC2=DC2,DC=372，:.OD=OC=OA=OB=3,vOE=5--AE=OE-OA=5-3=2；⑵延

长DA到点G,使AG=AT>,连接EG由E点向AG作垂线，垂足为H：尸为DE的中点，A为GD的中点，

二■为△■DGE的中位线，在Rt^£AH中，ZEAH=ZDAC=45°,:.AH=EH-：AH2+EH2=AE2>

:.AH=EH=拒：.GH=AG-AH=3O-6=272在RtAEHG中，EG2=EH2+GH2=2+8=10,

;.EG=,”为△DGE的中位线，.•.AF=LEG=典；故答案为：2；典.

222

23.（2024.内蒙古包头•中考真题）如图，在菱形A3CZ）中，ZABC=60°,AB=6,AC是一条对角线，E

是AC上一点，过点E作垂足为人连接OE.若CE=AF,则DE的长为.

【答案】2币

【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过。作D〃1_AC于X,

先判断AAFC,AACD都是等边三角形，得出ZE4F=6O。，AC=AB=6,AH=CH=^AC=3,利用含30。

的直角三角形的性质可得出AE=2AF=2CE,进而求出CE,HE,然后利用勾股定理求解即可.

【解析】过。作。"_LAC于H,:菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=6,：.AB=BC=CD=AD,

NADC=/ABC=60。，.;△ABC,AACD都是等边三角形，AZEAF=60°,AC=AB=6,

AH=CH=-AC=3,EF±AB,：.ZAEF^30°,：.AE=2AF,XCE^AF,：.AE^2CE,：.CE=2,

2

:.HE=CH—CE=\,在中，DH2=CD2-CH2=Tl,DE=VDH2+HE2=277>故答案为：

24.（2024・广东・中考真题）如图,菱形ABCD的面积为24,点£是AB的中点，点厂是BC上的动点.若ABEF

的面积为4,则图中阴影部分的面积为.

A

E.

【答案】10

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出色ADE=6,

BF2BF

S“ABF=8,根据△树和菱形的面积求出入—=2,则可求出人加的面积，然后利用

nC3Cr

S阴影二S菱形A5CZ)-SA/WE—-SACDF求解即可.

【解析】连接AR50,,・,菱形ABC。的面积为24,点E是A3的中点，△bEF的面积为4,.二

山桃=；xgs菱形ABCD=6S.E=2S.BEF=8,设菱形A5co中BC边上的高为h,则

-BFh

q-BFh日门Q-BFBF22箸=2,；.S△皿=4,

、&ABF_2______BP_§_=2—，噌=2,：

BC3°ACDF

S菱形ABCDBC•h24~BC-CF-h

2

・'S阴影=S菱形AB。——28防—S/DF=1。,故答案为：I。.

AC5

25.（2024•浙江・中考真题）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,5。相交于点0,—线段与

BD3

关于过点0的直线/对称，点5的对应点？在线段0C上，AE交CD于点、E,则/CE与四边形O匠ED的

面积比为________

【答案】1:3/g

【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上

知识点.

设AC=10a,BD=6a,首先根据菱形的性质得到OA=OC==AC=5。，02=OD=[2。=3。，连接AD,

22

OE,直线/交BC于点孔交AO于点G,得到点A,D,。三点共线，A'D=A'O—OD=2a,

SB，2a2

B'C=OC-OB'=2a,产幺=71n7=*=£，然后证明出“'EZ泾ACEB'(AAS),得到A'E=CE,然后证

S.OEB，OB3a3v7

明出A沿A(),得到进而求解即可.

ODEOB'ESSS50D£=SAOB,E,

Ar15i

【解析】•••四边形ABC。是菱形，——=—.,.设AC=10a,BD=6a：.OA=OC=-AC=5a,

BD32

OB=00=g30=3。如图所示，连接AT),OE,直线/交3c于点F,交AD于点G,\•线段AB与A®关

于过点。的直线/对称，点B的对应点9在线段0c上，.•.ZBO/nNCOFnjNBOBJdS。，AO=AO=5a,

OB'=OB=3a/.ZAOG=NDOG=45°.,.点H,DO三点共线AD=AO-OD=2a,B'C=OC—OB'=2a

SB，c2Q2

..._^CEBL=="=..A。=B，c...CD//AB/CD。=ZABO由对称可得，ZA'B'O=ZABO：.

S«OEB，0B3a3

ZAB'O=ZCDO：.ZADE=ZCB'E又：ZAED=ZCEB'：.AA'ED^ACEB'(AAS)：.A'E=CE•:

AB'ABCD，DE=B'E又:OD=OB',OE=OB'：.AODE咨AOB'E(SSS)：.S^ODE=S^OB.E：.

qq21i

◎ACEB'_©CEB，=3.故答案为：j.

CCIc6

u四边形。3'EZ>OEB'丁"QDE

26.（2024•黑龙江绥化•中考真题）在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,点E在直线AD上，且DE=2cm,

则点E到矩形对角线所在直线的距离是cm.

【答案】迤或迤或2小

55

【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设AC,交于点。，点用在线段4）上，召2在的

延长线上，过点片,当作AC,50的垂线，垂足分别为耳居，玛，进而分别求得垂线段的长度，即可求解.

【解析】：四边形ABC。是矩形，AB=4,BC=8,：.AD=BC=8,CD=AB=4,：.

AC=>JAD2+CD2=V42+82=4A/5sin/CAD=^=京，《«/04£)=2=乎，

41

tan/C4O=7=z如图所示，设AC,即交于点。，点用在线段AD上，当在AD的延长线上，过点片,当

82

作AC,5。的垂线，垂足分别为耳,工,巴・・・49=。0.・・/。4。=/。/14当后在线段4。上时，・・・

AEi=AD—DE=8-2=6在R1：AAE]6中，£书=AEX-sinZ.CAD=-^-x6=~~'''^-OAD=NODA在

RtAEi^D中，£；g=OE]SinN&。&=2x^=孚；当E在射线A£>上时，在RtAOCE?中，

21_

tanNDCE,=-=-/.ZCAD=Z.DCE：.ZDCE+ZDCA=90°/.E.C1AC

-42

E2c7DE?+DC=J展+4?=2小,在RtADE2K中，&月=xsinNE^D月=。与义咚=竽综上所

述，点E到对角线所在直线的距离为：平或竽或26故答案为：芈或竿或26.

三、解答题

27.（2024•陕西・中考真题）如图，四边形A3CD是矩形，点E和点/在边BC上，且班=CF.求证：AF=DE.

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质.根据矩形的性质得到AB=CE＞，ZB=ZC=90°,

再推出3产=。£,利用SAS证明四△OCE,即可得到AF=DE.

解：证明：•四边形ABCD是矩形,

/.AB=DC,Zfi=ZC=90°,

,：BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,§PBF=CE,

/.AABF/ADCE(SAS),

/.AF=DE.

28.（2024・吉林长春•中考真题）如图，在四边形ABC。中，ZA=ZB=9O°,。是边A3的中点,

ZAOD=ZBOC.求证：四边形A3CD是矩形.

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题

关键.利用SAS可证明△AOD四△3OC,得出40=3（7,根据NA=/3=90。得出兑＞〃8C,即可证明四

边形ABC。是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD是矩形.

解：证明：：。是边48的中点，

OA=OB,

NA=NB=90°

在△AOD和ABOC中，＜OA=OB

ZAOD=ZBOC

：.△AOD^ABOC,

AD=BC,

"：ZA=ZB=90°,

：.AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

,/ZA=ZB=90°,

四边形ABC。是矩形.

29.（2024・青海・中考真题）综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

【探究一】

原四边形对角线关系中点四边形形状A

r----------------T----------------------------------------------------------T------------------1

不相等、不垂直平行四边形

如图1,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点.

求证：中点四边形EFG"是平行四边形.

证明：F、G、X分别是AB、BC、CD、ZM的中点，

EF、GH分别是AABC和AACD的中位线，

/.EF=-AC,GH=-AC(①)

22----------

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

.••中点四边形EFGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

(1)请你补全上述过程中的证明依据①

(2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

(4)下面我们结合图3来证明猜想n,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【归纳总结】

(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

中点四边形形状

原四边形对角线关系

③__________④__________

图4

结论：原四边形对角线③时，中点四边形是④

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性

质等知识

(1)利用三角形中位线定理即可解决问题；

(2)根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；

(3)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(4)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(5)根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.

解：(1)①证明依据是：中位线定理；

(2)证明：♦:E、F、G、H分别是AB、BC、CD、。凶的中点,

EF、GH分别是AABC和AACD的中位线，

/.EF=-AC,GH=-AC

22

Z.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

'：AC^BD

：.EF=GH=EH=FG

中点四边形EFGH是菱形.

(3)②矩形；

故答案为：矩形

(4)证明F、G、”分