2025年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（十八大题型）（讲义）（解析版）

第04讲基本不等式及其应用

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：基本不等式...........................................................................4

解题方法总结...................................................................................4

题型一：基本不等式及其应用....................................................................5

题型二：直接法求最值..........................................................................8

题型三：常规凑配法求最值......................................................................9

题型四：化为单变量法..........................................................................11

题型五：双换元求最值.........................................................................12

题型六：“1”的代换求最值......................................................................15

题型七：齐次化求最值.........................................................................17

题型八：利用基本不等式证明不等式.............................................................19

题型九：利用基本不等式解决实际问题...........................................................22

题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值....................................................25

题型十一：三角换元法.........................................................................28

题型十二：多次运用基本不等式.................................................................32

题型十三：待定系数法.........................................................................34

题型十四：多元均值不等式.....................................................................36

题型十五：万能K法...........................................................................37

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题...................................................41

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................................42

题型十八：整体配凑法.........................................................................44

04真题练习•命题洞见...........................................................47

05课本典例•高考素材...........................................................49

06易错分析•答题模板...........................................................51

易错点：忽视基本不等式应用条件...............................................................51

答题模板：利用基本不等式求最值（和定或积定）.................................................51

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)了解基本不等式的

推导过程.高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内

2022年H卷第12题，5分

(2)会用基本不等式解容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利

2021年乙卷第8题，5分

决简单的最值问题.用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的

2020年天津卷第14题，5分

(3)理解基本不等式在问题.

实际问题中的应用.

复习目标：

1、掌握基本不等式的内容.

2,会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题.

3、会用基本不等式解决实际问题.

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:基本不等式

如果°>0力>0,那么向W竺^,当且仅当4=6时，等号成立.其中，巴吆叫作a”的算术平均

22

数，J法叫作a2的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,beR,则片+廿22而，当且仅当a=b时取等号；

基本不等式2：若a,beR+,则巴心》/石（或a+b22疝），当且仅当a=b时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积

为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

解题方法总结

1、几个重要的不等式

2

（1）a>0（aG>0（tz>0）,|«|>0（d;GR）.

（2）基本不等式：如果a,beR+,则但上加（当且仅当“a=3”时取“+'）.

2

特例：6Z>0,6Z+->2；-+->2（。力同号）.

aba

（3）其他变形：

①/+从士（"+"）一（沟通两和a+b与两平方和/+/的不等关系式）

2

②必《勺主丝（沟通两积乃与两平方和的不等关系式）

2

③mw［一］（沟通两积与两和a+〃的不等关系式）

④重要不等式：

ab

即调和平均值W几何平均值4算数平均值V平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已矢口x,yGR*・

（1）如果x+y=S（定值），则^«亨］=。（当且仅当“x=y，，时取“=，，）.即“和为定值，积有

最大值

（2）如果移=P（定值），贝hr+y22历=2赤（当且仅当“x=y”时取即积为定值，和有最

小值”.

3、常见求最值模型

模型一：ax+->2^b（a>0,b>0），当且仅当x时等号成立.

xVa

模型二：一…J（m+i）2上（…“>0,。0<勺,当且仅当x=a时

mm24mm2m

等号成立.

模型三：———=-1——（G>0,C>0）,当且仅当x时等号成立.

ax+bx+c依+"£lyjac+b

x

模型四：mx-\——--=m（x-b）-\——-——I-mb>2y/mn+mb（jn>0,n>0）»当且仅当x—Z?=时等号成立.

x—bx—bNm

题型洞察

题型一：基本不等式及其应用

【典例1一1】下列不等式证明过程正确的是（）

A.若“,beR,则2+旦22、2・色=2

ab\ab

B.若x>0,y>0,则1g元+1gy之2Jigx•1gy

C.若x<0,则x+3N-2、］3=-4

xVx

D.若x<Q,则2X+2~x>2j2,-2r=2

【答案】D

【解析】•••2,/可能为负数，如时，y=-2,，A错误；

ababab

lgx,lgy可能为负数，如lg%=lgy=-l时，Igx+lgy=_2,2,lgx」gy=2,错误；

444

x<0,—<0,如x=—1,—=—4时，xH—=—5<—4,，C错误；

xxx

,••x<0,2，e（0,l）,2—>1,，2，+2T>2"手=2，当且仅当2*=2-'，即x=0等号成立，，D正确.

故选：D.

【典例1-2】（2024•辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图

所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点。为斜边AB的中点，点。为斜边AB上异于顶点的一个动点,

设=BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

B.a<4ab(^>0,Z?>0)

C.哈尼全>0力>0）

D.a2+Z?2>2\/^&(<2>0,&>0)

【答案】C

【解析】由图知：OC=^AB=^,OD=\OB-BD\=^-b

在用△08中，CD=^OC-+OD-=-

所以OCWOD,即等wJt|^（a>0,6>0）,

故选：C

【方法技巧】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验

证.

【变式1-1］下列结论正确的是（）

x+-^—>47

A.当％<2时，B.当x22时，x+4的最小值是20

x—2X

4x+-^=>4

C.当%>0时，D.当x>0时，------7的最小值为1

X+1

【答案】C

【解析】对于A,当x=0时，x+-^—=~,故A错误，

尤-22

对于B,当x>0时，%+->2A/2,当且仅当丫=忘时等号成立，故B错误,

对于C,当x>0时，石+424,当且仅当石即X=4时等号成立，故C正确,

yjx

对于D,当x>—1时，X+1H---------122-1=1,当且仅当无+1=------即x=0时等号成立，故D错误,

X+lX+1

故选：C

【变式1-2]（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知x,y都是正数，且彳关1，则下列选项不恒成立的是（

A.疝B-l+i>2

c-含〈历D.孙+工>2

孙

【答案】D

【解析】x,y都是正数，

由基本不等式，芸2上而，2+-^2,?.苧=再，这三个不等式都是当且仅当x=y时等号

2丫%yx+y24xy

成立，而题中因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

孙+，22中当且仅当孙=1时取等号，如x=2,y=2即可取等号，D中不等式不恒成立.

xy2

故选：D.

【变式1-3]给出下面四个推导过程：

①骨，6为正实数，••.9+巴22、反=2；

ab\ab

其中正确的推导为（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】根据基本不等式的条件判断，①。>0）>。，.•.2>0,/>。，因此2+3^2、口1=2正确;

abab\ab

②％>0,y>0时，若0<%<1.0<y<l,贝Pg%<0,Igy<0,不等式Igx+Igy22Jig、1gy错误；

不等式3a”仕4

③。<0时,-a=4错误;

aa

④孙<0,则一:>0,-1>0,因此不等式［+从而不等式

二+，」ma-2正确.

yxLIy)vxj

故选：D.

题型二：直接法求最值

【典例2-1］若实数">满足x+2y=l,则2*+4y的最小值为.

【答案】2逝

【解析】2"+4->2,2**4丫=2J2*x22y=26+2y=272，当且仅当x=2y,

即x="y=：时取到等号.

24

故答案：2&.

（、

【典例2-2］（2024•湖北孝感•模拟预测）3+3（6+46）的最小值为

V.vJ

【答案】9

【解析】

当且仅当即x=4y>0时，等号成立,

/、

所以—尸+―7=（五+4\/^）的最小值为9.

Jy）

故答案为：9

【方法技巧】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

【变式2-1］（2024•上海崇明•三模）已知正实数以6满足必=1,贝壮+46的最小值等于.

【答案】4

【解析】a+4bW244ab=24=4,当。=4人，即。=2,b=g时等号成立,

贝iJa+46的最小值为4.

故答案为：4.

【变式2-2］（2024•天津南开•一模）已知实数。>0*>0,。+6=1,则2"+2%的最小值为.

【答案】2A/2

【解析】a>Q,b>0,a+b=l,

2a+2b226x2"=2,2、=2夜，当且仅当2"=2"即。=。=g时取等号.

故答案为：2日

题型三：常规凑配法求最值

亚亚0ED的最大值是（）

【典例3-1】函数〃》）=

4X2+1

7

A.2B.一cD

4-7-:

【答案】C

1(X2尤22

+1)(162+1)(x+l)(16x+1)16X4+17X2+1

函数，（无）=

【解析】由题意,2

4X2+116X4+8X2+1

(।9f

[16尤4+8/+1

16/+8+=

X

111

又由16/+=28,当且仅当16/=二，即》=土彳时等号成立,

x2x22

1—2—〈竺

+1

所以1648+±一16,所以+014

16无2+8+-4

XX

即函数“X）的最大值是:

故选：C.

9A1Q

【典例3-2】（2024•广东•模拟预测）已知。>0,6>0,且必=1,则的最小值为——，此

ab2a+b

时"___

【答案】12g或1

O/7AAzjA

【角窣析】因为ab=l,所以---1—■~=4a+2b=2(2Q+/?),

ab

所以>：+捻=2（2»）+捻22屈”，当且仅当24人3时取到等号,

9A1Q

故4+；+丁'的最小值为12，

ab2a+b

,,“f2a+b=3[a=la=—1

此时满足，,，解方程得八।或2,故。=:或1.

<7*=1仍=1,_2

iv[o=2

故答案为：12；；或1

【方法技巧】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

【变式3-1]若》—2,贝|/（司=》+-^的最小值为.

【答案】0

【解析】由x>-2,得x+2>0,」一>0,

尤+2

所以/（x）=x+^—=x+2+^—-2>2,（x+2）x^--2=0,

x+2x+2vx+1

当且仅当x+2=工即x=-1时等号成立.

x+2

故答案为：。

4

【变式3-2】函数〃x）=3x+2+-（x>0）的最小值为.

【答案】4石-1/-1+4有

【解析】因为尤>0,所以彳+1>1,

44I4-l

所以y（x）=3x+2+——=3x+3+-------l>2j3（x+l）x---------1=4V3-1,

JC+1x+1yx+1

当且仅当3（x+l）=/时，即彳=竿-1时，等号成立，

故的最小值为46-1.

故答案为：45/3-1

【变式3-3]（2024•高三•天津河北•期末）已知1>0,则乎:+f的最小值为

【答案】V3+1/1+V3

【解析】因为f>0,

33

所以&±2+;2⑵+>2+』+"1+包D

2Z+12/+12（2r+l）2

>1+2=1+百,

当且仅当可即U与时,等号成立・

所以西！+,的最小值为石+L

故答案为：V3+1

题型四：化为单变量法

【典例4-1]（2024•高三•上海•竞赛）若正实数满足必=2a+-则a+25的最小值是

【答案】9

【解析】解析一:。6-6=（。-1）6=2。=6=^^（。>1），

Q—1

4。44一

贝IJQ+2Z?=QH----=〃+4H--------=6/-1H--------1-5>4+5=9,等号成立时a=3,b=3.

a—1a—1a—1

所以。+2）的最小值是9.

解析二:ab—2a—b=0^>^a—l^（b—2^=2,

则4+26=a-l+26-4+522#（a-l）（6-2）+5=9,

[a—l=2b—4]〃=3

等号成立时〃Q=八Q所以。+25的最小值是9.

[a+2b=9[b=3

故答案为：9.

【典例4-2】（2024•天津河东•一模）若a>0,b>0,ab=2,则空隼空的最小值为

b+\

【答案】4

2

【角毕析】由〃>0,b>0,〃/?=2=>a=—,

2

故。+46+2万3_石+4"+2"_2+4〃+2/_电+1『

2=22

b2+\~b'+\~M〃+i）-6伊+1）b

bx；=4,当且仅当6=1时等号成立,

=2

故最小值为4,

故答案为：4

【方法技巧]

化为单变量法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求

解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

【变式4-1](2024•陕西西安•三模)已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,贝ijx+y的最小值为.

【答案】4A/2-1/-1+4A/2

【解析】因为x>0,y>。且肛+2x-y=l。，

所以x+y=A^+y=-^-+y+2-1221/—(y+2)-l=4A5-l,

y+2y+2\y+2

Q

当且仅当年=V+2,即y=2上-2,x=l+2冷时，等号成立，

故x+y的最小值为4&-1.

故答案为：40-1.

【变式4-2]已知实数XQ满足3孙+丁=1,y>0,则2x+y的最小值是

【答案】巫以五

33

【解析】由3冲+丁=1可得：%=?，将其代入2x+y,则有：2x+y=^^+y=；+：y,

3y3y3y3

e八乂七21、八I212血

因y>o,故有：-—■卜彳丁之2Jh=-,

3y3'3y33

当且仅当时等号成立，即y=0,x=_「时,2x+y取得最小值其1.

3y363

故答案为：走.

3

题型五：双换元求最值

【典例5-1】设。力为正实数，且a+b=3,则'J+上的最小值为

a+2Z?+l

【答案】|3

【角窣析】:〃+人=3,令a+2=m,b+\=n,

机+〃=a+b+3=6,

a=m-2,b=n—l,

.a2Z?2(m-2)2(H-1)241,

a+2b+1mnmn

又<m+n=a+b+3=6

a2b2411/、41/4〃mu、：（4+5）1

---------1--------=——\--=—[m+n)+—+5>

。+2b+1mn6m46mn)

当且仅当包='时，即加=2〃时工+£取得最小值,

mna+2Z?+l

人2+念i2的最小值%o.

3

故答案为：—

x-2y

【典例5-2】（2024•江苏南京•三模）若实数满足21+孙-y2=],则的最大值为.

5x2-2xy+2y2

【答案】1

4

【解析】已知条件可化为（2x-y）（x+y）=l,故可设2x_y=f,x+y=L〃=r_L从而目标代数式可化为

麦，利用基本不等式可求其最大值.由2八十61,得（2f乂i口,

设2x—y=/,%+>=1,其中/wO.

贝！1%=/+丁,丁=;:;—~t,从而兀―2y=%—,5x2—2xy+2y2=t2+—,

33/3/3tr

x-2yu

记则

"="1,5Y—2xy+2y之+2

1=也

不妨设〃>0,则J4,

u+—2Lx-

uVu

当且仅当"4,即"3时取等号，即最大值为?

故答案为：T

【方法技巧】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的

分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.

1、代换变量，统一变量再处理.

2、注意验证取得条件.

【变式3若非零实数°,。满足9/+4”⑹则互给的最大值为

【答案】4忘+4

【解析】令％=3〃,y=2b,则f+y2=i6,

12ab_(x+y)2-x2-y2(x+y)2T6

=x+y+4

3〃+2b—4x+y—4x+y-4

因为/+y2>2xy,所以2(/+y2)N%2+y2+2孙=(x+y)2,

所以［亨=所以无+”4应，

从而x+y+4W4a+4,当且仅当尤=y=2近时，等号成立,

,12ab

+取得最大值40+4.

H3a+2b—4

故答案为：472+4.

【变式5-2](2024•全国•模拟预测)已知x+y=l(x>y>0),则0——好的取值范围是

x-yx+3y

【答案】V2-1,+«

3m+nn-m

【解析】设m=无一V,n=x+3y,得到x二

于口2y4y_n—mn-mn+nT\

x-yx+3y2mn2mnJ

yjryi

当且仅当‘即缶Z="时,等号成立，即JJx-虚丁=x+3y,

2mn

3+72

又因为x+y=i解得x=y=拒一匕，满足无>y>。.

2+2上-2+2拒

x+y=l(x>y>0),

2x+2y

———3=———3

x-yx+3y2x—13—2x

PI।f,(x_42_8x2+8x—14

人/M©—2x)2-(21)2-(3—2x3(21)2'

令/'(%)>0,得述匚<无<1,此时函数〃幻单调递增；

2

令广(%)<。，得!<%〈逑二1,此时函数/⑺单调递减,

22

r(2点-。3+2双

/.min=丁

又当x-1时，/(x)->3,当尤fg时，/(%)->+<»,

〃、、3+20.2y4y、3+2》,2--3

/.f(%)2-----------,—--------------------->---------------3=------------

2x-yx+3y22

故答案为：V2-1-,+°o\

题型六：-r的代换求最值

121

【典例6-11已知1>0,y>0,且％+2y==，则一+一的最小值为____.

2xy

【答案】16

.立刀工厂.21.(21Y>>,门8y2x、cc/8y2x.,

【角牛]—I—=2—l—|(%+2y)=8d-----128+2j—,—=16,

xy\xy

当且仅当包=2时等号成立.即当x='y=：时，2+,取得最小值为16.

冗y48xj

故答案为：16.

1?1

【典例6-2】（2。24・内蒙古呼和浩特•一模）已知实数〃＞。力＞2,且、+0r『则23的最小

值是—.

【答案】24

121

【解析】因为"。力＞2,且、+0=葭

所以3+£乩

所以2»=[2(»1)+9一2)]岛+&=6+6+弓系+*!

3（匕一2）12（〃+1）

＞12+2P——乙•———乙=24，

AV〃+1b-2

当且仅当3（。-2）=12（q+l）,即匕_2=2（。+1）,。=5,6=14时等号成立，

。+1b—2

故答案为：24

【方法技巧】

1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过

程中要特别注意等价变形.

1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法.

2、注意验证取得条件.

21

【变式6-1](2024•全国•模拟预测)已知x>l,y>0,且x+—=2,则一的最小值是_____

yx-1

【答案】3+272/272+3.

22

【解析】由1+—=2,得x—1+—=1,

yy

因为x〉1,y>of

所以％—l>O,y>。，

所以」7+y=1%-l+2]]」7+y[=3+(%-l)y+;­，-23+2)%-1)匕2=3+20,

兀-1Iy八%-1)(%-Dyv

2

当且仅当=7,即x=£,y=2+0时，等号成立，

(x-l)y

所以」二+y的最小值是3+2&-

x-1

故答案为：3+2近.

【变式6-2](2024•河南•三模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为"c,若a+b+c=2,贝!]

4+±1的最小值为

a+bc

_9

【答案】j

【解析】因为a+Z?+c=2,

所以总+7-12+。］

,4ca+b\1_J4ca+b9

5+----+---->--5+2J---------=—

2a+bcxJ2[\yza+bc2

当且仅当4多c=aT+b,即a+6=2c时等号成立，故二4二+1士的最小值为9

a+bca+bc2

9

故答案为：

1?

【变式6・3】(2024•陕西咸阳•一模)已知且--+—-=1,则♦+〃的最小值为

a+1b+1

【答案】2垃+111+2迎

19

【解析1由々>0*>。，----F---二1,

a+1b+1

1?

得Q+Z?=(a+1)+S+1)—2=(——+——)[(^+l)+(Z?+l)]-2

a+1b+1

=区+①+iy”.%±Ll=2应+1,

当且仅当空=乎三D,即b+l=JI(a+l)=应(应+1)时取等号,

Q+1P+1

所以当a=0,b=&+l时，取得最小值20+L

故答案为：2忘+1

题型七：齐次化求最值

【典例7-1】已知x>0,y>。，S=J》+孙

了，则()

x2+y

9Bs的最大值是竽

A.S的最大值是市

3D-s的最大值是苧

c-s的最大值是a

【答案】B

【解析】：

3岂+)

孙yx

5=Z7T7+x2+y22

生+1I+1

yx

.2xy

令"一十一，

y%

当且仅当手。即yS时等号成立,

Vx>0,y>0

3

故回2仓+00)

1，

t+-

又="在［26+可上单调递增，则/(?)>八2招=2&+」尸=述,

t、2A/24

C-3<3_2725

二1一距一亍，即S的最大值是生•

1十二---3

，4

故选：B.

【典例7-2】已知正实数。,4c满足》+c=l,则8/+喙工_的最小值为____.

beQ+1

【答案】16

【解析】任意的正实数。，b,c,满足6+c=l,

,8ab2+a188&2+l188Z>2+(Z?+c)218

所CC以H------+---=a---------+------=a--------------—+-----

bea+1bea+1bea+1

9Z?2+2Z?c+c2+S“d+£+2)+其

bea+1cba+\

由于。，c为正实数，

故由基本不等式得—+->2\隹工=6,

cb\cb

当且仅当9吆b=，c即b=1jC=3J时，等号成立,

cb44

匚G、I.9bcc、18

所以。•(一+:+2)+--

cb<2+1

1Q1Q

>8a+——=8(Q+1)+-------8

a+1a+1

>2网+1).\-8=16,

1o1

当且仅当8m+1）=力，即”*'等号成立,

综上，陋»+里的最小值为16.

bea+1

故答案为：16.

【方法技巧】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进

行求解.

【变式7-1］（四川省成都市第七中学2024届高三三诊模拟考试文科数学试卷）设a>8>0,若

片+血则实数几的最大值为（）

a-b

A.2+2后B.4C.2+72D.2拒

【答案】A

33

a+b2.,a.2

3,3--------------------aI2.21+(一)

【解析】因为3>6>o,若/+»72K巴J巴，可得力一=97士夫=——

a-bb2ab-b2a

---1

b

设长，只需要彳小于等于右边的最小值即可，

1+令21+”

则一匚，

------1

b

令5=，一1>0,可得/=S+1,

所以1+k+1)-=s+2+2N2启+2=20+2,当且仅当s=2,即5=五时取等号,

SS'ss

所以/IW2+2收，

即4的最大值为2+20.

故选：A.

1-Y2

【变式7-2］已知％>0,J>o,+则一二的最小值是()

y

A.2B.2+V3C.75+2D.272+2

【答案】D

33

【解析】x>0,y>o,:.x3+y3=x-y>0,即有r+V^=1且x>y,

八『2M+1

将=i代入^4-得=…—―=J+y2=UJ_,

x-yyy2y2xy-y2

y

令,<>1，&)=.，(,>1)，

户+1(产一1)+222

,,〃%)==t+l+一=(t-l)+——+2

t-1t-\t-1t-1

Q%>1,/.(z—1)H----1~222,\/2+2

t—1

当且仅当"1=台，即"0+1时等号成立，

所以=(?>1)