湖南省天壹名校联盟2024-2025学年高二数学下学期3月联考试题

PAGEPAGE10湖南省天壹名校联盟2024-2025学年高二数学下学期3月联考试题本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．留意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题，则为（）A．B．C．D．2．“”是“曲线表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”．已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．4C．D．25．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为（）A．B．C．D．6．的绽开式中，的系数为（）A．360B．180C．90D．7．将标号为的6个小球随机地放入标号为的6个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一样的放法总数有（）A．45种B．90种C．135种D．180种8．双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与C的左，右两支分别交于两点，点M在x轴上，平分，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列结论中正确的是（）A．z的虚部为iB．C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限10．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（）A．B．C的长轴长为C．C的短轴长为4D．C的离心率为11．若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的是（）A．B．C．D．12．的绽开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（）A．B．绽开式中常数项为3C．绽开式中的系数为30D．绽开式中x的偶数次幂项的系数之和为64三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．宋元时期是我国古代数学特别辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________．14．函数的最小值为_________．15．从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位偶数.（用数字作答）16．已知抛物线的焦点为的三个顶点都在抛物线上，且，则__________，边所在直线的方程为___________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知抛物线上一点到其焦点F的距离为4．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且斜率为1的直线与C交于两点，O为坐标原点，求的面积．18．（12分）如图，四棱锥中，平面平面是直角梯形，，是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）已知的绽开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．（1）求m的值；（2）求绽开式中全部项的系数和与二项式系数和；（3）将绽开式中全部项重新排列，求有理项不相邻的概率．20．（12分）甲、乙、丙三位老师指导五名学生参与全国中学数学联赛，每位老师至少指导一名学生．（1）若每位老师至多指导两名学生，求共有多少种安排方案；（2）若老师甲只指导其中一名学生，求共有多少种安排方案．21．（12分）已知椭圆的焦距为，连接其四个顶点构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线交C于两点，直线与的斜率互为相反数，证明：过定点．22．（12分）已知函数，且恒成立．（1）求a的值；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．高二数学参考答案选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DBACAACDBCABCDABD1．D解析：命题的否定在否定结论的同时，量词作相应变更，故选D．2．B解析：曲线表示椭圆，即，故选B．3．A解析：留意到乙、丁说的同真或同假，当同真时，甲说的也真，不成立，故同假，所以甲、丙说的同真，故甲未及格．4．C解析：，将代入切线方程得，．5．A解析：由A到C最短路径的走法有种，由A到B有种，由B到C有种故经过B的概率为，不经过B的概率为．6．A解析：的系数为．7．C解析：若号小球与号盒子标号均不一样，1号球放2号盒子有3种放法，放3号盒子有3种放法，放4号盒子有3种放法，共9种放法，故不同的放法总数有种．8．D解析：如图，由题可知，设，则．平分，由双曲线的定义知，即①，，，即是等边三角形，，在中，由余弦定理知，即，化简得②，由①②可得渐近线方程为．9．BC解析：，故BC正确．10．AB解析：由已知可得，解得或（舍去），故选AB．11．CD解析：令，则在R上单调递增，满意题意．令，则，求导易得在R上单调递增，满意题意．12．ABD解析：设（，令，则，①，令，则，②，得，，绽开式中的常数项为的偶数次幂项的系数之和为64，绽开式中的系数为．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．39616．2（第一空2分，其次空3分）13．解析：所求概率．14．解析：当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为．15．396解析：取不到0时有个，取到0时有个，∴共有个．16．2解析：将点A代入抛物线方程得．，经过的中点，设，则，相减得边所在直线方程为，即．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解析：（1）由已知及抛物线定义可得，抛物线C的方程为．（4分）（2）由（1）可得，设，将方程代入C方程整理得，原点O到直线的距离为的面积．（10分）18．解析：（1）取中点F，连接，则，∴四边形为平行四边形，，平面平面．（5分）（2）取中点，∵平面平面平面，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令得，直线与平面所成角的正弦值为．（12分）19．解析：（1）绽开式的通项为，∴绽开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，，即．（4分）（2）令可得绽开式中全部项的系数和为，绽开式中全部项的二项式系数和为．（8分）（3）绽开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为．（12分）20．解析：（1）5名学生分成3组，人数分别为安排方案有种．（6分）（2）从5名学生任选1名学生安排给甲老师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为，安排方案有种．（12分）21．解析：（1）依据题意可得椭圆C的方程为．（4分）（2），设，将方程代入C整理得，．，即，即，代入解得，直线方程为，恒过定点．（12分）22．解析：（1）的定义域为．①若不满