2025年中考数学复习之一元二次方程

2025年中考数学复习热搜题速递之一元二次方

选择题（共10小题）

1.关于尤的一元二次方程（a-1），+x+/-1=0的一个根是0,则。的值为（）

1

A.1B.-1C.1或-1D.-

2

2.若关于x的一元二次方程/-2x+姑+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可

3.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程/-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A.14B.12

C.12或14D.以上都不对

4.若关于x的一元二次方程（k-1）/+4x+l=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是（）

A.k<5B.k<5,且上=1C.%W5,且上D.k>5

5.一个等腰三角形的两条边长分别是方程f-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A.12B.9C.13D.12或9

6.对于一元二次方程〃/+/?%+。=0（〃W0）,下列说法：

①若a+b+c=O,则廿-4的20；

②若方程ax1+c=O有两个不相等的实根，则方程ax1+bx-^c=O必有两个不相等的实根；

③若c是方程aj?+bx+c=O的一个根，则一定有〃c+b+l=O成立；

2

④若xo是一元二次方程aj^+bx+c=O的根，则域—4ac=（2ax0+h）

⑤存在实数M、n（机/〃），arr?+bm+c=ar?+bn+c^

其中正确的（）

A.只有①②④B.只有①②④⑤C.①②③④⑤D.只有①②③

7.关于尤的一元二次方程(m-2)f+2x+l=0有实数根，则根的取值范围是()

A.n7W3B.m<3C.加<3且D.且

8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每

次降价的百分率.设每次降价的百分率为无，下面所列的方程中正确的是()

A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315

C.560(1-2x)2=315D.560(1-x2)=315

9.已知a、0是方程f-2x-4=0的两个实数根，则。3+80+6的值为()

A.-1B.2C.22D.30

10.把方程xG+2)=5(%-2)化成一般式，则〃、b、。的值分别是()

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

二.填空题(共5小题)

11.已知m是关于％的方程x2-2x-3=0的一个根，则2川-4m=.

12.如果方程(x-1)(/-2x+。)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围

是.

13.已知实数相，力满足7〃-层=1,则代数式机2+2”2+4〃7_1的最小值等于.

14.如果恰好只有一个实数°是方程(必-9)/-21+1)x+l=0的根，贝蛛的值为.

a2—ab(a>£>'),

?_.例如4*2,因为4>2,所以4*2=4-4X2

{ab—b"(aV6).

=8.若xi,X2是一元二次方程/-5x+6=0的两个根，则无1*尤2=.

三.解答题(共5小题)

16.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100

斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0」元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260

斤，张阿姨决定降价销售.

(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤(用含x的代数式表

示)；

(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

17.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12/77的住房墙，另外三边用25m长的建筑材

料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1根宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,

猪舍面积为80/扇？

住房墙

I

1

l?n

18.如图，A、B、C、。为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、。分别从点A、C同时出发,

点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达8为止，点。以2cmls的速度向D移动.

(1)尸、。两点从出发开始到几秒时，四边形P8CQ的面积为33cH2；

(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm.

19.等腰△ABC的直角边AB=BC=10c〃z,点尸、。分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度

做直线运动，已知产沿射线A2运动，。沿边BC的延长线运动，尸。与直线AC相交于点D设P点运

动时间为t,△PC。的面积为S.

(1)求出S关于f的函数关系式；

(2)当点尸运动几秒时，S"C°=SDBC?

(3)作PELAC于点E,当点P、。运动时，线段。E的长度是否改变？证明你的结论.

20.关于龙的一元二次方程(H3)x+2k+2=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1,求左的取值范围.

2025年中考数学复习热搜题速递之一元二次方程（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.关于x的一元二次方程（a-1）/+x+/-1=0的一个根是0,则。的值为（）

1

A.1B.-1C.1或-1D.-

2

【考点】一元二次方程的解.

【专题】符号意识；应用意识.

【答案】B

【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于。的方程，再根据一元二次方程的定

义即可求解.

【解答】解:根据题意得：a2-1=0且a-1W0,

解得：a=-1.

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.

2.若关于x的一元二次方程/-2x+幼+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可

能是（）

【考点】根的判别式；一次函数的图象.

【答案】B

【分析】根据一元二次方程x2-2无+奶+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0,求出kb的符

号，对各个图象进行判断即可.

【解答】解：：/-2x+奶+1=0有两个不相等的实数根，

/.A=4-4（姑+1）>0,

解得kb<3

A.k>Q,b>Q,即姑>0,故A不正确;

B.k>0,b<Q,即姑<0,故8正确;

C.k<0,b<0,即姑>0,故C不正确;

D.k.<0,b—0,即姑=0,故。不正确;

故选：B.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△

的关系：（1）A>0=方程有两个不相等的实数根；（2）A=0o方程有两个相等的实数根；（3）△<（）=

方程没有实数根.

3.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A.14B.12

C.12或14D.以上都不对

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系.

【答案】B

【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可.

【解答】解：解方程％2-12尤+35=0得：尤=5或x=7.

当x=7时，3+4=7,不能组成三角形；

当x=5时，3+4>5,三边能够组成三角形.

该三角形的周长为3+4+5=12,

故选：B.

【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形.

4.若关于x的一元二次方程1）/+4x+l=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是（）

A.k<5B.k<5,且上C.kW5,且4D.k>5

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.

【答案】B

【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式

即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论.

【解答】解：二•关于x的一元二次方程（k-1）/+4尤+1=0有两个不相等的实数根，

•代—1*°-1*0

,•(A>0'叫42—4(k-1)>0，

解得：％<5且左Wl.

故选：B.

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式

组.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及

根的判别式得出不等式组是关键.

5.一个等腰三角形的两条边长分别是方程/-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是()

A.12B.9C.13D.12或9

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质.

【答案】A

【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可.

【解答】解：7尤+10=0,

(x-2)(x-5)=0,

x-2=0,x-5=0,

XI=2,X2~5，

①等腰三角形的三边是2,2,5

V2+2<5,

・••不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；

②等腰三角形的三边是2,5,5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；

即等腰三角形的周长是12.

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求

出三角形的三边长.

6.对于一元二次方程af+fer+cuO(〃#0),下列说法：

①若a+b+c=O,则b2-4ac①0；

②若方程〃/+c=0有两个不相等的实根，则方程〃/+灰+。=0必有两个不相等的实根；

③若c是方程a^+bx+c—Q的一个根，则一定有〃c+Z?+l=O成立；

22

④若xo是一元二次方程ox+Z?x+c=0的根，则炉—4ac=(2ax0+b)

⑤存在实数相、n使得〃/方十加计

其中正确的()

A.只有①②④B.只有①②④⑤C.①②③④⑤D.只有①②③

【考点】根的判别式.

【专题】压轴题；判别式法；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的

求根公式等对各选项分别讨论，可得答案.

【解答】解：①若a+b+c=O,贝!Ix=1是方程办的解，

由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知A=廿-4ac^0,故①正确；

②..•方程ox2+c=0有两个不相等的实根，

A=0-4ac>0f

-4ac>0,

22

则方程ax+bx+c=0的判别式△=b-4ac>0f

・・・方程af+Zzx+cnO必有两个不相等的实根，故②正确；

③丁。是方程ax2+bx+c=0的一个根，

2

贝ac+bc+c=0f

.\c(〃c+/?+l)=0

若。=0,等式仍然成立，

但〃c+Z?+l=O不一定成立，故③不正确；

④若xo是一元二次方程cu?+bx+c=Q的根，

则由求根公式可得：

-b~l~Jb_4(zc_p,—b—Jb—4ac

xo=-----------或xo=-----5------

乙VV乙(X

2axo+b=，炉-4ac或2axo+b=—y/b2—4ac

22

'.b—4ac=(2ax0+b)

故④正确.

⑤令则存在实数机、n(mWn),am2+bm+c=air+bn+c；正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是

解题的关键.

7.关于尤的一元二次方程(m-2)f+2x+l=0有实数根，则根的取值范围是()

A.mW3B.m<3C.加<3且D.，wW3日nt声2

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.

【答案】D

【分析】根据一元二次方程ajr+bx+c=OQWO)的根的判别式A=b2-4ac的意义得到m-2W0且4

20,即22-4X(,77-2)X1N0,然后解不等式组即可得到优的取值范围.

【解答】解：二.关于x的一元二次方程(m-2)/+2x+l=0有实数根，

2W0且△》(),即2?-4X(m-2)Xl20,

则4-4Cm-2)。0,

4-4〃计8'0,

-4机2-12,

解得：7WW3,

：.m的取值范围是mW3且施W2.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程办2+bx+c=0(。=0)的根的判别式△=房-4ac：当A>0,方程有

两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

8.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，己知两次降价的百分率相同，求每

次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是()

A.560(1+x)2=315B.560(1-%)2=315

C.560(1-2x)2=315D.560(1-%2)=315

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】增长率问题.

【答案】B

【分析】设每次降价的百分率为X,根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次

降价后的价格是560(1-x),第二次降价后的价格是560(1-%)2,据此即可列方程求解.

【解答】解：设每次降价的百分率为尤，由题意得：

560(1-%)2=315,

故选：B.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,

这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可.

9.已知a、p是方程/-2x-4=0的两个实数根，则a3+8p+6的值为()

A.-1B.2C.22D.30

【考点】一元二次方程的解.

【专题】计算题.

【答案】D

【分析】根据根与系数的关系得到a邛=2,由一元二次方程解的定义得到a?-2a-4=0,则a2=2a+4,

然后将其代入所求的代数式，并求值.

【解答】解：:a、0是方程/-2x-4=0的两个实数根，

；.a+B=2,a2-2a-4=0,

.'.a2=2a+4

o?+8B+6=a•a2+8p+6

=a・(2a+4)+80+6

=2a2+4a+8p+6

=2(2a+4)+4(x+8p+6

=8a+80+14

=8(a+p)+14=30,

故选：D.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解.解答本题时，利用根与系数得到a+B=2,a2-2a-4=0

是解题的关键.

10.把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是()

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

【考点】一元二次方程的一般形式.

【专题】推理填空题；一元二次方程及应用.

【答案】A

【分析】人Ac分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项.

【解答】解：由方程x(x+2)=5(x-2),得

x2-3x+10=0,

：.a.b、c的值分别是1、-3、10；

故选：A.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：cur+bx+c=Q(a,b,c

是常数且。#0),在一般形式中ax2叫二次项，法叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项

系数，一次项系数，常数项.

—.填空题(共5小题)

11.已知加是关于尤的方程/-2x-3=0的一个根，则2，/-4:〃=6.

【考点】一元二次方程的解.

【专题】推理填空题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据m是关于x的方程/-2%-3=0的一个根，通过变形可以得到2m2-4m值，本题得以解

决.

【解答】解：.根是关于x的方程/-Zx-3=0的一个根，

.,.m2-2m-3=0,

m2-2m—3,

2m2-4m=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

12.如果方程(x-1)(/-2x+2)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数4的取值范围是

3<%<4.

【考点】根与系数的关系；三角形三边关系；根的判别式.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据原方程可得出：①x-1=0,②2=0;根据根与系数的关系，可求出②方程的X1+X2

和X1-X2的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围.

【解答】解：由题意，得：x-1=0,J?-2x+7=0；

设--2%+彳=0的两根分别是m、n(m三〃)；则加十〃=2,mn=-r；

m-n=J(m+n)2—4mn=A/4—k；

根据三角形三边关系定理，得：

m-n<.1<m+n,即A/4—k<1<2；

.*4-kVl,解得3〈仁4.

U-fc>0

【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理.

13.已知实数加，w满足〃则代数式机?+2层+4机-1的最小值等于上.

【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方.

【专题】压轴题；整体思想.

【答案】见试题解答内容

【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0,即可确定

出最小值.

【解答】解：-/=1,即"2=根-1,0,初三1,

原式=m2+2，W-2+4/n-l=m2+6/w+9-12—(m+3)2-12,

则代数式W+2〃2+4m-1的最小值等于(1+3)2-12=4.

故答案为：4.

【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

14.如果恰好只有一个实数a是方程(庐-9)/-2(KI)x+l=0的根，则/的值为±3或-5.

【考点】根的判别式.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案.

【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，

则1c-9=0,

解得k=±3,

②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，

即A=庐-4ac=0,

即：4(H1)2-4(启-9)=0

解得：k=-5.

故答案为±3或-5.

【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题.

a2—ab(a>b}

,,"—例如4*2,因为4>2,所以4*2=4o2-4X2

{ab—bz(a<D).

=8.若xi,X2是一元二次方程x2-5%+6=0的两个根，则xi*%2=3或-3.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】压轴题；新定义.

【答案】见试题解答内容

c(a2—ab(a>b')

【分析】首先解方程厂-5尤+6=0,再根据a*b=[,求出xi*尤2的值即可.

[ab-b^{a<b).

【解答】解：：尤1,X2是一元二次方程f-5x+6=0的两个根，

(%-3)(%-2)=0,

解得：尤=3或2,

①当xi=3,X2=2时，XI*%2=32-3X2=3；

②当xi=2,X2=3时，XI*X2=3X2-32=-3.

故答案为：3或-3.

【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类

讨论是解题关键.

三.解答题(共5小题)

16.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100

斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260

斤，张阿姨决定降价销售.

(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是(100+200X)斤(用含x的代数式表

示)；

(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】销售问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；

(2)根据销售量X每斤利润=总利润列出方程求解即可.

【解答】解：⑴将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+^x20=(100+200x)(斤)；

(2)根据题意得：(4-2-x)(100+200X)=300,

1

解得：了=2或彳=1,

11

当x=宏时，销售量是100+200Xi=200<260；

当x=l时，销售量是100+200=300（斤）.

:每天至少售出260斤，

**x=1.

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.

【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润.第二问，

根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解.

17.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材

料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1，"宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，

猪舍面积为80m2?

住房墙

I17

____[

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】几何图形问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为X"?可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+l）m.根据

矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了.

【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为无机可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+l）m,

由题意得

x（25-2x+l）=80,

化简，得x2-13x+40=0,

解得：xi=5,X2=8,

当x=5时，26-2x=16>12（舍去），当x=8时，26-2x=10<12,

答：所围矩形猪舍的长为10%、宽为8根.

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法

的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键.

18.如图，A、B、C、。为矩形的四个顶点，AB=l6cm,AD=6cm,动点P、。分别从点A、C同时出发，

点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点。以2cw/s的速度向。移动.

（1）P>Q两点从出发开始到几秒时，四边形P2C。的面积为33c”，；

(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点。的距离是10cm.

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】几何动点问题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设P、。两点从出发开始到尤秒时四边形PBCQ的面积为33c:/,贝|尸8=(16-3x)cm,

1

QC=2xcm,根据梯形的面积公式可列方程：-(16-3x+2x)X6=33,解方程可得解；

(2)作垂足为E,设运动时间为t秒，用f表示线段长，用勾股定理列方程求解.

【解答】解：(1)设P、。两点从出发开始到尤秒时四边形P3CQ的面积为33cm2,

则尸8=(16-3x)cm,QC=2xcm,

根据梯形的面积公式得［(16-3无+2x)X6=33,

解之得尤=5,

(2)设P,。两点从出发经过/秒时，点P,。间的距离是10c%,

作QE_LAB,垂足为E,

则。E=AD=6,PQ=10,

'：PA=3t,CQ=BE=2t,

：.PE=AB-AP-BE=\16-5f|,

由勾股定理，得(16-5?)2+62=102,

解得〃=4.8,t2—1.6.

答：(1)尸、0两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33。后；

(2)从出发到1.6秒或4.8秒时，点尸和点。的距离是lOcw

【点评】(1)主要用到了梯形的面积公式：S=l(上底+下底)X高；(2)作辅助线是关键，构成直角

三角形后，用了勾股定理.

19.等腰△ABC的直角边AB=BC=10c〃z,点P、。分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度

做直线运动，已知尸沿射线A8运动，。沿边BC的延长线运动，P。与直线AC相交于点D设P点运

动时间为△PC。的面积为S.

(1)求出S关于f的函数关系式；

(2)当点P运动几秒时，SAPCQ=SAABC?

(3)作PELAC于点£,当点P、。运动时，线段。E的长度是否改变？证明你的结论.

【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用.

【专题】几何动点问题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题可以看出P沿A8向右运动，。沿向上运动，且速度都为Ics/s,S=^QCXPB,所以

求出0C、尸3与/的关系式就可得出S与f的关系，另外应注意尸点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运

动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答.

【解答】解：(1)当t<10秒时，尸在线段A2上，此时C0=f,PB=10-t,

.,.S=xt(10-f)—(10/-z2),

当会10秒时，P在线段A8得延长线上，止匕时CQ=f,PB=t-10,

：.S=^xt(r-10)=4(?-lOr).

(2)'：S^ABC^^AB-BC=50,

i

2

...当tvio秒时,sApce=^(iot-t)=so,

整理得?-10f+100=0,此方程无解，

1

当f>10秒时，S^PCQ=2(t2-10t)=50,

整理得尸-10-100=0,解得t=5±5有(舍去负值),

...当点P运动5+5小秒时，SAPCQ^S^ABC.

(3)当点P、。运动时，线段。E的长度不会改变.

证明：过。作QM_LAC,交直线AC于点

易证丝△QCM,

：.AE=PE=CM=QM=~t,

：.四边形PEQM是平行四边形，且OE是对角线EM的一半.

又,：EM=AC=：.DE=50

，当点P、。运动时，线段。E的长度不会改变.

同理，当点P在点3右侧时，DE=5^2

综上所述，当点尸、。运动时，线段DE的长度不会改变.

B

【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎

刃而解.

20.关于尤的一元二次方程/-(左+3)x+2A+2=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1,求上的取值范围.

【考点】根的判别式.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得△=(%-1)220,由此可证出方程总有两个实数

根；

(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出尤1=2、琛=人1,根据方程有一根小于1,即可得出关

于左的一元一次不等式，解之即可得出发的取值范围.

【解答】(1)证明：,在方程％2-(4+3)x+2A+2=0中，A=[-()t+3)]2-4XlX(2^+2)=^-2k+l

=(A:-1)22。，

，方程总有两个实数根.

(2)解：,/x2-a+3)x+2k+2=(x-2)(x-z-l)=0,

・・xi=2,X2~~k+1.

..•方程有一根小于1,

：.k+l<l,解得：k<0,

左的取值范围为上<0.

【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是:

(1)牢记“当时，方程有两个实数根"；(2)利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于

1,找出关于人的一元一次不等式.

考点卡片

1.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为。时，则其中的每一项都必须等于①

2.一元二次方程的定义

(1)一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高

次数是2"；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

3.一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一个关于尤的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式办2+bx+c=0QW0).这种

形式叫一元二次方程的一般形式.

其中办2叫做二次项，。叫做二次项系数；法叫做一次项；。叫做常数项.一次项系数。和常数项c可取任

意实数，二次项系数。是不等于。的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程

就不是一元二次方程了.

(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

4.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这尤1,尤2是一元二次方程办

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

axi2+bxi+c=0(〃W0),ax22+Z?x2+c=0(aWO).

5.解一元二次方程•因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一

元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

6.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=//-4℃)判断方程的根的情况.

一元二次方程取?+匕龙+c=0(a#0)的根与△=/-4ac有如下关系：

①当△>◊时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<0时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

7.根与系数的关系

(1)若二次项系数为1,常用以下关系：xi,无2是方程x2+°x+q=0的两根时，xi+x2=~p,x\x2=q,反过

来可得P=-(X1+尤2),4=X1尤2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系

数.

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：尤1,X2是一元二次方程办(aWO)的两根时，xi+无2=

-X1X2-反过来也成立，即—=