广东省2024年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷五含解析

2024年广东省一般中学学业水平考试数学模拟测试卷(五)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{-1,0,1,2} B.{-1,0,1}C.{-1,0,2} D.{0,1}2.点(3,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为()A.30° B.45° C.60° D.120°3.已知a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,则y的值为()A.-12 B.-3 C.3 D.124.若a<b<0,则下列不等式:①|a|>|b|;②1a>1b;③ab+ba>2;④aA.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知α是其次象限角,sinα=513,则cosα=()A.-513 B.-1213 C.5136.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x-2 B.y=x-1C.y=x2-2 D.y=log17.不等式组x-3y+6≥0,8.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下,组距(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数234542则样本在(10,50]上的频率为()A.120 B.14 C.129.cos40°sin80°+sin40°sin10°=()A.12 B.-32 C.cos50° D10.函数y=log2(x2-3x+2)的递减区间是()A.(-∞,1) B.(2,+∞)C.-∞,311.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,其和为奇数的概率为()A.15 B.C.35 D.12.将函数y=sinx-π3的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π3个单位,得到的图象对应的解析式是A.y=sin12x B.y=sinC.y=sin12x-π613.已知l,m,n为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列推断正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nC.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥lD.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α14.函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)15.已知向量AC,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC=λAB+μAD,则λ+μ=A.2 B.-2C.3 D.-3二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)16.函数y=ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.

17.等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6=.

18.某学院A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的状况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A专业有380名学生,B专业有420名学生,则该学院C专业应抽取名学生.

19.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则∠A的度数为.

三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)20.已知向量a=cosx,-12,b=(3sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,π21.如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC-A1B1C1中,点G是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BG;(2)若AB=BC,AC=2AA1,求证:AC1⊥A1B.22.已知函数f(x)=1+1x-xα(α∈R),且f(3)=-5(1)求α的值;(2)求函数f(x)的零点;(3)推断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并赐予证明.答案：1.A【解析】因为集合M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N={-1,0,1,2}.2.C【解析】∵点(3,4)在直线l:ax-y+1=0上,∴3a-4+1=0,∴a=3,即直线l的斜率为3,直线l的倾斜角为60°.3.A【解析】因为a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,所以a·b=0,即4×6+2y=0,解得y=-12.故选A.4.C【解析】对于①,依据不等式的性质,可知若a<b<0,则|a|>|b|,故正确;对于②,若a<b<0,两边同除以ab,则aab<b对于③,若a<b<0,则ab>0,ba>0,依据基本不等式即可得到a对于④,若a<b<0,则a2>b2,故不正确.故选C.5.B【解析】∵α是其次象限角,sinα=513∴cosα=-1-5132=-6.A【解析】∵y=x-1是奇函数,y=log12x不具有奇偶性,故解除B,D;又函数y=x2-2在区间(0,+∞)上是单调递增函数,故解除C.7.B【解析】由题意可知,(0,0)在x-3y+6=0的下方,满意x-3y+6≥0;(0,0)在直线x-y+2=0的下方,不满意x-y+2<0.故选B.8.D【解析】依据题意,样本在(10,50]上的频数为2+3+4+5=14,所求的频率为P=1420故选D.9.D【解析】cos40°sin80°+sin40°sin10°=cos40°cos10°+sin40°sin10°=cos(40°-10°)=3210.A【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2,又y=log2(x3-3x+2)的底数是2,所以在(-∞,1)上递减.故选A.11.C【解析】从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,共有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)10种,和为奇数的有6种,故P=61012.C【解析】将函数y=sinx-π3的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sin12x-π3,再将所得的图象向左平移π3个单位,得函数y=13.C【解析】可采纳解除法.A中平行于同一平面的两条直线可以平行,可以相交,也可以异面,所以A错误;B中直线m,n可以相交,可以平行,也可以异面,所以B错误;D中条件可推出m,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,但m,n不肯定相交,故不能推出l⊥α,所以D错误.故选C.14.B【解析】函数f(x)=log2x+x-2的图象在(0,+∞)上连绵不断,f(1)=0+1-2<0,f(2)=1+2-2>0,故函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B.15.A【解析】设小正方形边长为1.以A为原点,AD所在直线为x轴,与AD垂直的直线为y轴建立直角坐标系,那么AD=(1,0),AB=(1,2),AC=(2,-2),那么λ+μ=2,2λ=-2,解得λ=-1,μ16.(1,2)【解析】当x-1=0,即x=1时,y=2.∴函数y=ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,2).17.14【解析】由等差数列的通项公式可得,a3+a4=2a1+5d=9,a1+d=3,所以a1=2,d=1,所以a1a6=2×7=14.18.40【解析】抽样比为1∶10,而C学院的学生有1200-380-420=400(名),所以按抽样比抽取40名.19.90°【解析】依据正弦定理,可得sinBcosC+sinCcosB=sin2A⇔sin(B+C)=sin2A,而sin(B+C)=sinA,所以sinA=sin2A,所以sinA=1,所以∠A=90°.20.【解】f(x)=cosx,-12·(3sinx,cos2x)=3cosxsinx-12cos2x=32sin2x-12cos2x=cosπ6sin2(1)f(x)的最小正周期为T=2πω=2π2=π,即函数(2)∵0≤x≤π2,∴-π6≤2x-由正弦函数的性质知,当2x-π6=π2,即x=π3时,当2x-π6=-π6,即x=0时,f(x)取得最小值-因此,f(x)在0,π2上的最大值是1,最小值是21.证明:(1)如图,连接AB1,交A1B于点O,连接OG.在△B1AC中,∵G,O分别为AC,AB1的中点,∴OG∥B1C.又∵OG⊂平面A1BG,B1C⊄平面A1BG,∴B1C∥平面A1BG.(2)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,BG⊂平面ABC,∴AA1⊥BG.∵G为棱AC的中点,AB=BC,∴BG⊥AC.∵AA1∩AC=A,∴BG⊥平面ACC1A1,∴BG⊥AC1.设AC=2,则AG=1,AA1=2.在Rt△ACC1和Rt△A1AG中,tan∠AC1C=tan∠A1GA=2,∴∠AC1C=∠A1GA.又∠AC1C+∠C1AC=90°,∴∠A1GA+∠C1AC=90°,∴A1G⊥AC1.∵BG∩A1G=G,∴AC1⊥平面A1BG.∵A1B⊂平面A1BG,∴AC1⊥A1B.22.【解】(1)由f(3)=-53,得1+13-3α=-53,解得α(2)由(1),得f(x)=1+1x-x令f(x)=0,即1+1x-x=0