山东省临沂兰陵县联考2024年中考五模数学试题（含解析）

山东省临沂兰陵县联考2024年中考五模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（）

A.2.8x103B.28x103c.2.8xl04D.0.28xl05

2.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0,4）,将△ABO绕点B逆时针旋转60。

后得到AA'BO，，若函数y=8（x>0）的图象经过点则k的值为（）

A.273C.46

3.下列运算正确的是（

A.a64-a3=a23a2»2a=6a3C.(3a)2=3a2D.2x2-x2=l

4.学校为创建“书香校园”购买了一批图书.已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中

科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100

本.求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）

5.如图，已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接

判定四边形ABDC是菱形的依据是（）

A.四条边相等的四边形是菱形B.一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

6.如图，二次函数y=ax1+bx+c(a#0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,对称轴为直线x=L

且OA=OC,则下列结论：①abc>0；②9a+3b+c>0；③c>-1；④关于x的方程axi+bx+c=O(a#0)有一个根为--；

a

⑤抛物线上有两点P(xi,yi)和Q(xi,yi),若xiVIVxi,且xi+xi>4,则yi>yi,其中正确的结论有()

7.如图是一个由正方体和一个正四棱锥组成的立体图形，它的主视图是()

C.区D.□

8.已知二次函数y=ax2+6x+c图象上部分点的坐标对应值列表如下:

X•・・-3-2-1012・・・

y・・・2-1-2-127・・・

则该函数图象的对称轴是()

A.x=-3B.x=-2C.x=-lD.x=0

9.如图，在4x4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使

黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是()

3

D.

13

10.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动.如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱

的高BC=6cm,圆锥的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是（）

口

A.68ncm2B.74ncm2C.84ncm2D.IOOTTcm2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.A、B两地相距20km,甲乙两人沿同一条路线从A地到B地.甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发,

乙以2km/h的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达.甲、乙两人离开A地的距离

y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发小时后和乙相遇.

12.三人中有两人性别相同的概率是.

13.若m+—=3,贝!Jm2+」y=.

mm~

14.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的J处,

则AP的长为.

15.用配方法解方程3/-6x+l=0,则方程可变形为（x-2=_.

16.有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm,从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，抛物线尸-；炉-/4与x轴交于A,5两点（A在8的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点4,点3的坐标；

（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求AACP面积的最大值.

18.（8分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如:

3+2亚=a+/2,善于思考的小明进行了以下探索:

设a+b夜=(m+n后(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b&un?+2n?+2mn&.

.*.a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b虚的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

当a、b、m>n均为正整数时，若a+bA/^ulm+n0),用含m、n的式子分别表示a、b,得2=,b

_____»

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n,填空：_+=(+百>；

(3)若a+4月=(m+〃石)2,且a、b、m、n均为正整数，求a的值.

19.(8分)某商场柜台销售每台进价分别为160元、120元的4、6两种型号的电器，下表是近两周的销售情况:

销售数量

销售时段销售收入

A种型号3种型号

第一周3台4台1200元

第二周5台6台1900元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本)

(1)求4、3两种型号的电器的销售单价；

(2)若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电器共50台，求A种型号的电器最多能采购多少台？

(3)在(2)中商场用不多于7500元采购这两种型号的电器共50台的条件下，商场销售完这50台电器能否实现利润

超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.

20.(8分)某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30。方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出

发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求：

(1)ZC=°；

(2)此时刻船与B港口之间的距离CB的长(结果保留根号).

21.(8分)如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60。，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为

45°,已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=l：2,且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的

高度以及此人所在位置点P的铅直高度.（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

22.（10分）如图，在4x4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.填空:

ZABC=。，BC=；判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.

23.（12分）某商店销售两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需280元；购买3个A品牌和

1个B品牌的计算器共需210元.

（I）求这两种品牌计算器的单价；

（II）开学前，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的九折销售，B品牌计

算器10个以上超出部分按原价的七折销售.设购买x个A品牌的计算器需要yi元，购买x个B品牌的计算器需要yz

元，分别求出yi,y2关于x的函数关系式.

（III）某校准备集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过15个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明

理由.

24.如图，点O是4ABC的边AB上一点，0O与边AC相切于点E,与边BC,AB分别相交于点D,F,且DE=EF.求

3

证：ZC=90°；当BC=3,sinA=1时，求AF的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

试题分析：28000=1.1x1.故选C.

考点：科学记数法一表示较大的数.

2、C

【解析】

根据题意可以求得点O,的坐标，从而可以求得k的值.

【详解】

•••点B的坐标为(0,4),

/.OB=4,

作。CLOB于点C,

VAABO绕点B逆时针旋转60。后得到△ABO',

.•.O'B=OB=4,

.*.O'C=4xsin60o=2G,BC=4xcos60°=2,

/.OC=2,

.•.点。的坐标为：(273.2),

•..函数y=A(x>0)的图象经过点OT

X

k,「

；・2=^-^,得k=4y/3，

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解题的关键是利用数形结合的思想和反比例函数的

性质解答.

3、B

【解析】

A、根据同底数塞的除法法则计算;

B、根据同底数塞的乘法法则计算；

C、根据积的乘方法则进行计算；

D、根据合并同类项法则进行计算.

【详解】

解：A、a64-a3=a3,故原题错误；

B、3a2»2a=6a3,故原题正确；

C、(3a)2=9a2,故原题错误；

D、2x2-x2=x2,故原题错误;

故选B.

【点睛】

考查同底数塞的除法，合并同类项，同底数嘉的乘法，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.

4、B

【解析】

【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案.

【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：

故选B.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

5、A

【解析】

根据翻折得出AC=CD,推出AB=5O=CZ>=AC,根据菱形的判定推出即可.

【详解】

,/将△ABC延底边BC翻折得到△DBC,

：.AB^BD,AC=CD,

'：AB=AC,

：.AB^BD^CD^AC,

四边形ABOC是菱形；

故选A.

【点睛】

本题考查了菱形的判定方法：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的

平行四边形是菱形.

6、D

【解析】

根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案.

【详解】

b

解：由抛物线的开口可知：a<0,由抛物线与y轴的交点可知：c<0,由抛物线的对称轴可知：-丁>0,.,.方>0,

2a

・••曲c>0,故①正确；

令x=3,j>0,9a+3b+c>0,故②正确；

*：OA=OC<19：.C>-1,故③正确；

b

•对称轴为直线x=l,----=1,.,.b=-4a.

2a

OA=OC=-c,.,.当x=-c时，y=0,'.ac1-bc+c=0,'.ac-b+l-Q,ac+4a+l=0,'.c=————,二设关于x的方

.a

程axi+Z>x+c=0(a^O)有一个根为x,/.x-c=4,.'.x=c+4=——,故④正确；

a

."、。两点分布在对称轴的两侧，

V1-xi-(xi-1)=1-xi-xi+l=4-(xi+xi)<0,

即©到对称轴的距离小于XI到对称轴的距离，故⑤正确.

故选D.

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数尸系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴

的交点抛物线与x轴交点的个数确定.本题属于中等题型.

7、A

【解析】

对一个物体，在正面进行正投影得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.

【详解】

解：由主视图的定义可知A选项中的图形为该立体图形的主视图，故选择A.

【点睛】

本题考查了三视图的概念.

8、C

【解析】

由当x=-2和x=0时，y的值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出对称轴.

【详解】

解：.."二口和x=0时，y的值相等,

...二次函数的对称轴为X=二"=-1,

2

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出对称轴是解题的关键.

9、B

【解析】

10、C

【解析】

试题分析：,底面圆的直径为8cm,高为3cm,.•.母线长为5cm,.,.其表面积=/4*5+42兀+8兀*6=84m：1112,故选C.

考点：圆锥的计算；几何体的表面积.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

16

11、—

5

【解析】

由图象得出解析式后联立方程组解答即可.

【详解】

<2(1)(442).

由图象可得：y甲=4t(0WW5)；丫乙=

%-16(24〈4)'

「y=49z16,解得「=丁16

由方程组

故答案为技.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答.

12、1

【解析】分析：

由题意和生活实际可知：“三个人中，至少有两个人的性别是相同的”即可得到所求概率为L

详解：

•..三人的性别存在以下可能：(1)三人都是“男性”；(2)三人都是“女性”；(3)三人的性别是“2男1女”；(4)三人

的性别是“2女1男”,

，三人中至少有两个人的性别是相同的，

•"•P〈三人中有二人性别相同)=1.

点睛：列出本题中所有的等可能结果是解题的关键.

13、7

【解析】

分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案.

详解：把m+^=3两边平方得：(m+工)ZumZ+NY+Zn%

mmm

贝!1m2+^y=7,

m

故答案为：7

点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

3f9

14、一或一

24

【解析】

①点A落在矩形对角线BD上，如图1,

VAB=4,BC=3,

/.BD=5,

根据折叠的性质，AD=A，D=3,AP=AT,ZA=ZPA,D=90°,

；.BA，=2,设AP=x,贝!]BP=4-x,VBP2=BA,2+PA,2,

A(4-x)2=x2+22,

33

解得：x=—,/.AP=—；

22

②点A落在矩形对角线AC上，如图2,根据折叠的性质可知DP,AC,

/.△DAP^AABC,

.ADAB

••一,

APBC

3

【解析】

原方程为3X2-6X+1=0,二次项系数化为1,Mx2-2x=--,

3

12

BPx2—2x+l=—+1,所以(x-1>=—.

33

2

故答案为：1,

3

3

16、一

4

【解析】

根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率

的计算方法，计算可得答案.

【详解】

根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5,共4种取法，而能搭成一个三角

3

形的有2、3、4；3、4、5,2、4、5,三种，得「=—.

4

3

故其概率为：*

【点睛】

本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏.用到的知识点为：概率=所求情况数

与总情况数之比.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)4(-4,0),B(2,0)；(2)A4CP最大面积是4.

【解析】

（1）令尸0,得到关于X的一元二次方程-，“2一/4=0,解此方程即可求得结果;

2

(2)先求出直线AC解析式，再作尸£>，40交AC于O,设P（6-一产-什4）,可表示出O点坐标，于是线段PD

2

可用含t的代数式表示，所以SAACP=-PDxOA=-PDx4=2FM可得SAACP关于£的函数关系式，继而可求出△ACP

22

面积的最大值.

【详解】

⑴解：设y=0,则0=-!》2_丫+4

2

•*.xi=-4,xi-2

：.A(-4,0),B(2,0)

⑵作PDLAO交AC于Z>

TAA\x

设AC解析式y=kx+b

[4=b

0=—4k+b

解得：k'k=/1

b=4

.*.AC解析式为y=x+4.

设P(f,--Z2-f+4)则O(t,f+4)

2

/.PD=(-—<2-Z+4)-(f+4)=--t1-2t=--(f+2)2+2

222

2

/.SAACP=-PDx4=-(f+2)+4

2

/.当f=-2时，△ACP最大面积4.

【点睛】

本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.

18、(1)m2+3n2,2mn；(2)2,2,1,1(答案不唯一)；(3)2=7或2=1.

【解析】

(1)Va+by/3=(m+n#，

•■a+byj3=nr+3rr+2m〃布,

•*.a=m2+3n2,b=2mn.

故答案为m2+3n2,2mn.

(2)设m=l,n—2,/.a=m2+3n2=l,b=2mn=2.

故答案为1,2,1,2(答案不唯一).

(3)由题意，得a=m2+3n2,b=2mn.

V2=2mn,且m、n为正整数，

n=l或m=l,n­2,

/.a=22+3xl2=7,或a=F+3x22=l.

19、(1)A型电器销售单价为200元，B型电器销售单价150元；(2)最多能采购37台；(3)方案一：采购A型36

台B型14台；方案二：采购A型37台B型13台.

【解析】

(1)设A、B两种型号电器的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电器收入1200元，5台A

型号6台B型号的电器收入1900元，列方程组求解；

(2)设采购A种型号电器a台，则采购B种型号电器(50-a)台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；

(3)根据A型号的电器的进价和售价，B型号的电器的进价和售价，再根据一件的利润乘以总的件数等于总利润列

出不等式，再进行求解即可得出答案.

【详解】

解：(1)设A型电器销售单价为x元，B型电器销售单价y元，

3x+4y=1200

则，

[5x+6y=1900

缄=200

解得：…，

[y=150

答：A型电器销售单价为200元，B型电器销售单价150元；

(2)设A型电器采购a台，

则160a+120(50-a)<7500,

解得：aw上75，

2

则最多能采购37台；

(3)设A型电器采购a台，

依题意,得：(200-160)a+(150-120)(50-a)>1850,

解得：a>35,

75

贝n!II35<a<—,

2

•••a是正整数，

；.a=36或37,

方案一：采购A型36台B型14台；

方案二：采购A型37台B型13台.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系和不等关系，列方程组和不等式求解.

20、(1)60；(2)30A/2+10A/6

【解析】

(1)由平行线的性质以及方向角的定义得出NPR4=NE4B=30。，ZFBC=75°,那么NABC=45。，又根据方向角的定

义得出NBAC=NBAE+NC4E=75。，利用三角形内角和定理求出NC=60。；

(2)作AD±BC交BC于点D,解RtAABD,得出50=40=30叵，解■Rt4ACD,得出CD=10遍,根据BC=BD+CD

即可求解.

解：(1)如图所示，

VZEAB=30°,AE//BF,

:./尸54=30。，

又NFBC=75°,

：.ZABC=45°,

,/ZBAC=ZBAE+ZCAE=75°,

.,.NC=60°.

故答案为60；

(2)如图，作AO_L5C于O,

在RtAA5O中，

VZABZ>=45°,AB=60,

：.AD=BD=3042.

在RtAAC。中，

,.,ZC=60°,AD=30y/2,

AD

tanC=-----

CD

:.CD=^^=1Q娓,

V3

：.BC=BD+CD=30y/2+1076.

答:该船与B港口之间的距离C3的长为（30&+10&）海里.

21、电视塔oc高为IOOG米，点P的铅直高度为10°（追一1）（米）.

3

【解析】

过点P作PFLOC,垂足为F,在RtAOAC中利用三角函数求出OC=100g,根据山坡坡度=1：2表示出PB=x,AB

=2x,在RtAPCF中利用三角函数即可求解.

【详解】

过点P作PFLOC,垂足为F.

在RSOAC中，由NOAC=60。，OA=100,得OC=OA・tanNOAC=10oV^（米），

过点P作PBJ_OA,垂足为B.

由i=l:2,设PB=x,则AB=2x.

.\PF=OB=100+2x,CF=10073-x.

在RtAPCF中，由NCPF=45。,

，PF=CF,BP100+2x=10073-x,

.x=10073-100,即PB=100若一100米

33

【点睛】

本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用，中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题

关键.

22、(1)135;2A/2.(2)AABC^/XDEF.

【解析】

(1)根据已知条件，结合网格可以求出NABC的度数，根据，△ABC和ADEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶

点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；

(2)根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明^ABC与^DEF相似.

【详解】

(l)ZABC=90+45=135,

BC=J*S=花=20；

故答案为135;2JI

(2)AABC^ADEF.

证明：•.•在4x4的正方形方格中，

ZABC=135，/DEF=90+45=135,

：.ZABC=ZDEF.

,:AB=2,BC=20FE=2,DE="

.AB2r-BC272[-

••-----==7z,---=----=vz.

DE41FE2

:.AABCSADEF.

【点睛】

考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

60%(0<x<10)

23、(1)A种品牌计算器50元/个，B种品牌计算器60元/个；(2)yi=45x,y=<；(3)详见解

242%+180(%10)

析.

【解析】

⑴根据题意列出二元一次方程组并求解即可;

⑵按照“购买所需费用=折扣x单价x数量”列式即可，注