2024-2025学年湖南省益阳市资阳区多校联考九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省益阳市资阳区多校联考九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分,共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列说法正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形

C.一组对边平行的四边形是平行四边形D.矩形的对角线互相垂直

2.关于一次函数y=-2%+1的图象和性质,下列说法正确的是（）

A.y随式的增大而增大B.图象经过第三象限

C.图象经过点（-1,2）D.图象与y轴的交点是（0,1）

3.下列说法正确的是（）

A.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等B,频数与频率相等

C.一次函数都是正比例函数D.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形

4.在平面直角坐标系的第二象限内有一点P,点P到久轴的距离为2,至0轴的距离为3,则点P的坐标是（）

A.(—3,2)B.(3-2)D.(—2,3)

5.如图，已知乙1。8=60°,P是乙4。8平分线上一点，CP〃OB,交。4于点C,PD1OB,垂足为点D,且

PC=4,贝UPD的长为()

A.2

B,2^/3

C.3

D.4

6.小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到

家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间K分钟）之间关系的大致图象是（）

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7.如图，在△4BC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE14B于E,PF1AC于F,则

EF的最小值为（）入

8.如图，矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M、N分别在矩形的边

AD.BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边4。上，记为点P,

点。落在G处，连接PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论：①四边形CMPN是菱

形；②点P与点4重合时，MN=5；③△PQM的面积S的取值范围是4WSW5.

其中所有正确结论的序号是（

A.①②③B.①②C.①③D.②③

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.△ABC中，ZC=90°,ZX=30°,BC=4,则4B=

10.一个正多边形的内角和为540。，则这个正多边形的每一个外角等于.

11.在平面直角坐标系中，点”（1,2）关于y轴的对称点的坐标为.

12.如图，在RtaaBC中，N4CB=90。，点。是4B的中点，AC=6,

BC=8,则CD=.

13.将一次函数y=x-l的图象向上平移4个单位，得到的一次函数的表达式是____.

14.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=6,DC=^AD,BD平分N4BC,则点D到4B的

距离为.

15.如图，DE为△ABC的中位线，点尸在DE上，且N4FB=90。，若£T=2,

BC=10,贝的长为

16.如图，在平面直角坐标系中，点4、&、…都在X轴上，点为，B2,B3,…都在直线y=x上，AO

&Bi，△&公42，△&BV42，^B2A2A3,△83B2公都是等腰直角三角形，且。4=1，则点比024的坐

标是.

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三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)

如图所示，四边形4BCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,Z.A=90°,求四边形

ABCD的面积.

18.(本小题6分)

阅读下列一段文字，然后回答下列问题,已知在平面内两点「1(尤1,月)，22(久2,丫2)，其两点间的距离P/2=

苗一久2)2+(%一及)2,同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距

离公式可简化为或|力-月|・

(1)已知4(-2,3),B(4,—5),试求2、B两点间的距离；

(2)若一个三角形各顶点坐标为力(-1,3)、5(0,1),C(2,2),请判定此三角形的形状，并说明理由.

19.(本小题6分)

如图，已知E,F,G,H是四边形2BCD各边的中点.

(1)证明：四边形EFGH为平行四边形；

(2)若四边形力BCD是矩形，且其面积是8CTH2,求四边形EFGH的面积.

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C

D

20.（本小题8分）

每年3月30日是全国中小学生安全教育日，学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全

知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计.请根据尚未完成的频率分布

表和频数分布直方图，解答下列问题：

（1）这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，其中：爪=,n=；

（2）请补全条形统计图；

（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强

的学生约有多少人？

分数段频数频率

50.5〜60.5160.08

60.5〜70.5400.2

70.5〜80.5500.25

80.5〜90.5m0.35

90.5〜100.524n

成绩（分）

21.（本小题8分）

某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往4B两城市，根据预算，运往4城的费用为800元/万剂，运往B城的

费用为600元/万剂.结合4城的疫苗预约情况，2城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用

为义元），运往力城久（万剂）.

（1）求y与工的函数关系式；

（2）在满足4城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？

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22.(本小题10分)

-1

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线"：y=x+a与y轴交于点Q,且与直线办：y=-,久相交于点P，其

中点P纵坐标为1.

(1)求点P的坐标及a的值;

(2)求△PQO的面积;

⑶直接写出不等式-京＜%+a的解集.

23.(本小题10分)

如图，已知△48C中，ABAC=90°,AB=AC=6

接GC,正方形对角线4E交8C于点F.

(1)判断BD与CG的数量关系，并证明;

(2)求证：DF2=BD2+CF2；

(3)若BD=4,求4E的值.

24.(本小题12分)

如图，已知直线y=a+3与坐标轴交于B,C两点，点4是x轴正半轴上一点，并且S44BC=15,点F是线

段48上一动点(不与端点重合)，过点F作FE〃x轴，交BC于E.

(1)求4B所在直线的解析式；

(2)若FD1X轴于D,且点。的坐标为(犯0),请用含小的代数式表示DF与£尸的长；

(3)在x轴上是否存在一点P,使得aPEF为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，

请说明理由.

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参考答案

LB

2.D

3.0

4.4

5.B

6.B

7.C

8.C

9.8

10.72°

11.(-1,2)

12.5

13.y=x+3

14.2

15.6

16.(22°23,22023)

17.解:连接BO,

vAB=3cm,AD=4cm,Z.A-90°,

2

BD-5cm,S^ABD=x3x4=6cm,

又BD=5cm,BC-13cm,CD=12cm,

BD2+CD2=BC2'

ABDC=90°,

2

•••S&BDC=，x5x12=30cm,

2

S四边形ABCD=ABD+S^BDC=6+30=36cm.

18.解：(1)4B两点间的距离为AB=V(-2-4)2+(3+5)2=10；

(2)△力BC为等腰直角三角形，理由如下：

•••AB=^/(―1—0)2+(3—l)2-y/5,

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AC—，(-1-2)2+(3-2)2y/10,

BC=1C-2尸+(1-2)2=占

22

AB+BC=5+5=10="2,且ZB=SC)

・•.△4BC为等腰直角三角形.

19.(1)证明:(1)连接BD,

E、F分别为4。、AB的中点，

EF是△力BD的中位线，

1

・•・EF=^BD,EF//BD,

-1

同理，GH=^BD,GH//BD,

EF=GH,EF//GH,

四边形EFG”为平行四边形

(2)解：如图，由(1)知四边形EFGH为平行四边形,

•.•四边形力BCD是矩形，且E,F,G,"是四边形4BCD各边的中点,

•••DH=AF=CH=BF,

..四边形力和四边形HFBC都是矩形，

•••HF=AD=BC,EG=AB=DC,EG1FH,

••・四边形EFGH是菱形，

；・S四边形EFGH=aEG-HF=^AB-BC,

■■四边形4BCD的面积是8加2,

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AB-BC=8(cm2),

S四边形EFGH=aEG-HF=^AB-BC=4cm2.

20.(1)200；70；0.12.

(2)补全条形统计图如图所示.

频数分布直方图

(3)1500x(0.08+0.2)=420(A).

该校安全意识不强的学生约有420人.

21.解：(1)设运往力城x万剂，运往B城(10-久)万剂，依据题意可得

y—800x+600(10—%)=200x+6000.

故运输这批10万剂疫苗的费用y与X的函数关系式为y=200%+6000(4<%<10)；

(2)根据4城的疫苗预约情况，4城的需求量不低于4万剂，可得X24,

因为200>0,所以y随着x的增大而增大，

所以，当久=4时，y取最小值，y=200x4+6000=6800(元)，

答：在满足4城市需求量的情况下，费用最低的调运方案是运往4城4万剂，运往B城6万剂；最低费用是

6800元.

1.1

22.解：(1)把y=1代入y=-产得，一产=匕

解得x=-2,

•••点P的坐标为(—2,1),

把P点的坐标代入y=x+a得，l=-2+a,

解得a=3；

(2)直线"：y=x+3与y轴交于点Q,

(2(0,3),

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OQ=3,

1

*',POQ=,x3x2=3；

⑶由图象可知，不等式一夕〈久+a的解集是x2—2.

23.(1)解：BD=CG,理由如下：

•••四边形力DEG是正方形，

AD=AG,^DAG=90°,

•••Z-BAC=Z-DAGj

・•・Z-BAD+/-DAC=Z-DAC+Z.CAG,

•••(BAD=Z-CAG,

在△ABO和△ACG中，

(AB=AC

乙BAD=^CAG

AD=AG，

・•・△ABO妾△ACG(SZS),

•••BD=CG；

(2)证明:如图2,连接GF,

1•1四边形ZDEG是正方形，

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在△GZF和△D4F中，

(AF=AF

/FAG=Z.FAD

AG=AD

・•・△GAF^/\DAF(SAS)9

・•・GF=DF,

•・•LBAC=90°,AB=AC,

・・・乙B=^ACB=45°,

由(1)知：AABD^AACG,

・•・乙4CG=£B=45。，

・・•上FCG=CACB+乙4CG=90。,

在RtZkFCG中，GC2+CF2=FG2,

・•.DF2=BD2+C尸2；

(3)解：如图3,连接。G,

・・•AB=AC=6电

在Rt△ABC中，

BC=yjAB2+AC2=J(6或)2+(6")2=12,

・・•BD=4,

・•.DC=BC-BD=12—4=8,

由(1)知：GC=BD=4,

由(2)知:乙DCG=90°,

在Rt△DCG中，DG=y/DC2+CG2=yj82+42=4^/5,

1•1四边形4DEG是正方形，

•••AE-DG-4^/5,

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24.解：

(1)在y=-x+3中，令久=0可得y=3,令y=0可求得％=—4,

4

8(0,3),C(-4,0),

.・.OB=3,OC=4,

vS4ABe=15，

••・，/•OB=15,即1(。＞+4)x3=15,解得。A=6,

・•・4(6,0),

设直线解析式为y=kx+b,

・•・劈上”。，解得仁清，

直线ZB解析式为y=~x+3；

(2)•・•FD1%轴，且D(m,0),

F点横坐标为瓶，

在丫=一聂+3中，令％=7n,可得丫=一|血+3,

DF=—|m+3,

•・•E/〃久轴,

•••E点纵坐标为一品+3,

Q-1-1Q2

在y=/+3中，令y=--m+3,可得一出+3=-%+3,解得％=--m,

4，24J

・・•F在线段ZB上，

・•・0<m<6

25

.・.EF=m+=-m；

(3)假设存在满足条件的点P,设其坐标为(t,0)