江苏省某中学2024-2025学年高三年级上册暑期检测 数学试题

高三年级暑期检测

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合/=16<015=*卜2一4x+3〉0},则Zn5=()

A.(-4,4)B.(1,3)C.(-4,1)U(3,4)D.(-1,2)U(3,4)

2x2—1r<0

2.己知函数'一，若/(x)=8,则x的值为()

[4x,x>0

A.±V3B.±G或2C.—0或2D.6或-2

cosx•Inx

3.函数/(x)=-----4在xe[-兀,0)Pl(0,兀]的图象大致为()

(-a-5)x-2,x22

4.已知函数/(x)=<若对任意苞,》2eR(Xi力》2)，都有

x2+2(a-l)x-3a,x<2

/(/)-/(/)<0成立,则实数。的取值范围为(

xx-x2

A.[-4,-1]B.[-4,-2]C.(-5,-1]D.[-5,-4]

5.已知函数y=/(x)的定义域为[—1,4],则上」的定义域为()

VX-1

(Q3

A.[-5,5]B.1,-C.(1,5]D.-5,-

6.命题“三》€[1,2],/+11«—aWO”为假命题，则。的取值范围为()

A.(-co,l)B.(-co,0)C.(-co,ln2+2)D.(-co,ln2+4)

7.已知函数/(x)的定义城为R,且满足/(—x)=/(x)J(x)+/(4—x)=0,且当xe[0,2]时,

/(X)=X2-4,则4101)=()

A.—3B.-4C.3D.4

2x--x

8.已知函数/（》）=万+1-2，若对任意xe[，2]，有（1+mx）成立，则实数机的取

值范围是（）

「531「3、

A.（-oo,0]B.[-2,0]C.D.—,+coI

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.

9.下面命题正确的是（）

A."a<1”是“后<1”的充要条件

B.“a〉1”是“工<1”的充分不必要条件

a

C.“aw0”是“abw0”的必要不充分条件

D.”x22且y22”是“/+^224”的必要不充分条件

10.下列命题中正确的是（）

V2+5

A.的最小值是2

6+4

B.当x〉l时，x+」一的最小值是3

X—1

C.当0<x<10时，Jr。。—％）的最大值是5

21

D.若正数满足一+—=3,则2x+y的最小值为3

xy

11.已知函数/（x）的定义域为R,其图象关于（1,2）中心对称，若/（止；（j）=2—X,则下列正

确的是（）

A."4—5x）；/（5x2）=iB./（2）+/（4）=4

C.y=/（x+l）—2为奇函数D.y=/（2+x）+2x为偶函数

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数/（x）=x[a+『一是偶函数，则实数.

13.集合幺=N（x+l）（x—a）«0}5=M（x+3）（x+2）（x—1）=0},若/口8/0,则实数a的取值

范围为

14.记N：={1,2,3,…，机}，机eN*,4表示左个元素的有限集，S（E）表示非空数集E中所有元素的和,

若集合必#=咨（4）|4三％},则监,3=；若5（/,2）»817,则他的最小值为.

四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.（本小题满分13分）

设集合/=代卜x-5|<2}.8=<x<2机+1}.

（1）若2口8=0，求实数机的取值范围；

（2）若“xeZ”是“xe8”的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

16.（本小题满分15分）

随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用.某校在寒假里给学生推荐

了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业.开学时进行了入学测试，随机抽

取了100名学生统计得到如下列联表：

使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计

入学测试成绩优秀202040

入学测试成绩不优秀402060

合计6040100

（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；

（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随

机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.

山2n（ad-be）2廿上

附：％=（a+b）（c+dXa+c）0+d）''B+6+c+d.

尸（力22自）0.100.050.0250.010

k02.7063.8415.0246.635

17.（本小题满分15分）

一，X+

定义域为R的函数/。0=2;：h：是奇函数・

（1）求实数a,6的值；

（2）若存在2,0）,使得/（7+3左）+/［；—左2）<0成立，求实数上的取值范围.

18.（本小题满分17分）

在四棱锥尸-Z5CD中，尸2,平面幺3C。，底面Z5CD为正方形，尸/=Z民£为线段P8的中点,

厂为线段8c上的动点，BF=/15C（O</1<1）.

（1）证明：AELPC,

（2）求实数4的值，使得平面ZEE与平面qQC所成角的余弦值最大.

19.（本题满分17分）

已知函数f(x)=(lux)2-a(x-l)2,aeR.

（1）当a=l时，求/（x）的单调区间；

（2）若x=l是/（x）的极小值点，求。的取值范围.

高三年级暑期检测

数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C

8.【答案】B

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.

9.【答案】BC10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

【详解】A选项，/（x）的定义域为R,其图象关于（1,2）中心对称，故/（4—5x）+/（5x—2）=4,故

小—至）+企—2乜，人正确;

4

B选项，由题意得/(4%)+/(%2)=4,又心[4—兀…故

+2)—4令x=4得/(4)+：G)—4=2_4,BP/(4)+/(2)=-8+4=-4,

B错误；

C选项，由题意得/(I—x)+/(x+l)=4,即/(l—x)-2=—[/(x+1)—2],

令g(x)=/(x+l)-2,贝1Jg(-x)=—g(x),所以y=/(x+l)-2为奇函数,C正确；

D选项，因为/(X)―/©―x)=、_x,所以/(x+2)—0(2—X)=2_X_2=_X,

44

即f(x+2)-/(2-x)=-4x,故f(x+2)+2x=f(2-x)-2x,

令/z(x)=/(2+x)+2x,贝！故y=/(2+x)+2x为偶函数，D正确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】—工

2

13.【答案】(7,—2]U[1,+S)

14•【答案】{6,7,8,9)21

【详解】当机=4,左=3时，N；={1,2,3,4},&表示3个元素的有限集，

由4口N；可知：4={1,2,3}或4={1,2,4}或4={1,3,4}或4={2,3,4},故上k={6,7,8,9卜

由题，Mm,2=(3,4,5,..,2«-1},由S(4,2)=®T-2丁+2g>817,

即(2m—3)(机+1)>817,解得机21+^^=21或机W♦

(舍去),

由加eN*,故加的最小值为21,

四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步

骤.

【详解】(1)/二次［％-5|<2}=*卜2<%-5<2}=十］3<x<7},

当B=0时，122m+<0；

m〉0

当时，由4cB=0得：1,即0<加41；

2m+1<3

综上，m<1；

3>1

(2)由题得，所以1一,且等号不同时成立，解得加23,所以实数加的取值范围为

w7<2m+l

[3,+oo).

100x(20x20—20x40)225..。一

16.【详解】(1)•••/-------------------------------=——<3<3.841

40x60x40x60----9

・•・没有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关;

（2）5x—=2,.•.5人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀,

100

X的取值可能为0、1、2,

1_4

105'

-1+b

17.解：(1)•••/(X)是奇函数，.•./(())=0,即------=0,解得6=1,

2+(7

又由“＞一"」）知：门=-七

解得a=2.

此时，/⑺=MJ（r）==院：；；=9一⑺，即/GO是奇函数,

故〃=2,6=1.

—2*+b-\+b-2x

【或】•・/（是奇函数，

♦X）•••/（X）+/（r）=+；j+1:x+ix

乙IW41W2+a2+a-2

G2'+b)G+a-2V)+(-1+Z)-X)6-2Y+a)=0,BP(2Z?-a)-22x+2{ab—2>2工+2b—a=0恒成

立.

2b-a=Q[a=2[a=-2

ab-2=^"\b=\或jb=_]

当；时，/(x)=N二的定义域为例"0卜舍去，

b=—12—2

故〃=2,6=1.

_2X_|_111

（2）由（1）知/&）=声*=一5+w，则/（x）在R上为减函数，

IIJL

又/（X）是奇函数，由/（/+3左）+/（；—左2]＜o得：/«+3左）＜—/[—左2卜/12_：

:.t+3k>k2--,即/+：〉左2—3左在江（一2,0）上有解，

•：te（―2,0）,/+；=—W—2J—/•一=—2当且仅当T=J,即/=—1时等号成立,

.•.〉=/+；在/e（-2,0）上的最大值为-2,

:,-2>k2-3k,即（左一1）（左一2）<0,01（左<2.

18.【详解】

⑴略；

（2）如图分别以AB,AD,AP所在的直线为x,y,2轴，

不妨设PA=AB=AD=1,则8(l,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),£,0,；J,Z(0,0,0)

BF=ABC(0<2<1),设尸(x,y,2),而=(x-l,y,z),BC=(0,1,0),

则(x-l,y,z)=A(0,1,0),解得F(1,2,0),

设平面4EF的法向量为]=(xl,yl,zl),AE==(1,2,0),

则AE•%=0,AF-nx—0,

11

.一一％H—z,—0A—►/、

所以<22，取必二-1,则玉=42]=—2,BPnx-(2,-1,-2),

项+Ayl=0

设平面尸CD的法向量为0=(a,b,c),灰=(1,0,0),历二(0,1,—1),

,—»—»

DC,72=a=0—►/、

贝l"一一?，取〃2=(0/,1)，

PD•几2=b—c=0

设平面AEF与平面PDC所成锐二面角的平面角为”,

令1=2/1H--G—,则4=一7---,

22224

cr,,V2[11

所以cosa=〒-+-~5-p,

212-t+-----

\28/2

191n9~1193

因为上f+二—±22、上/•二—土=1,当且仅当土/=二，即时取等号,

28t2V28r228t2

所以当％=—时，即几=—时，C0S6K=—.

22maaxx2

r\1G

19.【详解】(1)当〃=1时，/'(%)=——-2(x-l)=—^Inx-x2+x^,

XX

设g(x)=Iru-x2+x,贝Ig'(x)=--2x+l=―+——

所以当xe(0,1)时，g'(x)〉0,g(x)单调递增，

当xe(l,+oo)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

当x=l时，g(x)取得极大值g(l)=0,所以g(x)Wg(l)=0,

所以/'0)《0,/0)在(0,+8)上单调递减；

(2)/,(x)=^^-2tz(x-l)=—(inx-ax2+ax^,

XX

设h(x)=Inx-ax2+ax,则〃(x)=，-2ax+a=2ax+"'+1,

X