2025年高考数学一轮复习 阶段滚动检测（六）

阶段滚动检测(六)

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

L已知随机变量服从正态分布N(2Q2),且P©<3尸0.6,则P(l<<f<2)=()

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

【解析】选D.由题知，曲线关于直线尸2对称，又P©<3尸0.6,

所以尸(2<。<3尸0.6-0.5=0」,由曲线的对称性可知尸(1<4<2)=尸(2<。<3尸0.1.

【加练备选】

已知随机变量BN(10"2),且p(督11)=07则P(10<A^ll)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【解析】选B.根据正态分布曲线的对称性，

可得P(10*l1)=尸(督11)-尸*10)=0.7-0.5=02

2.五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴4民G2凡b中选出4辆分别

开往紫蒙湖、美林谷、黄岗梁、乌兰布统四个景区承担载客任务,要求每个景区

都要有一辆旅游大巴前往，每辆旅游大巴只开往一个景区，且这6辆旅游大巴中

A,B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（）

A.360B.240C.216D.168

【解析】选B.这6辆旅游大巴〃乃不去乌兰布统，则不同的选择方案共有

=240种.

3.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班、二

班各10名同学的体温记录（从低到高）：

高三一班:36.1,36.2,加,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0（单位℃）,

高三二班:36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,”,37.1（单位℃）.

若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n-m=（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【解析】选C.由10x0.25=2.5,可得第25百分位数分别为m和36.3,则加=36.3;

।__-T—八，、―八f।、i36.8+37.0--72+37.1_.n+37.1

由100.9=9,可得第90百分位数分别为一-一=36,9和1―厕?-36.9,

解得"=36.7;

故"-加=36.7-36.3=0.4.

4.（2024•广州模拟）在（x+l）a-l）5展开式中4的系数为（）

A.-1B.OC.lD.2

【解析】选B.显然(x+1)(x-1)5=X(A:-1)5+(x-1)5,

则01)5展开式第k+1项小+1=吟5"(-1)片《(-1注叱左£N，狂5,

当仁3时,X(；(-1)3%2=-10吐当仁2时,《(-1)2%3=10%3,

所以展开式中含好的项为-lOR+lORR,即展开式中炉的系数为0.

5.已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里,清晨打开房门，这

些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为()

AB-C-D-

A28145628

【解析】选D.5只鸡,3只兔子走出房门，共有A,中不同的方案，其中恰有2只兔

子相邻走出房子的方案为:先排5只鸡,会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只

捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中，共有A；A第种方案,故恰有2只

A5A2A2

兔子相邻走出房子的概率为

A；28

6.(2024.漳州模拟)甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动,可以从

A,B,C,D四个社区中随机选择一个社区,设事件〃为“甲和乙至少一人选择了A

社区”，事件N为“甲和乙选择的社区不相同”，则P(MM=()

5675

'飞B.,C.@D-

【解析】选B.甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有

42=16(种)，事件M发生的情况共有16-32=7(种)，事件M和事件N同时发生的情

况共有6种，

6

LL、P(MN)而

所以6

16

7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进

行试销彳导到如表数据：

单价％（元）456789

销量M件）908483807568

由表中数据,求得经验回归方程为3^+106.若在这些样本点中任取一点,则它在

回归直线右上方的概率为（）

1112

A—6B—3C.—2D—3

【解析】选C.由表中数据知，

—1

（4+5+6+7+8+9）=6.5,

_1

yqx（90+84+83+80+75+68）=80,

因为经验回归方程3=叙+106恒过样本中心点（五歹），

所以80=方X6.5+106,解得对-4,

所以『=-4x+106,

由此得到表格：

单价%（元）456789

销量P（件）908483807568

估计值加牛）908682787470

所以6个点中，在回归直线右上方的点有（6,83）,（7,80）,（8,75）,共3个，所以所求概

率为14

8.暗箱中有编号为1,2的2个球,现从中随机摸1个球,若摸到2号球，则得2分，

并停止摸球;若摸到1号球，则得1分,并将此球放回，重新摸球.记摸球停止时总得

分为X,则E⑶=()

A.3B.4C.5D.6

____1111

【解析】选A.由题意可得X的可能取值为2,3,4,5,...,“,P(H2)=/g3)/『p

11111

所以£(^=2^-+3\~+4x^+...+(n_i)x-_+nx_-

22/222

111111

贝归与(R=2x-^+3x飞+4><7+…1)②，

/22222

・111111

①-②得于+…户，

2-4-77

即得E(R=3FY，当“一+8时,E(A>3.

2

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(2023•南京模拟)某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直

方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).分数不低于X即为

优秀，已知优秀学生有80人，则()

A.q=0.008

B¥120

C.70分以下的人数约为6人

D.本次考试的平均分约为93.6分

【解析】选AD.又寸于A,（0.002x2+0.0。4+。+0.014+0.02）x20=1=4=0.008,正确；

对于B,因为第六组有40人，第五组有160人，

所以苗寸面=舁125晶庆；

对于C,70分以下的人数为（0.002+0.004）x20x1000=120（人）,错误；

对于D,平均成绩N=40x0.04+60x0.08+80x（）.28+100x0.4+120x0.16+140

x0.04=93.6（分），正确.

10.（2024•北京模拟）已知甲、乙两组数据分别为8,9,11,10,12和a,8,9,10,15,若

甲、乙两组数据的平均数相同，则（）

A.甲组数据的中位数为10

B.乙组数据的第75百分位数为9.5

C.甲、乙两组数据的极差相同

D.甲组数据的方差小于乙组数据的方差

【解析】选AD.甲组共有5个数据，从小到大排列后为中间数字，所以甲组数

据的中位数为10,A选项正确；

由题意得甲、乙两组数据的平均数相同,且易知甲组数据的平均数为10,

故乙组数据的平均数也为10,故得8+9+1；+15+。=10,所以-8,

又5x0.75=3.75,乙组数据从小到大排列为8,8,9,10,15,

所以乙组数据的第75百分位数为10,B选项错误；

易知甲组数据极差为4,乙组数据极差为7,C选项错误；

两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大,D选项正确.

11.（2024•青岛模拟）一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜

色外均相同.现从容器中不放回地抽取两个小球.记事件4“至少有1个红球”，事

件A“至少有1个白球”，事件c=zn民则（）

A.事件力乃不互斥

B.事件4与相互独立

C.P（/⑻=。配）

D.p（q/）+尸（。⑻>2尸（°

【解析】选AD.对于A,由于至少有一个红球和至少有一个白球，可以同时发生,

故事件A与事件B不互斥,A正确;

211

C；C；80+或：q+qc；14

对于B,C,P(4B)=丁/⑷=——

1515'

CO：C。：C6

所以P(AB)”(A)P(B),故B错误；

88

故尸(/⑻嗡WH，尸出⑷中找，故c错误；

155

rlrl

对于D『(CWW)啧《故尸5)+尸(。⑻罪+意嗡焉

6

515

9o©+#141(C)>2P(C),故D正确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为必zf2,3,4,5),平均数为五若随

机删去其中一轮的成绩彳导到一组新数据，记为凹(片1,2,3,4),平均数为歹，下面说法

正确的是.(写出所有正确序号)

①新数据的极差可能等于原数据的极差.

②新数据的中位数可能等于原数据的中位数.

③若值5，则新数据的方差一定大于原数据方差.

④若^=歹,则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数.

答案:①②③

【解析】根据题意，依次分析4个结论：

对于①，若删除的数据既不是最大值，也不是最小值,则新数据的极差等于原数据

的极差，①正确;

对于②，若删除的数据是原来数据的中位数,则新数据的中位数等于原数据的中

位数，②正确；

对于③，苍年，则删除的数据恰好为原来数据的平均数，由方差的计算公式，新数

据的方差一定大于原数据方差，③正确；

对于④，假设原来数据为1,2,3,4,5,若不测删除的数据恰好为原来数据的平均数,

即删除的数据为3,新数据为1,2,4,5,原来数据的第40百分位数2.5,新数据的第

40百分位数为2,④错误.

13.写出一个正整数”>1,使得（病喘）〃的展开式中存在常数项:.

答案：5（答案不唯一）

2n-5k

【解析】由题知（网长）〃的通项为Tg=C需网一,

要使展开式中存在常数项，只需^-0有解，

又正整数n>l,0<k<n,

则2n=5k,

所以不妨令"=5,则『2.

14.（2024•天津模拟）甲、乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的

概率熹1，乙命中的概率熹9,两人每次射击是否命中都互不影响，则甲、乙二人全

部命中的概率为;在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概

率为.

【解题指南】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分

别计算对应概率,即可选出答案.再根据条件概率的计算公式即可求解.

套案21

日木.67

ill1

【解析】甲射击恰好命中两次的概率为白衿,则甲、乙二人全部命中的概率为:

71

、^^设“两人至少命中两次”为事件4“甲恰好命中两次”为事件用尸(4)=1-尸3

11111111271111123

)=1—x-x—2x-x-x—x-x-=—z一|-x-x-=—

J22322322312，PvMS7J—2X-2X322312，

3

所以P(5⑷若生・

12

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.(13分)(2023•沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心,人们对

环境的保护意识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行

排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成

污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.

(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；

【解析】(1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列,30*80%=24,所以这30个

企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即至手

=30.

(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4,其他20个企业造成污染点的方

差为44.7,求这30个企业造成污染点的总体方差.

【解析】(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为修通,../20,其平均数记

为五方差记为sj;

把剩下10个数据记为乃,心…,为0,其平均数记为，方差记为4把总样本数据的平

qin

均数记为万，方差记为$2.由题意可知，万崔=17,

—11

7寸(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)寸330=33，

_1

则命市x(510.330)=9,

由题知¥=44.7,5：=92.4,524{20度+(/z)2]+10[s^+(y-z)2]}

代入数据可得52=^{20x[44.7+(9-17)2]+10x[92.4+(33-17)2]}=188.6,

所以这30个企业造成污染点的总体方差为1886

16.(15分)(2024•娄底模拟)某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机,

在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测

试数据进行分析彳导到如图所示的频率分布直方图：

.O)9

o4

O..O

0..0O2

O1

0..00

180230280330380430单次最大续航里程/千米

(1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值短同一组中的数

据用该组区间的中点值代表)；

【解析】(1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为人

=205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

(2)经计算第⑴问中样本标准差s的近似值为50,根据大量的测试数据，可以认为

这款新能源无人飞机的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(〃"2)(用样

本平均数讶口标准差s分别作为〃和。的近似值),现任取一架新能源无人飞机，求

它的单次最大续航里程XW[250,400]的概率;(参考数据:若随机变量X〜叫功,

则。@-三通，+(7户0.6827/〃-2三运+2。户0.9545/5-3三通/+3(7户0.9973)

【解析】⑵因为右＜300,502),

0.68270.9545

所以。(250*400)=。〃/—+2。)—一I一^—=0.8186.

(3)该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越4

型、卓越5型和卓越。型，统计分析可知卓越4型、卓越3型和卓越。型的分

布比例为3：2：1,研发中心在投放市场前决定分别按卓越/型、卓越5型和卓

越C型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综

合性能测试，记随机变量丫是综合性能测试的3架中卓越力型的架数，求随机变

量丫的分布列和数学期望.

【解析】(3)由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中，卓越4型、卓越5型和

卓越。型的架数分别为3架、2架和1架，随机变量丫的可能取值为0,1,2,3.

1

C；

del9

cl205

c；c1

39

C；209

p（y=3）=^：1

209

C6

17.（15分X2023•聊城模拟）已知甲箱、乙箱均有6件产品其中甲箱中有4件正

品,2件次品;乙箱中有3件正品,3件次品.

（1）现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从

乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；

【解析】⑴设力="从甲箱中抽取的两件产品均为正品”乃="从甲箱中抽取的两件

产品一件为正品,一件为次品"C="从甲箱中抽取的两件产品均为次品”。="从乙

箱中抽取的一件产品为次品”，由全概率公式彳导

q23C：1C1；4c2511

RQ）=P（mxP0⑷+PS）XP（05）+P（OXP0|C）FX号义门义心.

c乙ic乙行c乙i

^6%

（2）现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放

回,直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设X

表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位元），求X的分布列与数

学期望.

【解析】（2）X的所有可能取值为30,45,60,75.

A：1

2

则(；

Px=30)=^P(X=45)^^159

66

4

Ade2A3A

A4L2L4A34

A6A6

134

qcX8

尸

(X=75)=15,

所以X的分布列为

X30456075

1248

P

15151515

夙&=30x/+45x各60x^+75x与64(元).

18.（17分）（2024・焦作模拟）为了验证某种新能源汽车电池的安全性,小王在实验室

中进行了〃（论2）次试验，假设小王每次试验成功的概率为2（0＜夕＜1）,且每次试验

相互独立.

（1）若小王某天进行了4次试验，且p=|,求小王这一天试验成功次数X的分布列

以及期望；

1

【解析］⑴依题意历•以4号）,

则P©0）=针点，

pg1户c：（i）3（m，

尸（X=2）=C：（|）2（U

尸（右3尸C；（§）（§）3=^p

11

尸（X=4尸©%，

故X的分布列为：

14

故石⑶=4乂9^.

1

（2）若恰好成功2次后停止试验?耳，以y表示停止试验时试验的总次数，求Zn

i=2

P（y=z）（结果用含有n的式子表示）

【解析】（2）方法一:设4="停止试验时试验总次数不大于n”,

n

则zP（1M）=P（躇2）+/七3）+。（k4）+...+尸（7="）=。（力），

i=2

A^n次试验中,成功了0次或1次”，

11

%次试验中,成功了0次”的概率丹=（1寸）；

22

“〃次试验中，成功了1次”的概率尸2=或（1-；尸•号.

所以£P（*z）=l-尸

i=22

方法二:事件“冷〃”表示前n-1次试验只成功了1次，且第n次试验成功,

1n-1

故P（人"尸c/]

ft-X2n2n

7119Q771

所以z0g）,++1…+年,

i=2zzzz

n，Jc123n-2n-1

++

人」2s^+彳）+.•-nn+P

乙乙乙乙乙

两式相减得;S"=+!+[+[+...+[二^,

2222222

11

式l-Q）n-11n+1

1n+12czi+1'

1-22nz2

7n1H17Qn

贝un.即zp（y=z）4+44n-12-n-1

i=2zzz2n2n

【加练备选】

在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次

独立竞猜，甲同学猜对概率为0.6,乙同学猜对概率为0.4,假设猜对每道灯谜都是

等可能的,试求：

(1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率；

【解析】(1)设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P(4)=(2,尸(为］2,

任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：

P(AB)=P(J)P(B)=(l-|)x(l-|)嗅

⑵任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率;

【解析】（2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次,乙猜对1次的概率为：

尸=C狗62XC；O4XO6=0.1728.

⑶记20道猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X,求X的期望.

【解析】（3）甲猜对的次数为右5（2。3,期望为E（^）=20x|=12.

19.（17分）（2024・邯郸模拟）某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为,

在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精

神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精

神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的

40%,对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.

（1）完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2x2列联表，依据小概率值

a=0.01的独立性检验，能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有

关？

对员工管理对员工管理水

项目

水平满意平不满意

对员工敬业

精神满意

对员工敬业

精神不满意

合计

【解析】(1)由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2x2列联

表：

对员工管理对员工管理

项目合计

水平满意水平不满忌

对员工敬业

503080

精神满意

对员工敬业

4080120

精神不满意

合计90110200

零假设为〃o：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.

据表中数据计算得：

尸：宗察町16.498>6.635=Woi根据小概率值a=0.01的独立性检验,

我们推断Ho不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关.

(2)若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价,设对员工敬业

精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

【解析】(2)对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为:，随机变量X的

227

所有可能取值为0,1,2,3,其中P(X=0)=(|)3=||；

i1/3\227

尸(入=1)飞37(/看

小