2024年天津市中考数学二轮复习模拟题分类汇编：填空几何压轴题 （解析版）

二轮复习2024年中考数学重要考点

名校模拟题分类汇编专题03

——填空几何压轴题（天津专用）

1.（2023•天津河西•天津市新华中学校考三模）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，

点E在边CD上，DE=2,过点E作EFIIBC,分别交AC,于点G,F,M,N分别是4G,

8E的中点，则MN的长是.

【答案】V13.

【分析】先证四边形力FED和BFEC都是矩形，由AAFG是等腰直角三角形，M是4G的中点，

可得NFMC=90。.由"矩形的对角线相等且互相平分"可得FC=BE,且N是FC的中点.根

据勾股定理求出BE的长，即可求出MN的长.

【详解】

解：如图，连接FM、FC,

回四边形4BCD是正方形，

AB||DC/ABC=乙BCD=ACDA=4DAB=90°.

又；EF||BC,

•••^AFE=4ABC=90°,

•••乙BFE=90°,

团四边形AFED和BFEC都是矩形，

AF=DE=2.

/.FAG=45°,

・•.A4FG是等腰直角三角形.

回M是4G的中点，

•­•FMLAC,

：.£.FMC=90°.

回四边形BFEC是矩形，

•••FC=BE=VBC2+CE2=V62+42=2V13.

又团V是BE的中点，

回N是FC的中点，

MN=-FC=V13.

2

故答案为：VT3.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，以及"直角三角形斜边中线等

于斜边一半熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键.

2.（2024上•天津和平•九年级天津市第五十五中学校考期末）如图，在正方形ABCD中=4,

点、E,F分别为边BC,CD上动点，且BE+DF=4,连接BF,4E交于点G,连接OG,则线

段DG长度的最小值为.

【答案】2V2

【分析】先证明A4BEmABCF,进而得出N4GB=90。，贝UG在为直径的圆上运动，进

而即可求解.

【详解】解：在正方形4BCD中，AB=4,BE+DF=4,贝UCF+DF=CD=4B=4,

0CF=BE,

团四边形4BCC是正方形，

回N4BE=LADF=90°,AB=BC,

0AABE=△BCF,

^/.BAE=乙CBF.

回乙4BG+乙CBF=90°,

回乙4BG+乙BAE=90°,

SZ.AGB=90°,

回G在4B为直径的圆上运动，

如图所示，当点E与点C重合，点/与点。重合时DG最小，

A

D(F)

-----------^C(E)

根据勾股定理，得BD=y/AB2+AD2=V42+42=4A/2,

丽G=|BD=2伍

故答案为：2鱼.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角所对的弦是直径,

勾股定理，得出点G的轨迹是解题的关键.

3.(2023上•天津和平•九年级天津市第五十五中学校考阶段练习)如图，在Rt△ABC中，NC=

90。且2B=2,点尸为△力BC的内心，点。为AB边中点，将B。绕点8顺时针旋转90。得到线

段8D,连接DP,则DP长的最小值为.

【答案】V5-V2/-V2+V5

【分析】在4B的下方作等腰直角三角形4KB,使得44KB=90°,AK=BK.连接DK,PK,

过点K作KT1DB交DB的延长线于点T.根据三角形的内心为三角形角平分线的交点，求得

/-APB=180°-45°=135°,进而判断出点P的运动轨迹在以K为圆心，K4为半径的圆上运

动，求出DK,PK,结合DP2DK-PK,可得结论.

【详解】解：在4B的下方作等腰直角三角形4KB,使得乙4KB=90。，AK=BK.连接。K,

PK,过点K作KT1交DB的延长线于点T.

国点P是A4CB的内心,Z.C=90°,

团NPAB=-ACAB,^PBA=-^ABC,

22

0ZPXF+^PBA=|(NCAB+NCBA)=45°,

S^APB=180°-45°=135°,

回点P在以K为圆心，K4为半径的圆上运动，

SAB=2,AK=BK,^AKB=90°,

SAK=BK=KP=a,/.ABK=45°,

SA.ABT=90°,

团NKBT=45°,

SKT=BT=1,

回。4=OB=BD=1,

WT=2,

SDK=y/DT2+KT2=V5,

EDPNDK-PK=展一版,

MP的最小值为西-夜.

故答案为：V5—V2.

【点睛】本题考查三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

4.(2023上•天津和平・九年级天津市汇文中学校考阶段练习)如图，已知RfflACB,0AC2=

90°,a4BC=60°,AB=8,点。在CB所在直线上运动，以为边作等边三角形ADE,则

CB=_.在点。运动过程中，CE的最小值为

【答案】42V3

【分析】以AC为边作正0ApC,并作尸砸AC,垂足为点X,连接尸CE,由直角三角形

可求BC=4,AC=4V3,由"SAS"可证回R1OEHCAE,得CE=FD,CE最小即是尸。最小，

此时FD=CH=|XC=2V3,故CE的最小值是28.

【详解】解：以AC为边作正EAPC,并作FH0AC,垂足为点打，连接F£＞、CE,如图：

在H/EL4cg中，EACB=90°,0ABC=60°,

aaa4c=30°,

0BC=-AB=4,

2

^AC=>JAB2+BC2=4V3

EEIAFC,0AQE都是等边三角形，

^AD—AE,AF—AC,SDAE—BFAC—60°,

E0M£)+[?l£)AC=ECA£+0r)AC,IPEMD=ECA£,

在团刑。和13cAE中，

-AD=AE

/.FAD=/.CAE,

.AF=AC

^BFADBBCAE(SAS),

^CE=FD,

EICE最小即是fD最小，

国当即I3B。时，尸。最小，此时回打七=回£>€7/=m(7”/=90。,

回四边形FDC”是矩形，

SFD=CH=-AC=2A/3,

2

回CE的最小值是28.

故答案为：4,2V3.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，

含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形

的性质.

5.（2022上•天津南开•九年级天津育贤中学校考期末）如图，正方形ABCD中，点E是CD

边上一点，连接AE,过点B作BGSAE于点G,连接CG并延长交AD于点F,当AF的

最大值是2时，正方形ABCD的边长为.

【答案】8.

【分析】以AB为直径作圆。，贝帆AGB=90。，当CF与圆0相切时，AF最大，AF=2,由切线

长定理的AF=FG,BC=CG,过F作FHI3BC与H,则四边形ABHF为矩形，AB=FH,AF=BH=2,

设正方形的边长为x,在Rt团FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可.

【详解】以AB为直径作圆0,

0AB为直径，

0EAGB=9O5,

当CF与圆。相切时，AF最大，AF=2,

由切线长定理的AF=FG,BC=CG,

过F作FHI3BC与H,则四边形ABHF为矩形，AB=FH,AF=BH=2,

设正方形的边长为x,

则HC=x-2,FC=2+x,FH=x,

在Rt国FHC中，由勾股定理得，

X2+(X-2)2=(X+2)2,

整理得：x2-8x=0,

解得x=8,x=0(舍去),

故答案为：8.

【点睛】本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正

方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是

解题关键.

6.(2023上•天津滨海新•九年级天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中)如图，在△A8C中，

AC=2+2V3,Z.BAC=45°,乙4cB=30。，将△ABC绕点8按逆时针方向旋转，得到△

点E为线段4B中点，点P是线段4C上的动点，将△ABC绕点8按逆时针方向旋转

的过程中，点尸的对应点是点P「

(1)如图，线段力B=:

(2)则线段EP］的最小值为

【答案】2/2-V2

【分析】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形.作垂线构造直角三角形是解题关键.

(1)过点B作BD1AC,设AD=BD=x,可得CD=V3x,根据AC=AD+CD=2+2>/3

即可求解；

(2)当△ABC绕点B按逆时针方向旋转，使得点P的对应点已在线段力B上，且BP1AC时，

EPi的值最小，据此即可求解.

【详解】解：过点8作BD12C,如图所示：

0ZS4C=45°,

SZ.ABD=45°

SAD=BD

设4。=BD=x,

SZ.ACB=30°,

0BC=2BD=2x,CD=y/BC2-BD2=V3x

SAC=AD+CD=2+2A/3

Ex+V3x=2+2V3,

解得：x=2

E4£)=BD=x=2

AB=^AD2+BD2=2V2

当AABC绕点2按逆时针方向旋转，使得点P的对应点A在线段4B上，且BPLAC时，EP1的

值最小，如图所示：

此时：EP]=BP、-BE=BP-BE=BD-BE=2—BE

回点E为线段2B中点，

回BE=-AB=V2

2

SEP1=2—V2

故答案为：®2A/2；②2—企

7.(2023上•天津和平•九年级天津市双菱中学校考阶段练习)如图，已知AABC中，NC=90。,

AC=BC=2V2,将△ABC绕点4顺时针方向旋转60。到AaB'C'的位置，连接C'B,贝IJC'B的

长为—,

【答案】2百一2/-2+28

【分析】如图，作辅助线；证明AABC'3AB'BC',得至!UMBB'=NMB4=30°；求出BM、

的长，即可解决问题，

【详解】解：如图，连接BB',

由题意得：乙BAB'=60°,BA=B'A,

回△ABB'为等边三角形，

"BB'=60。，AB=B'B,

由旋转性质可知：AC=AC,BC=B'C,

IBBM垂直平分AB',

胤4c=BC,

财C'=B'C

在AABC'与△B'BC'中，

AC=B'C

AB=B'B,

.BC=BC

SAABC三△B'BC'（SSS）,

回/MBB'=/.MBA=30°,

EIBM1AB',且AM=B'M；

77

J（2V2）+（2V2）=4

胤48'=AB=4,

胤4M=2,

在Rt△AMB,由勾股定理得：BM=y]AB2-AM2=V42-22=28，

^C'M=-AB'=2,

2

SC'B=BM=CM=2V3-2,

故答案为：2百—2.

【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等

腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出8c在等边三角形的高上是解题的

关键.

8.（2023•天津河西・天津市新华中学校考二模）如图，已知EIA£Z>=0ACB=9O。，AC=BC=3,

AE=DE=1,点。在AB上，连接CE,点M,点N分别为BD,CE的中点，则MN的长为.

【答案】詈

【分析】连接。N并延长ON交AC于尸，连接BR根据。£HAC,可证taEDAHSCFN,可得

DE=CF,求出DN=FN,FC=ED,得出A/N是中位线，再证13cAEH3BCF,得出BF=CE,

即可解题.

【详解】解：连接DN并延长DN交AC于P,连接如图,

H3AEQ=0ACB=9O°,AC=BC=3,AE=DE=1,

•••Z.EAD=/.EDA=Z.BAC=45°,

•••DE||AC,

•••乙DEN=NFCN,

回点N为CE的中点，

・•・EN=NC,

在△DEN和△"?可中，

乙DNE=乙FNC

{EN=NC

(DEN=乙FCN

・•.△DEN=△FCN(ASA),

・•・DE=FC,DN=NF,

AE=FC,

回点M为的中点，

・•・MN是△BDF的中位线，

・•・MN=-BF,

2

•・•^EAD=ABAC=45°,

・••Z.EAC=乙FCB=90°,

在^CZE和△BCF中，

AC=BC

{/LEAC=乙FCB

AE=FC

・•.△CAE=△8CF(S4S),

・•・BF=CE,

...MN=-CE=-y/AE2+AC2=-Vl2+32=

2222

【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平

行线性质和判定的应用，勾股定理.

9.(2022•天津•天津市双菱中学校考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F,

E以相同的速度分别从点D,C同时出发向点C,B运动(任何一个点到达终点时，两点都停

止运动)连接ZE,BF,AE与BF交于点、P,过点P分别作PMIICD交BC于点M,PNIIBC交CD于

点N,连接MN,在运动过程中，

(1)4E和BF的数量关系为

(2)MN长度的最小值为.

【答案】AE=BFV5-1

【分析】（1）利用正方形性质，根据SAS可证明AABE三ABCF,即可得出结论；（2）首先

证明四边形PNCM为矩形，得到PC=MN,利用（1）中证明的△ABE三△尸推出4E_L8F,

得出点P是以4B为直径的圆弧上运动，当G、P、C三点共线时，PC为最短，利用勾股定理

求出GC的长，进而求出PC的长，即可得出MN长度的最小值.

【详解】解：（1）•••四边形4BCD为正方形，

•••BC=CD,AABE=乙BCF=90°,

・••动点F,E以相同的速度分别从点。，C同时出发向点C,B运动，

•••DF=CE,

•••BE=CF,

在△48£1和4BCF中，

AB=BC

/.ABF=乙BCF,

BE=CF

•••△ABE=ABCF（SAS）,

AE=BF；

（2）如图，连接PC,取力B中点G,

vPMWCD,PNWBC,

二四边形PNCM为平行四边形，

ZC=90°,

二四边形PNCM为矩形，

PC=MN,

由（1）可知AABE三△8CF,

•••Z.BFC=Z-AEB,

•••乙BFC+乙FBC=90°,

・•・^AEB+乙FBC=90°,

^LBPE=90°,即

.••点P是以为直径的圆弧上运动，

・•・AB的中点G为圆心，连接GP为半径,

1

•••AG=BG=GP=-AB=1

当G、P、C三点共线时，PC为最短，

在RtACBG中，

CG=yjBG2+BC2=Vl2+22=V5,

PC=CG-PG=V5-1,

MN=PC=1,

故答案为：AE=BF；V5-1.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，圆周角

所对的弦为直径，勾股定理，正确作出辅助线，确定当G、P、C三点共线时，PC为最短是

解答本题的关键.

10.（2023•天津河西•天津市新华中学校考一模）如图，正方形2BCD的边长为4,E是边CD上

一点，DE=3CE,连接BE,与AC相交于点M,过点M作MN1BE,交力。于点N,连接BN,

则点E到BN的距离为.

【分析】过M作MH1BC于H,交2。于K,连接NE,根据正方形的性质得28=AD=BC=

CD=4,4BCD=90。，乙4cB=45°=Z.DAC,再判断△CM"是等腰直角三角形得MH=CH,

设==贝!]B"=4久，由勾股定理求出=再根据AAS证XBHM公

MKN得MN=BM=之内,设点E到BN的距离为八，根据2S&BEN=8N•h=8E•MN求出

答案.

【详解】解：过M作MH1BC于H,交4D于K,连接NE,

••・四边形48CD是正方形,

AB=AD=BC=CD=4,乙BCD=90°,乙ACB=45°="ZC,

•・•DE=3CE,

・•・CE=1,

在由△BCE中，

tanzE^C=-=BE=^BC2+CE2=V17,

BC4

・•・—=tanzE^C=-

BH49

・•・BH=4NH,

•・.AACB=45°,

・•.△CM”是等腰直角三角形，

MH=CH,

设M”=CH=x,贝=4%,

•••BH+CH=BC=4,

4

・•・4%+%=4,x=

164

BH=Y，CH=MH=三=DK,

・•・BM=y/BH2+MH2=iV17,

•••Z-DAC=45°,

/.MK=MA=BH,

•・•MN工BE,

・，・乙BMH=90°-乙NMK=乙MNK,

•・•乙BHM=乙MKN=90°,

BHM=△MKN(AAS),

MN=BM=1V17,NK=MH=g

12

・•.AN=AD-NK-DK=y,

BN=7AB2+AN2=1V34,

设点E到BN的距离为h,

v2S〉BEN=BN,h=BE,MN,

7BE-MNVi7xi^^

h,=-------=-----1—=—,

BN8g2

5

故答案为：与.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直

角三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识点，解题关键是正确作出辅助线

求出相关的线段长.

11.（2023下•天津南开•九年级南开翔宇学校校考阶段练习）如图，四边形4BCD为正方形,

点E为对角线力C上一点，连接。£,过点E作EF1DE,交BC于点R以DE,EF为邻边作

矩形DEFG,连接CG.若4B=1,则CE+CG的值为.

【答案】V2

【分析】过点E作MN1BC于点作ENLCD于N,利用正方形的性质，角平分线的性

质以及全等三角形的判定可证AEMF三△5可。得出石尸=£"。，再证明A4DE=ACDG,得出

AE=CG,则可证CE+CG=4C,最后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：过点E作MN1BC于点作EN1CD于N,

国四边形ABCD为正方形，AB=1,

^AD=CD,4C平分/BCD,/.BCD=^ADC=90°,AC=V2,

=EN,四边形EMCN是矩形，

S^MEN=90。，

又EF1DE,

BZ.MEN=乙FED=90°,

团NMEF=乙NED,

又上EMF=乙END=90°,EM=EN,

[?]△EMFEND,

团EF=ED,

团矩形DEFG是正方形，

又四边形ZBC。为正方形，

^ADC=乙EDG=90°,DE=DG,

^\Z-ADE=Z.CDG,

0AADE=△CDG,

胤4E=CGf

0CE+CG=CE+AE=AC=V2.

故答案为：V2.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，添

加合适的辅助线，证明矩形DEFG是正方形是解题的关键.

12.（2023下•天津和平•九年级天津一中校考阶段练习）如图.在矩形4BCD中，4B=3,

BC=3百.点尸在线段BC上运动（含B、C两点），连接4P,以点A为中心，将线段4P逆

时针旋转60。到4Q,连接DQ,则线段DQ的最小值为.

【答案】|

【分析】以4B为边向右作等边三角形△4BF,作射线尸Q交4。于点E,过点£＞作DH1QE于

H,连接PQ,根据矩形的性质得N4BP=NB4D=90。，根据AABF,Zk/IPQ都是等边三角

形得NB4F=Z.PAQ=60°,BA=FA,PA=Q2,可得N84P=NF4Q,用SAS可证明△BAP=

△FAQ,得N4BP=/.AFQ=90°,根据NF4E=30°得乙4£尸=60°,根据AB=AF=3,

^FAE=30°,在RtA4FE中，设FE=x,贝（ME=2x,根据勾股定理得，x2+32=（2x）2,

进行计算得FE=用，AE=2V3,即可得点。在射线FE上运动，根据4D=BC=3百得DE=

V3,根据DH1EF,乙DEH=^AEF=60°,得DH=|,根据垂线段最短，即可得当点Q与

点H重合时，DQ的值最小，最小值为|.

【详解】解：如图所示，以4B为边向右作等边三角形△力BF,作射线FQ交4。于点E,过点

D作DH1QE于H,连接PQ,

回四边形4BCD是矩形，

团44BP=乙BAD=90°,

团△4BF,都是等边三角形，

^BAF=Z-PAQ=60°,BA=FA,PA=QA,

^BAP=Z-FAQ,

在△BZP和△F/Q中，

BA=FA

Z-BAP=Z.FAQ

PA=QA

[?]△BAP=△FAQ(SAS),

^ABP=/.AFQ=90°,

^FAE=4BAD-tBAF=90°-60°=30°,

^AEF=180°-Z.AFQ-Z.FAE=180°-90°-30°=60°,

^\AB=AF=3,/-FAE=30°,

团在噌中，设FE=%,贝ij4E=2x,根据勾股定理得，

x2+32=(2x)2,

3x2=9,

x2=3,

xi=V3,x2=-V3(舍)，

0FE=V3,AE=2V3,

团点。在射线FE上运动，

^\AD=BC=3A/3,

团DE=AD-AE=3W-2W=W，

回D”1EF,乙DEH=AAEF=60°,

回OH=yjDE2-EH2=J(V3)2-(y)2=|,

团垂线段最短，

团当点Q与点H重合时，OQ的值最小，最小值为|,

故答案为：|.

【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，

勾股定理，解题的关键是构造全等三角形，添加辅助线，本题是中考选择题中的压轴题.

13.(2024上•天津和平•九年级天津二十中校考期末)如图，等边三角形ABC的边长为4,OC

的半径为百，尸为A3边上一动点，过点尸作。C的切线尸。，切点为。，则尸。的最小值

为.

【答案】3

【分析】连接0C和PC,利用切线的性质得到C3P。，可得当CP最小时，P。最小，此

时CPEL4B,再求出CP,利用勾股定理求出P。即可.

【详解】解：连接QC和尸C,

EIP。和圆C相切，

回CQaPQ,即囱CP。始终为直角三角形，CQ为定值，

团当CP最小时，P。最小，

回0ABe是等边三角形，

团当CPEAB时，CP最小，此时CPEL4B,

0AB=BC=AC=4,

EAP=BP=2,

ECP=VXC2-XP2=2V3,

国圆C的半径CQ=W，

回尸0力CP2_CQ2=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意

掌握辅助线的作法，注意得到当尸CM4B时，线段PQ最短是关键.

14.（2023下•天津滨海新•九年级天津经济技术开发区第一中学校考开学考试）如图，已知

菱形4BCD的边长为4,4DAB=60°,E为AB的中点，/为CE的中点，力?与DE相交于点G,

【分析】过点尸作尸”IICD,交DE于H,过点C作CM14B,交AB的延长线于M,连接FB,

先证明FH是△CDE的中位线，得FH=2,再证明AAEG三△FHG,得4G=FG,在RtACBM

中计算和CM的长，再证明是中位线，可得BF的长，由勾股定理可得4F的长，从而得

结论.

【详解】如图，过点尸作FHIIC。，交DE于H,过点C作交28的延长线于M,

连接F8,

回四边形4BCD是菱形，

回4B=CD=BC=4,AB||CD,

EFW||AB,

回NFHG=/.AEG,

EFH||CD,

「DHCF

团--=—，

EHEF

SF是CE的中点，

回H是DE的中点，

困4/是ZkCDE的中位线，

SFH=-CD=2,

2

回片是43的中点，

团4E=BE=2,

囿4E=FH,

^AGE=乙FGH,

^AEG三△FHG(AAS),

团/G=FG,

胤40IIBC,

团乙CBM=乙DAB=60°,

RtZkCBM中，Z.BCM=30°,

0BM=-BC=2,CM=V42-22=2亚

2

05F=BM,

团F是CE的中点，

CEM的中位线，

0BF=|CM=V3,FB||CM,

^Z-EBF=Z,M=90°,

Rt△4FB中，由勾股定理得：AF=>JAB2+BF2=J42+(V3)2=V19,

0GF=-AF=—.

22

故答案为：尊

【点睛】此题考查的是菱形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定

理，平行线分线段成比例定理，掌握其性质定理是解决此题的关键.

15.(2022上•天津和平•九年级天津二十中校考期末)在矩形A2C。中，SB的平分线3E与

AO交于点E,国BED的平分线EF与OC交于点孔若AB=9,DF=2FC,则BC=.(结

果保留根号)

【答案】6V2+3

【分析】先延长即和2C,交于点G,再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，

并求得其斜边BE的长,然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形,最后根据aemaaGbc

得出CG与DE的倍数关系,并根据BG=BC+CG进行计算即可.

【详解】延长E尸和BC,交于点G.

团矩形A2CD中，回8的角平分线BE与交于点E,

EHABE=EIAEB=45°,

EAB=AE=9,

团直角三角形ABE中，BEZ92+92=9近,

又EBBED的角平分线EF与DC交于点F,

^BEG^DEF.

fflADEIBC,

EEIG=E£)EF,

00B£G=0G,

0BG=BE=9V2.

由EIG=I3Z)EF,^EFD=^GFC,可得ElEPOEHGbC,

回”=空==工

DEDF2CF2

设CG=x,DE=2x,则A£)=9+2x=BC.

SBG^BC+CG,

回9a=9+2x+x,解得m3夜-3,

回BC=9+2(3V2-3)=6V2+3.

故答案为6V2+3.

16.（2023下•天津河东•九年级天津市第五十四中学校考阶段练习）如图，在正方形4BCD中，

AD=10,点E在BC边上（不与端点重合），BF12E于点尸，连接DF,当AADF是等腰三角

形时，EC的长等于.

【答案】5

【分析】根据正方形的性质以及直角三角形的性质可得当A上。F时，点E与点

C重合，从而得当AADF是等腰三角形时，只有AO=。凡过点。作。M0AE,则AM=FN,

可得△AMD三AB凡4,结合勾股定理，即可求解.

【详解】解：国在正方形2BCD中，

SAB=BC=CD=AD=10,

0FF1AE,

^AB>AF,

SAD>AF,

当A/=。月时，

0BF1AE,

团点厂在AC与2。的交点上，即点E与点C重合，不符合题意，

国当△力DF是等腰三角形时，只有AZXDR

过点。作。MEL4E,则AM=FM,

SS\DAM+^\BAF=90°,0BAF+0ABF=9O°,

EHD4M=EL4BF,

又0A£）=A2,^\AMD=SAFB=90°,

0AAMD三4BFA,

^\AM=BF,

SAF^IBF,

^AF2+BF2^AB2,

E4BF2+BF2=102,解得：BF=2V5（负值舍去），

设EF=x,贝!|/+（2西产+1。2=（4西+力2,解得：x=y/5,

0BE=J（2A/5）2+（V5）2=5,

回CE=10-5=5.

故答案是：5.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.

17.（2023•天津河东•天津市第七中学校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形2BCD中，

AABC=120°,将A4DC沿射线4C的方向平移得到A4DC,分别连接4B,D'B,则AB+

D'B的最小值为.

【答案】4V3

【分析】根据菱形的性质得到AB=C。=4,Z.ABC=120°,得出NB4C=30。，根据平移

的性质得到4。'=4。=4,A'D'WAD,推出四边形48C。是平行四边形，得到4B=»C,

于是得到4B+的最小值为+C。'的最小值，根据平移的性质得到点。在过点。且

平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E,连接BE交定直线于D,则BE的长

度即为4B+0'8的最小值，求得CE=CB,得到NE=4BCE=30°,于是得到结论.

【详解】解：在边长为4的菱形ABC。中，^ABC=120°,

固48=CO=4,乙ACB=/.DAC=30°,

将△4DC沿射线4C的方向平移得到△4DC,

回4'。'=力。=4,A'D'WAD,

回四边形4BCD是菱形，

HAD=CB,ADWCB,

回乙4DC=120°,

固4'。'=CB,A'D'WCB,

回四边形48C4是平行四边形，

^A'B=D'C,

^A'B+的最小值=BD'+CD'的最小值，

回点D'在过点。且平行于2C的定直线上，

回作点C关于定直线的对称点E,连接BE交定直线于£>’,

则BE的长度即为2D+84的最小值，

在RtACHD中，/.D'DC=^ACD=30°,AD=4,

团CH=EH=-AD=2,

2

团CE=4,

团CE=CB,

^ECB=Z.ECA'+乙ACB=90°+30°=120°,

团NE=乙BCE=30°,

0BE=2XyCD=4V3.

故答案为：4V3.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，菱形的性质，含30。的直角三角形的性质，平

移的性质，正确地理解题意是解题的关键.

18.（2020上•天津・九年级天津二十五中校考阶段练习）如图，等腰RtAABC中，NB4C=90°,

若4P=2,BP=2V6,CP=4V2,贝腼ABC的面积=

A

【分析】将回ABP绕点A逆时针旋转90。至回ACQ的位置，连接PQ,如图1,根据旋转的性质

可得回APQ是等腰直角三角形，根据勾股定理可求出PQ的长，然后利用勾股定理的逆定理

可判断回PCQ是直角三角形，进而可得回AQC=135。，过点A作AFECQ交CQ的延长线于点F,

如图2,易得回AFQ是等腰直角三角形，于是可得AF与FC的长，在Rt团FAC中可利用勾股定

理求出AC2,进一步根据团42C的面积即可求出答案.

【详解】解：将EIABP绕点A逆时针旋转90。至EIACQ的位置，连接PQ,如图1,

则AQ=AP=2,EPAQ=90°,QC=BP=2伤，

EIPQ=y/AP2+AQ2=2V2,I3AQP=EIAPQ=45°,

2222

&PQ2+CQ2=(2V2)+(2V6)=32,PC=(4V2)=32,

回PQ2+CQ2=pc2,

fflPQC=90°,

a3AQC=90°+45°=135°,

过点A作AFECQ交CQ的延长线于点F,如图2,贝胞AQF=180°—C35°=45°,

0XF=FQ=?4Q=V2,

SFC=FQ+QC=y/2+2V6,

SAC2=AF2+FC2=(V2)2+(V2+2V6)2=28+8V3,

13a4BC的面积gAC?=(x(28+8V3)=14+4V3.

故答案为：14+4V3.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理等知

识，具有相当的难度，正确作出辅助线、灵活应用整体的思想方法是解题的关键.

19.（2021上•天津河北•九年级天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）如图，P是等

边三角形48c内一点，将线段2P绕点4顺时针旋转60。得到线段4Q,连接BQ.若P2=6,PB=

8,PC=10,则四边形4PBQ的面积为一.

【答案】24+9V3.

【详解】解：如图，连结PQ,

根据等边三角形的性质得EIBAC=60。，AB=AC,

再根据旋转的性质得AP=PQ=6,EPAQ=60°,

即可判定回APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6；

在EIAPC和EIABQ中，AB=AC,0CAP=0BAQ,AP=PQ,

利用SAS判定EIAPCEIEIABQ,

根据全等三角形的性质可得PC=QB=10；

在回BPQ中，已知PB2=82=64,PCV=62,BQ2=102,BPPB2+PQ2=BQ2,

所以EIPBQ为直角三角形，0BPQ=9O",

]V3

所以S四边形APBQ=SABPQ+S2\APQ=7；X6X8T+X62=24+9V^.

Z4

故答案为：24+9V3.

c

【点睛】本题考查旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质.

20.（2021上•天津河东•九年级天津市第七中学校考期中）如图，在四边形ABC。中，

4,CD=3,0ABe=0ACB=a4£）C=45。，则2。的长为.

【答案】V41

【详解】作AD'=AD,连接CO,E»D,如图:

^S\BAC+^CAD=^DAD'+SCAD,

BP0BA£>=0CAD/,

在△BAD与△CA。中，

'BA=CA

/.BAD=/.CAD',

.AD=AD'

SABADSACAD'(SAS),

SBD=CD',

00X0=90°,

由勾股定理得DD'^AD2+(XZ),)2=V32=4V2,

WDA+SADC^0Q

由勾股定理得CD'=jDC2+(DD'Y=y]S+32=V41

SBD=CD'=V41,

故答案为：V41.

21.（2021上•天津•九年级天津一中校考期中）如图，在RSABC中，^ACB=90°,将A4BC绕

顶点C逆时针旋转得到鼠1'B'C,M是BC的中点，P是4次的中点，连接PM,若BC=2,NB4C=

30°,则线段PM的最大值是

【答案】3

【分析】连接PC.首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC=2,然后再依据三角形

的三边关系可得到PM4PC+CM,故此可得到PM的最大值为PC+CM.

【详解】解：如图连接PC.

•••N4=30°,BC=2,

・•・AB=4,

根据旋转不变性可知，A'B'=AB=4,

A'P=PB',

PC=-A'B'=2,

2

CM==1,

又•：PM《PC+CM,即PM43,

・•・PM的最大值为3（此时P、C、M共线）.

故答案为：3.

【点睛】考查旋转的性质，含30。角的直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边的中线等于

斜边的一半是解题的关键.

22.（2022上•天津•九年级天津市汇文中学校考期中）在以△ABC中，^ACB=90°,Z.BAC=

30°,BC=6.

（1）如图①，将线段C4绕点C顺时针旋转30。,所得到与2B交于点M,则MC的长=；

（2）如图②，点。是边4C上一点。且4D=2b，将线段4D绕点A旋转，得线段4。'，点

厂始终为的中点，则将线段4。绕点A逆时针旋转度时，线段CF的长最大，最

大值为.

图①图②

【答案】61506+V3

【分析】(1)根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解；

(2)取4B中点E连接EF、EC,所以EF为中位线，求出EF,再利用CE+EF2CF求CF的

最大值及此时的旋转角.

【详解】解：(1)如图1所示：

在RtAABC中，Z.ACB=90°,/.BAC=30°,BC=6,

•­•/.ABC=90°-30°=60°,

•••将线段C4绕点C顺时针旋转30。，

^\Z-BAC=Z-ACM

・•.A4MC为等腰三角形，

・•.AM=MC,

・•・乙MCB=90°-匕ACM=60°,

=60°

・•.AMBC为等边三角形，

MC=MB=MA=BC=6,

故答案为：6；

图1

(2)在RtAABC中，乙4cB=90°,Z.BAC=30°,5C=6,

•••AB=12,

取4B中点E连接EF、EC,如图2,

EF为中位线，

又2D=2V3,

•••EF=-AD'=-AD=V3,

22

•••CE+EF>CF,

.•.当CE、EF共线时，CF最大，CF最大值=EC+EF=6+百，

此时，CFWAD',

Z.D'AC=180°-30°=150°,

即当将线段4D绕点A逆时针旋转150。时，线段CF的长最大，最大值为6+8；

故答案为：150；6+V3.

图2

【点睛】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形、等边三角形以及直角

三角形的性质是解答此题的关键.

23.（2022上•天津•九年级天津市第五十五中学校考期中）如图，在RZ0ABC中，0ACB=9O°,

AC=4,8C=3,点。是AC的中点，将CO绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点。的

对应点为点£,连接BE,则0AE2面积的最小值是

【答案】1

【分析】作CH1AB于H,如图，先利用勾股定理计算出4B=5,再利用面积法计算出=蓑,

再根据旋转的性质得CE=2,然后利用E点在线段HC上时，点E到4B的距离最小，从而可

计算出A4EB的面积的最小值.

【详解】解：作力B于"，如图，

•・•乙ACB=90°,AC=4,BC=3,

・•・AB=V32+42=5,

•••-CH-AB=-AC-BC,

22

o6X812

・•・CH=——=—,

105

•・•点。是/c的中点，

CD=2,

•・•将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点。的对应点为点E,

CE=2,即点E在以。为圆心，2为半径的圆上，

•・•点E在线段HC上时，点E到4B的距离最小，

・•.A4EB的面积的最大值为］X（音一2）X5=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理.

24.（2022上•天津滨海新・九年级塘沽二中校考期中）已知正方形2BCD的边长为6,。是BC

边的中点.

(0)如图①，连接4。，则4。的长为.

(回)如图②，点E是正方形内一动点，0E=2,连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。

得DF.则线段OF长的最小值为.

【答案】3V5；3V10-2；

【分析】5)根据勾股定理可求力。的长；

(E)连接DO,将MOE绕点D逆时针旋转90。得EIDGF,过点G作DC的垂线，垂足为M,

过点0作BC的垂线，交直线GM于点N,连接OG,求出OG长，再根据三角形三边关系可

求OF最小值.

【详解】(团)回正方形48的边长为6,。是BC边的中点，

0OB=OC=3,

AO=VX52+BO2=3V5,

故答案为：36；

(E)连接DO,将EIDOE绕点D逆时针旋转90。得EIDGF,过点G作DC的垂线，垂足为M,

过点。作BC的垂线，交直线GM于点N,连接0G,

由旋转可知，GF=0E=2,DO=DG,0OEG=9O",

00GDM+0ODC=9O°,

E0DOC+0ODC=9O°,

H0DOC=EIGDM,

EEC=EIGMD,

E0DOCE0GDM,

EDM=OC=3,GM=DC=6,

由辅助线作法可知，四边形CMNO是矩形,

团CM=OC=3,

团矩形CMNO是正方形，

ON=MN=3,

OG=y/ON2+GN2=3V10,

0OF>OG-GF,

HOF的最小值为OG-GF=3V10-2；

故答案为：3VTU-2.

【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质和最小值问题，解题

关键是构造手拉手全等模型，转化确定线段的取值范围.

25.（2022上•天津武清•九年级天津英华国际学校校考阶段练习）如图，点P是等边三角形

ABC内一点，且P4=46,PB=V2,PC=2vL则这个等边三角形ABC的边长为.

【答案】V14

【分析】将三角形8CP绕点8逆时针旋转60。得三角形2ZM,过2作B/ffl直线AP于先

证明三角形3。尸为等边三角形，利用勾股定理逆定理得能圮4=90。，进而得aBPH=30。，利用

勾股定理解直角三角形即可得答案.

【详解】解：将三角形尸绕点8逆时针旋转60。，得三角形BD4,8c边落在AB上，过

8作直线AP于H,如图所示，

由旋转知，ABO尸为等边三角形，AD=PC=2<2,

0BP=PD=BD=&.,回BPD=60°,

SPD2+PA2=AD2,

函4尸。=90°,

00BPH=3O°,

则6BP=PH=J(V2f-(f)2=f,

由勾股定理得：AB=j(V6+y)2+(y)2=V14,

故答案为：V14.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，

解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中.

26.(2022上•天津•九年级天津市第五十五中学校考期末)如图，在正方形4BCD中，E、F

分别是边BC、CD上的点，Z.EAF=45°,正方形4BCD的边长为3,BE=1,贝UDF的长

为.

【分析】将AABE绕点A逆时针旋转90。，4B边和4。边重合，证明△?!£1?三A