四川省2025届高三年级上册一模考试数学试题（含答案）

四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知i为虚数单位，则（l+i）2+2（l—i）的值为（）

A.4B.2C.0D.4t

2.已知集合4={x\-l<x<2],B-（x\-a<x<a+1],贝！I"a=1"是"4aB"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.若双曲线E：>0乃>0）的一条渐近线的斜率为后则E的离心率为（）

A.2#B.2C.邪D.也

4.如图，在-ABC中，点、D,E分别在AB,4C边上，且丽=瓦<,AE=3EC,点尸为DE中点，则所:=（）

A,-^BA+^BCB.^BA+^BCC.^BA+^BCD.^BA+^BC

5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg）,将全部数据按区

间[50,60）,[60,70）,…，[90,100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：

根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）

A.图中a的值为0.005

B.这200天中有140天的日销售量不低于80kg

C.这200天销售量的中位数的估计值为85kg

D.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的

需求），则每天的苹果进货量应为91kg

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7.已知正四棱锥P-/BCD的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为36心若正四棱锥P-ZBCD的高与底

面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（）

A.16B.8C.4D.2

8.已知Q,瓦cE（0,4）,且满足理J"1=cos?.be2b=1,ln（c+1）=cosc,贝!J（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/'（久）=sinwx+避cos3x（3>0）的最小正周期为兀，则（）

A"（x）的最大值为2

B./⑺在（Y*）上单调递增

CJ（x）的图象关于点（-J,0）中心对称

TT

D"（久）的图象可由y=2cos2%的图象向右平移适个单位得到

10.已知椭圆E:3+q=l的左顶点为4左、右焦点分别为FI，F2,过点6的直线与椭圆相交于PQ两点，

则（）

A.|尸/2|=1

B.\PQ\<4

C.当F2,P,Q不共线时，-F2PQ的周长为8

D.设点P到直线x=-4的距离为d,则d=2|PFi|

11.已知函数/（幻=（%—1）0，—%，则下列说法正确的是（）

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A./(x)的极小值一定小于一1

B,函数y=/(/(久))有6个互不相同的零点

C.若对于任意的xeR,f(x)>ax-l,贝M的值为—1

D.过点(0,-2)有且仅有1条直线与曲线y=f(x)相切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.己知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(l,2),则cos2a=.

13.已知数列｛an｝满足=5,a2n=2册+1,2an+1=an+an+2(nGN*),设｛an｝的前几项和为Sn,则Sn

14.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到

日常生产生活中,定义：设X,y是离散型随机变量，则X在给定事件y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=

Wi=lx「P(X-Xi\Y-y)=W.1片［，y),其中｛久1占2,…，比n｝为X的所有可能取值集合，P

(X=y)表示事件“X=x”与事件“丫=y”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消

费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为p(0<p<1),某人在该商场消费了1000元，共获得4

次抽奖机会.设f表示第一次抽中奖品时的抽取次数，4表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则=4)

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知入ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且s讥=sin^B+sin2C+sinFsinC.

(1)求角A

(2)若NBAC的平分线交边BC于点。，且4。=4,b=5,求"BC的面积.

16.(本小题12分)

如图，在三棱锥P—ABC中，PA_L平面ABC,AC1BC.

P

■

AB

(1)求证；平面P4C1平面PBC；

(2)若4C=5,BC=12,三棱锥P—48c的体积为100,求二面角A—PB—C的余弦值.

17.(本小题12分)

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已知函数/(%)=x\nx-ax2+1.

(1)若/(%)在(0,+8)上单调递减，求Q的取值范围；

(2)若a<0,证明：/(%)>0.

18.(本小题12分)

甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为|,乙每次投篮命中的概

率为去各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球

记1分，未投进记-1分.

(1)求甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率；

(2)记甲、乙每轮投篮得分之和为X.

①求X的分布列和数学期望；

②若X>0,则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续几何28)轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为y,

当也为何值时，P(Y=8)的值最大？

19.(本小题12分)

已知抛物线c：y2=2p久(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C相交于点4B,"。8面积的最小值为玄。为

坐标原点).按照如下方式依次构造点%O€N*)：Fi的坐标为(p,0),直线BFn与C的另一个交点分别

为An，Bn,直线4n岛与X轴的交点为%+1，设点Fn的横坐标为Xn.

(1)求P的值；

(2)求数列｛xn｝的通项公式；

(3)数列｛久n｝中，是否存在连续三项(按原顺序)构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存

在，请说明理由.

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参考答案

1.5

2.2

3.5

4.C

5.D

6.D

7.C

8.4

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.-|

13.n2

14.2

15.【小问1详解】

因为s讥24=sin2B+sin2C+sinBsinC,

所以小=b2+C2+bc,则按+c2—a2=2bccosA=—be,

一1

所以cosA=--

因为力e（o,7r）,所以4=詈;

【小问2详解】

木艮据题意及余弦定理有+AC2-2AD•ADcos^DAC=CD2=21,

222

所以cosC=CD+AC-AD_A/21

2CD-AC

则sinC==sin（7r—/—C）=sirL4cosc+cos/sinC=立,

714

根据正弦定理有益=益今力B=2。,

所以S"BC=5B-ACsinA=25©

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16.【小问1详解】

证明：由题意得PA_1,平面ABC,因为BCu平面ABC,所以尸A_LBC,

又因为AC1BC,PA,ACu平面PAC,所以BC1平面PAC,

又因为BCu平面PCB,所以平面P/C1平面PBC.

【小问2详解】

因为AC=5,BC=12,AC1BC,所以S“BC=/12X5=30,

又因为三棱锥P-4BC的体积为100,gpi00=|xP/lX30,得P4=10,

由题意可得以4为原点，分别以平行于BC,及AC,4P所在直线为久,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则4(0,0,0),B(12,5,0)C(0,5,0),P(0,0,10),

所以Q=(0,0,10),CB=(12,0,0),PB=(12,5,-10),

设平面4P8的一个法向量为7=(x,y,z),

则b-Q=]Oz=0，令％=一5，得V=12,z=0,则n=(-5,12,0),

设平面PBC的一个法向量为为=(a,瓦c),

m,tfm-PB=12a+5b—10c=0人,„„.L

则｛—1nn，qb=2,侍ZQa—0,c1,则1mm=(0,2,1),

\m-CB-12a=0

设二面角A-PB-C为氏则cos。=卜05(元帚|=落居=专”菅=卓展.

所以锐二面角4—PB—C的余弦值为型I

17.【小问1详解】

由/(%)=x\nx—ax2+1,则/'(%)=Inx+l—2ax,

因为/(%)在(0,+8)上单调递减，所以/'(%)=Inx+l-2ax<。在(0,+8)上恒成立,

所以In%+1-2a%<0,即a>ln^+1,

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构造函数g。)=等了。>0)，所以g'(W=〜2支：。}+1)=嚷二

乙X4欠24-X

当久6(0,1)时，g'[x}>0；当％E(1,+8)时,g\x)<0,

所以9(%)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减，

所以当久=1时/⑴取得极大值也是最大值，即g(x)max=g⑴号，所以a号，

所以a的取值范围为住,+8).

【小问2详解】

由题意得/(%)=xlnx-ax2+1的定义域为(0,+8),

当aVO时，要证/(%)>0,即证：x\nx-ax2+1>0,等价于证明In%—a%+：>0

构造函数九(%)=\nx-ax>0),即证九(%)min>0；

所以//(%)=,一口_*=_a%?；"I'令『(%)=-a/+%—1(%>0),

因为函数7(%)的对称轴为％=^<0,所以7(%)在(0,+8)上单调递增，

且7(0)=-1<0,T(l)=-a>0,所以存在v()e(O,l),使7(%。)=—+配一1二。，

所以当无€(0,配)时，T(x)<0,即1(%)VO,

当xe(xo,+8)时，T(x)>0,即〃(%)>0,

所以八(久)在(0,配)上单调递减，在(孙,+oo)上单调递增，

x

所以当久=沏时，h(x)有极小值也是最小值h(x)min=Ko)-In%)-ax()++(0<x0<1)>

2

又因为一。丸+%0-1=0,得一。就=1一％°,所以九®))=In%。+丁一1(0V久。<1),

■X0

令p(X)=Inx+|-1(0<x<1),则p，(x)=H=三”<。在％G(0,1)上恒成立，

所以p(x)在(0,1)上单调递减，所以p(x)>p(l)=0,即hQo)>O,

所以即证h(x)min>0,所以可证f(%)>0.

18.【小问1详解】

甲在一轮投篮结束后的得分不大于0,即甲在一轮投篮中至多命中一次，

所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率为P=1-(|)2=1.

【小问2详解】

①由题知X可能取值为—4,—2,0,2,4,

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P(X^-4)=|x|x|x|=^p(x=-2)="寺XC必2+dx*“(芥='

=0=+2

p(x)IXIXIXIC2|XIC2(|)+IXIXIXI=B

P(X=2)=|x|xckj)2+cix|x|x(|)2=lP(X=4)=(|)2(|)2=|,

所以X的分布列为

X-4-2024

111311

P

3663639

数学期望E(X)=(-4)x表+(_2)X叱0XIf+2烤+4X台|.

②由①知p（x>o）=1+H/由题知丫〜8（崎，所以p（y=£）=鬣（款（1一前一

(0</c<n,k6N),

.CP(n=k)>P(n=fc—1)

田［p玩=fc)>P(n=k+1)

得到以>瑞-iqy-iq—3n+ii且得（）鼠1_§片上>^+i（|）fc+i（i-1）"-fc-1，

______n!______

f4x川>sx

［4C修54Tk\(n-ky.-(k—iy.(n—k+1)!

整理得到24咪+»即n!J

5x—————>4X

k\(n-ky.~(k+l)!(n—/c—1)!

徨到(4XO-k+1)25k斫以4n-5VNv4n+4

付到［5x(k+1)24(几_廿所以9-k-9，

由题有k=8,所以笄得到又n€N*,所以n=17或18或19.

zf774

19.【小问1详解】

设直线=ty+/yi),B(x2,y2)

联立卜=ty+E,得y2-2pty-p2=0,

得/=(2pt)2+4p2>o

由韦达定理可知:y/2=—p2;yi+>2=2pt

由题可知：s.04B=||ofllyi-yzl=4-V(yi+-^(2pt)2+4p2=+1>

因为面积的最小值为右且p>o,

所以今='np=1

【小问2详解】

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~^An（Xan>yan）>^n（^bn>ybn）,力（%a，ya）#（*》///））

2

由题可知y2=Q两式求差可得CXm+）（）=2（%加—总

rl2xan,y\—2X,yayan~yayan+ya

yan-ya2

所以=^an—yan+Ya'