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文档简介

2025届大连市第九中学数学高三上期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,,则向量在向量上的投影是()A. B. C. D.2.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()A. B.C. D.3.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若,且,则面积的最大值是()A. B. C. D.4.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()A.170 B.10 C.172 D.125.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不对6.己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.已知等比数列的前项和为,且满足,则的值是()A. B. C. D.8.已知点,是函数的函数图像上的任意两点,且在点处的切线与直线AB平行,则()A.,b为任意非零实数 B.,a为任意非零实数C.a、b均为任意实数 D.不存在满足条件的实数a,b9.已知,则下列说法中正确的是()A.是假命题 B.是真命题C.是真命题 D.是假命题10.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.11.设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.14.(5分)已知曲线的方程为,其图象经过点,则曲线在点处的切线方程是____________.15.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________.16.的展开式中,的系数为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆,上顶点为,离心率为,直线交轴于点,交椭圆于,两点,直线,分别交轴于点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求证:为定值.18.(12分)在边长为的正方形,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,构成一个三棱锥.(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;(2)求多面体的体积.19.(12分)如图,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均为正三角形,E为AB的中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积.20.(12分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足,,,求.21.(12分)已知函数(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)若数列的前项和,,求证:数列的前项和.22.(10分)已知的内角、、的对边分别为、、,满足.有三个条件:①;②;③.其中三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件完成下面两个问题:(1)求;(2)设为边上一点,且,求的面积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.2、A【解析】

根据平面平面,四边形为等腰梯形,则球心在过的中点的面的垂线上,又是等边三角形,所以球心也在过的外心面的垂线上,从而找到球心,再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示:取的中点,则是等腰梯形外接圆的圆心,取是的外心,作平面平面,则是四棱锥的外接球球心,且,设四棱锥的外接球半径为,则,而,所以,故选:A.【点睛】本题考查组合体、球,还考查空间想象能力以及数形结合的思想,属于难题.3、A【解析】

根据正弦定理可得,求出,根据平方关系求出.由两端平方,求的最大值,根据三角形面积公式,求出面积的最大值.【详解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中点,且,,即,即,,当且仅当时,等号成立.的面积,所以面积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算,属于中档题.4、D【解析】

中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后,处在最中间的那个数,平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知,甲的中位数为,故;乙的平均数为,解得,所以.故选:D.【点睛】本题考查茎叶图的应用,涉及到中位数、平均数的知识,是一道容易题.5、A【解析】

首先确定不超过的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有,,,,,,,,共个,从这个素数中任选个,有种可能;其中选取的两个数,其和等于的有,,共种情况,故随机选出两个不同的数,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.6、B【解析】

考虑当时,有两个不同的实数解,令,则有两个不同的零点,利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对,所以时,有两个不同的实数解.令,则在有两个不同的零点.又,当时,,故在上为增函数,在上至多一个零点,舍.当时,若,则,在上为增函数;若,则,在上为减函数;故,因为有两个不同的零点,所以,解得.又当时,且,故在上存在一个零点.又,其中.令,则,当时,,故为减函数,所以即.因为,所以在上也存在一个零点.综上,当时,有两个不同的零点.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,本题属于难题.7、C【解析】

利用先求出,然后计算出结果.【详解】根据题意,当时,,,故当时,,数列是等比数列,则,故,解得,故选.【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.8、A【解析】

求得的导函数,结合两点斜率公式和两直线平行的条件:斜率相等,化简可得,为任意非零实数.【详解】依题意,在点处的切线与直线AB平行,即有,所以,由于对任意上式都成立,可得,为非零实数.故选:A【点睛】本题考查导数的运用,求切线的斜率,考查两点的斜率公式,以及化简运算能力,属于中档题.9、D【解析】

举例判断命题p与q的真假,再由复合命题的真假判断得答案.【详解】当时,故命题为假命题;记f(x)=ex﹣x的导数为f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命题为真命题;∴是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断,考查全称命题与特称命题的真假,考查指对函数的图象与性质,是基础题.10、B【解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.11、B【解析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.【详解】因为,均为非零的平面向量,存在负数,使得,所以向量,共线且方向相反,所以,即充分性成立;反之,当向量,的夹角为钝角时,满足,但此时,不共线且反向,所以必要性不成立.所以“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件.故选B.【点睛】判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.12、A【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱,根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示:其中,底面为直角三角形,,,高为.∴该几何体的体积为故选:A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】

由题意知:,,,.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.【详解】不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点∴,.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴为等边三角形,∴MF⊥PQ,易知四边形和四边形都是平行四边形,∴F为HR的中点,∴,故答案为:2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.14、【解析】

依题意,将点的坐标代入曲线的方程中,解得.由,得,则曲线在点处切线的斜率,所以在点处的切线方程是,即.15、164【解析】

只需令x=0,易得a5,再由(x+1)3(x+2)2=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3,可得a4=+2+.【详解】令x=0,得a5=(0+1)3(0+2)2=4,而(x+1)3(x+2)2=(x+1)3[(x+1)2+2(x+1)+1]=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3;则a4=+2+=5+8+3=16.故答案为:16,4.【点睛】本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解,可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解,属于中档题.16、16【解析】

要得到的系数,只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可【详解】的系数为.故答案为:16【点睛】此题考查二项式的系数,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ),证明见解析.【解析】

(Ⅰ)根据题意列出关于,,的方程组,解出,,的值,即可得到椭圆的方程;(Ⅱ)设点,,点,,易求直线的方程为:,令得,,同理可得,所以,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理代入上式,化简即可得到.【详解】(Ⅰ)解:由题意可知:,解得,椭圆的方程为:;(Ⅱ)证:设点,,点,,联立方程,消去得:,,①,点,,,直线的方程为:,令得,,,,同理可得,,,把①式代入上式得:,为定值.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、定值问题的求解;关键是能够通过直线与椭圆联立得到韦达定理的形式,利用韦达定理化简三角形面积得到定值;考查计算能力与推理能力,属于中档题.18、(1)平行,证明见解析;(2).【解析】

(1)由题意及图形的翻折规律可知应是的一条中位线,利用线面平行的判定定理即可求证;(2)利用条件及线面垂直的判定定理可知,,则平面,在利用锥体的体积公式即可.【详解】(1)证明:因翻折后、、重合,∴应是的一条中位线,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理及锥体的体积公式,属于基础题.19、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)要证明线面平行,需先证明线线平行,所以连接,交于点M,连接ME,证明;(Ⅱ)由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离,根据体积公式剩余部分的体积是.【详解】(Ⅰ)如图,连接,交于点M,连接ME,则.因为平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为平面ABC,所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离.如图,设O是AC的中点,连接,OB.因为为正三角形,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以点到平面ABC的距离,故三棱锥的体积为.而斜三棱柱的体积为.所以剩余部分的体积为.【点睛】本题考查证明线面平行,计算体积,意在考查推理证明,空间想象能力,计算能力,属于中档题型,一般证明线面平行的方法1.证明线线平行,则线面平行,2.证明面面平行,则线面平行,关键是证明线线平行,一般构造平行四边形,则对边平行,或是构造三角形中位线.20、(1);(2)【解析】

(1)化简得到,取,解得答案.(2),解得,根据余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【详解】(1).取,解得.(2),因为,故,.根据余弦定理:,..【点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,余弦定理,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.21、(Ⅰ);

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