2024-2025学年山东省济南市历下区八年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年山东省济南市历下区八年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞,直径约为0.0000061米，将数据0,0000061用科学记数法表示正

确的是（）

A.6.1x10-5B.0.61x10-5D.0.61x10-6

2.下列数中：8,—317T,_22人

舟9.121121112无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列运算不正确的是（）

A.3x—2x=xB.[x—1)2=—1

C.(2/)3=8/D.2/x=2x

4.估算后+2的值（）

A.在5和6之间B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间

5.我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程一一乡村振兴成果展”吸引了

众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图.小颖8入口进

。出口的概率是（）

C出口

1

A.

5

1

B.

6

1

2

1

D.

3

6.已知。2+。_5=0,代数式（Q2—5）（a+l）的值是（)

A.4B.—5C.5D.-4

7.若，TB+（a—4户=0,则化简淄的结果是（）

人考B-竽

8.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,/和8

是这个台阶两个相对的端点，/点有一只蚂蚁，想到2点去吃可口的食物.

第1页，共21页B

则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）

A.18B.15C.12D.8

9.如图1,已知扇形点P从点。出发，沿0—A—B—O以lcm/s的速度运动，设点尸的运动时间

为xs,OP=gcm,y随x变化的图象如图2所示，则扇形的面积为（）

图I图2

A.37rcm2B.7rcm2C.2ncm2D.1.57rcm2

10.如图，已知点£分别是等边△A3。中8C、48边上的中点，AB=6,点/

是线段ND上的动点，则+EF的最小值为（）

A.3

B.6

C.9

D.3^3

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.已知一个正数的两个平方根分别是舐-2和52-14,则x的值为.

12.如图，在△ABC中，CO是边48上的中线，4ELBC，若BC=4,S^ACD=

则AE=.

13.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8离点。的距离为5,一只蚂蚁如

果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是.

第2页，共21页

14.如图，矩形/BCD中，AB=4,BC=3,尸为4D上一点，将△4BP沿3PF

DC

翻折至△EBP,尸£与CD相交于点。，且0E=0。，则/P的长为.\

15.如图，等腰直角三角形N8C的两直角边分别为1,以斜边2C为边作第E

二个等腰直角三角形BCD,再以斜边8。为边作第三个等腰直角三角形D/

BDE,如此进行下去…记等腰直角三角形N8C的直角边长为的=1,按上

C

述方法所作的等腰直角三角形的直角边依次为3,^4,-Xn,则

^2023=.

三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题7分)

先化简再求值：[(3a+b)2+(6+3a)(b—3a)—Qb2]4-(26),其中a=—b=-2.

17.(本小题7分)

计算：

(2)^27+\/49-^+|1-\/2|.

18.(本小题7分)

如图，在AABC中，4。〉,射线AD平分NBA。，交于点E,点尸在边48的延长线上，4F=4。,

连接EF.

(1)求证：4AEC沿AAEF.

⑵若N4EB=50°，求乙BEF的度数.

第3页，共21页

19.（本小题8分）

如图，在8x8正方形网格中，的顶点均在格点上.（图中每个方格的边长均为1个单位长度）

（1）请在图中作出△ABC关于直线/成轴对称的

（2）在直线/上找一点P,使得PA+最小.（保留必要的作图痕迹）

n「

I

JI

20.（本小题8分）

概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请直接填出下列事件中所要求的结果：

（1）有5张背面相同的纸牌，其正面分别标上数字“5”、“7”、“8”、“2”、“0”将这5张纸牌背面

朝上洗匀后摸出一张牌是奇数的概率为.

（2）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共

七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形飞镖游戏板，某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落

在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是.

21.（本小题9分）

如图，在RtZVLBC中，乙4cB=90°，48=13，AC=12,点。为△AB。外一点，连接AD,CD,测

得。。=4,BD=3,求四边形/2DC的面积.

第4页，共21页

22.（本小题10分）

如图，在RtZXABC中，乙4cB=90°，AB=20cm,4。=16cm,点尸从点/出发，以每秒1c机的速

度向点C运动，连接尸8,设运动时间为/秒。〉0）.

⑴BC=cm.

（2）当P4=P3时，求，的值.

23.（本小题10分）

数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下:

第5页，共21页

活动课题风筝离地面垂直高度探究

风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木

问题背景鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直

高度.

小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离2C的长为15米，

根据手中剩余线的长度计算出风筝线43的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5

米.

测量数据

抽象模型

D

经过讨论，兴趣小组得出以下问题：

问题产生(1)运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度.

(2)如果想要风筝沿D4方向再上升12米，且3c长度不变，则他应该再放出多少米线？

问题解决...

该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题.

24.(本小题12分)

甲骑电动车，乙骑自行车从公园门口出发沿同一路线匀速游玩，甲、乙两人距出发点的路程S(km)与乙行

驶的时间加色)的关系如图①所示，其中〃表示甲运动的图象，甲、乙两人之间的路程差"(km)与乙行驶的

时间武九)的关系如图②所示，请你解决以下问题：

(1)图②中的自变量是,因变量是；

(2)甲的速度是km/h,乙的速度是km/h-,

(3)结合题意和图①，可知图②中：a=,b=;

第6页，共21页

(4)求乙出发多长时间后，甲、乙两人的路程差为7.5km?

图①图②

25.(本小题12分)

在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题：

如图1,在△48。中，48=10，AC=6＞。是的中点，求8C边上的中线4D的取值范围.

【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

(1)如图1,延长/。到使DW=4D，连接3M.根据可以判定得出

=这样就能把线段/8、AC,2/。集中在△4BM中.利用三角形三边的关系，即可得出中线

的取值范围.

【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等,

往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的.

【问题解决】

⑵如图2,在△48。中，ZB=2ZC,/氏4。的平分线/。交2C边于点。.若43=3，BD=2,求

NC的长.

【应用提升】

(3)已知：如图3,△48。中，乙4=90°,AB=AC,=2.0、E是三角形边NB、NC上两个动点，

且4D=CE,连接BE,CD.求(BE+CD)?的最小值.

第7页，共21页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：0.0000061=6,1x10-6,

故选：C.

根据科学记数法的一般形式为axWn,其中1(同<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时,

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值》10时，〃是正整数；当原数的

绝对值小于1时，〃是负整数.

本题考查科学记数法的表示方法.表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

2.【答案】B

【解析】解：师=3>

7T

无理数有5，通，共有2个，

故选：B.

分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.

此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如7F,通,

0.8080080008-(每两个8之间依次多1个0)等形式.

3.【答案】B

【解析】解：A.3x-2x=x,故选项/计算正确，不符合题意；

—1)2=/—24+1,故选项8计算错误，符合题意；

C(2/)3=8，，故选项C计算正确，不符合题意；

D.2X2^X=2X，故选项。计算正确，不符合题意；

故选：B.

根据合并同类项的法则，完全平方公式、积的乘方和单项式除以单项式可以计算出各个选项中式子的正确

结果，再进行判断即可.

本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：；4<\/24<5，

6<^24+2<7，

第8页，共21页

故选：B.

首先求出4<^24<5>进而得出724+2的取值范围即可得出答案.

此题主要考查了估计无理数，根据题意得出4<^24<5是解题关键.

5.【答案】B

【解析】解:如图可知，A,8为入口；C,D,£为出口，

开始

入口AB

中4\/K

出口CDECDE

二.小颖8入口进。出口的概率为：

6

故选：B.

根据题意，画出树状图即可.

本题考查列举法求概率，解题的关键是理解题意，画出树状图，得到所有的结果.

6.【答案】B

【解析】解：Q?+Q-5=0,

/.层—5——Q，/+Q=5，

(Q?—5)(a+1)

——Q(Q+1)

——Q2—CL

=—(a2+Q)

=-5.

故选：B.

先根据〃+Q—5=0得到Q2—5=—Q，再把Q2—5=—Q整体代入，即可求解.

本题主要考查了整式的混合运算■化简求值，掌握运算法则和具有整体代入思想是解题关键.

7.【答案】A

【解析】解：•.M-3+(Q-4)2=0,

.\6-3=0,Q—4=0,

即。=4,b=3,

第9页，共21页

故选：A.

根据算术平方根、偶次方的性质，求出.、b的值，再代入计算即可.

本题考查算术平方根、偶次方的性质及二次根式的运算，掌握算术平方根、偶次方的性质及二次根式的运

算方法是得出正确答案的关键.

8.【答案】B

【解析】解：将台阶展开，如图，

因为40=3x3+1x3=12,BC=9,

所以4口2=AC2+BC2=225，

所以AB=15>

所以蚂蚁爬行的最短线路为15.

答：蚂蚁爬行的最短线路为15.

故选：B.

此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路.将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从5点到/点

的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.

本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关

键.

9.【答案】D

【解析】解：由图象可知：点尸从点3运动到点。的时间为7T+6—（开+3）=3,

:.0B=3cm，即扇形的半径为3cro,

由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为7T+3,

,弧长为7rcm,

设扇形的圆心角为"，根据弧长公式可得：。答=7T,

lot）

解得n=60°，

由扇形的面积公式可得：扇形的面积为6°,；27r=1.57T（cm2）.

故选：D.

先根据图象确定弧长和半径，然后再利用弧长公式求扇形圆心角，最后利用扇形的面积公式计算即可.

本题属于动点函数图象问题，主要考查了扇形的弧长、扇形的面积公式等知识点，根据图象确定扇形的半

径和弧长是解答本题的关键.

10.【答案】D

第10页，共21页

【解析】解：连接CE交/。于点R连接3凡

△ABC是等边三角形，

:.BF=CF,BE=AE=^AB=3,

：,BF+EF=CF+EF=CE,

此时BF+EF的值最小，最小值为CE,

CE=,62—32=3—

BF+EF的最小值为3通，

故选：D.

连接CE交/。于点尸，连接此时RF+EP的值最小，最小值为。石.

本题考查轴对称-最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边

三角形的性质是解题的关键.

11.【答案】2

【解析】解：•.•正数有两个平方根，他们互为相反数，

3/—2+5x—14=0,

解得：/=2,

故答案为：2.

根据平方根的性质即可求解.

本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键.

12.【答案】3

【解析】解：是边N3上的中线，

:.AD=BD,

：.△/CD和等底同高，

S/XACD=S2BCD=3,

.-.SAABC=6,

第H页，共21页

S^ABC=；6aAE=6,

—x4-AE=6,

：.AE=3.

故答案为：3.

首先根据CO是边N3上的中线得进而得SZ\ABC=6,然后根据三角形的面

积公式可求出/£的长.

此题主要考查了三角形的面积，解答此题的关键是理解同底（等底）同高（等高）的两个三角形的面积相等.

13.【答案】25

22

【解析】解：如图：（1）48==y20+15=25；

⑶AB=+BC2=，3。2+52=5\/37.

所以需要爬行的最短距离是25.

第12页，共21页

BC

要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.

解答此题要注意以下几点：

(1)将立体图形展开的能力；

⑵分类讨论思想的应用；

(3)正确运用勾股定理.

14.【答案】2.4

【解析】解：如图所示：•.•四边形N3CD是矩形，

:"D=ZA=Z,C=90°>AD=BC=3,CD=AB=4,

根据题意得：LABP沿&EBP,

：,EP=AP,/E=/4=90°，BE=AB=4,

在△OOP和△OEG中，

ZD=AE

OD=OE,

NDOP=Z.EOG

△ODP乌/\OEG{ASA),

：,OP=OG,PD=GE,

：,DG=EP，

设4P=EP=/,则PD=GE=3—①，DG=x,

CG=4—/,BG=4—(3—2)=1+c,

根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2,

即32+(4—x)2=(c+I)2,

解得：x=2.4,

：,AP=2A；

故答案为：2.4.

第13页，共21页

由折叠的性质得出EP=4P，/E=/4=90°，BE=AB=4,由NS4证明△OOP之△OEG,得出

OP=OG，PD=GE,设4P=EP=c,则PZ>=GE=3—2,DG=x,求出CG、3G,根据勾股

定理得出方程，解方程即可.

本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的

性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

15.【答案】2i°n

【解析】解：第1个等腰直角三角形N3C的直角边长为1,

.•.第2个等腰直角三角形N3C的直角边长为22=

22/

第3个等腰直角三角形48。的直角边长为X3=^/(72)+(v^)=V2T2==，区，

第4个等腰直角三角形48。的直角边长为的=A/22+22=V8=回,

.•.第〃个等腰直角三角形NBC的直角边长为孙=，后，

.­.①2023=回亚=回赤=21011.

故答案为：2i°u

分别求出第1个、第2个、第3个、第4个……，等腰直角三角形的直角边的长，找出规律即可得出结论.

本题考查的是勾股定理，根据勾股定理找出直角三角形直角边长的规律是解题的关键.

16.【答案】解：[(3a+6)2+(6+3a)(6-3a)-6b2]4-(26)

=(9a2+Gab+62+62-9a2—662)-j-(26)

=(6ab—462).(26)

=3a—2b,

当a=——,b=—2时，原式=3x(——)—2x(—2)=3.

【解析】根据完全平方公式、平方差公式将括号内的式子展开，然后合并同类项，再除以括号外的式子，

然后将a、6的值代入化简后的式子计算即可.

本题考查整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算.

17.【答案】解：(1)原式=5—4—3

=-2；

第14页，共21页

(2)原式=-3+7-\/2+\/2-1

=3.

【解析】(1)先根据数的开方法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；

(2)先根据数的开方法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可.

本题主要考查了实数的运算，熟知数的开方法则及绝对值的性质是解题的关键.

18.【答案】(1)证明：射线/。平分/H4。，

:2CAE=NFAE,

在△4EC和△4EF中，

'AC=AF

<ZCAE=AFAE,

、AE^AE

.•.△AEC2△AEF(SAS)；

(2)解：•.•△AEC丝△4EF(S4S),

:2C=2F,

■：AAEB=NCAE+ZC=50°，

：,ZFAE+ZF=50°,

・：NFAE+NF+ZAEB+NBEF=180°,

：.NBEF=80°，

.•./BEF为80°.

【解析】(1)由射线平分NBA。，可得=进而可证△4EC^ZVLEF(S4S)；

(2)由△/ECgZ\AEP(SAS),可得/C=/F,由三角形外角的性质可得N4EB=NCAE+NO=50°，

则NFAE+ZF=50°,根据AFAE+NF+AAEB+NBEF=180°,计算求解即可.

本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理.解题的关键在

于对知识的熟练掌握与灵活运用.

19.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求.

(2)如图，连接48'，交直线/于点尸，连接3P，

则Pa+PB=PA+P_B'=AB'，为最小值，

第15页，共21页

则点P即为所求.

【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可.

(2)连接ylB，，交直线/于点P,则点尸即为所求.

本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

20.【答案】2|7《

516

【解析】解：(1)将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌有5种等可能结果，其中是奇数的有2种结果，

.•.是奇数的概率为々2

5

2

故答案为：

5

(2)令最小的等腰直角三角形的面积为1,则大正方形的面积为16,阴影部分的面积为2+1+4=7,

所以飞镖落在阴影部分的概率是二7，

16

故答案为：上7.

16

(1)将这5张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张牌有5种等可能结果，其中是奇数的有2种结果，再根据概率公

式求解即可；

(2)令最小的等腰直角三角形的面积为1,则大正方形的面积为16,阴影部分的面积为2+1+4=7,再根

据概率公式求解即可.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(4)；

然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(4)发生的概率.

21.【答案】解：在中，/8。4=90°，AC=12,AB=13,

BC=VAB2-AC2=7132-122=5；

在△BOO中，CD=4,BD=3,BC=5,

：.CD2+BD2=BC2>

第16页，共21页

△BCD是直角三角形，

二.四边形ABDC的面积=S/\ABC+S^BCD=；xl2x5+；x3x4=36.

【解析】在RtZS/BC中，根据勾股定理即可求得2C的长；再利用勾股定理逆定理即可证明是直

角三角形，再根据三角形的面积公式可求四边形/8OC的面积.

本题考查了勾股定理及其逆定理.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等

于斜边长的平方.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。，6,c满足&2+胪=。2,那么这个三角形就

是直角三角形.掌握定理是解题的关键.

22.【答案】解：(1)12；

(2)设AP=3则PC=16—t,

在RtaPCB中，•：NPCB=90°,

由勾股定理，得：PC2+BC2=PB2,

BP(16-i)2+122=i2,

解得：力=12.5,

二当点尸运动到=时，f的值为12.5.

【解析】【分析】

考查了勾股定理，注意掌握数形结合思想的应用.

(1)根据勾股定理解答即可；

(2)设AP=3利用勾股定理列出方程解答即可.

【解答】

解：(1)・.•在中，AACB=90°.AB=20cm，AC=16cm，

：,BC=\/AB2-AC2=V202-162=12(cm);

故答案为：12；

⑵见答案.

23.【答案】解：(1)在中，AACB=90°,BC=15米，AB=17米，

由勾股定理，可得AC=y/AB2-BC2=8米，

AD=AC+CD=8+1.5=9.5(米)，

答：风筝离地面的垂直高度为9.5米；

(2)如图，当风筝沿D/方向再上升12米，AC=20米，

第17页，共21页

A

D

在RtZVL'BC中，NACB=90°，8。=15米,

由勾股定理，可得A/B=y/A'C2+BC2=25米，

则应该再放出25—17=8(米)，

答：他应该再放出8米长的线.

【解析】(1)在RtZVIB。中，利用勾股定理求出的/C长，即可得到结论；

⑵在中，根据勾股定理求出AB，即可得到结论.

本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握直角三角形中的三边关系.

24.【答案】乙行驶的时间甲、乙两人之间的路程差25101.510

【解析】解：(1)图②中的自变量是乙行驶的时间，因变量是甲、乙两人之间的路程差；

故答案为：乙行驶的时间；甲、乙两人之间的路程差；

⑵由图可得，

甲的速度为：25+(1.5-0.5)=254-1=25(fcm//i),

乙的速度为：25^2,5=

故答案为：25,10；

(3)由图可得，

6=25x(1.5-0.5)-10x1.5=10,

a—1.5,

故答案为：1.5，10；

(4)由题意可得，

前0.5%，乙行驶的路程为：10x0.5=5<7.5,

则甲、乙两人路程差为7.5人加是在甲乙相遇之后，

设乙出发时，甲、乙两人路程差为7.5/cni,