2025届某中学高三年级上册第一次调研考试数学试题（含答案）

长郡中学2025届高三第一次调研考试

皿r、、九

数学

本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={尤|一一%=。},8={尤|、一无一2＜。},则（）

A.{0,1}C.{0,l,2}D.{-1,0,1}

2.已知根，”是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，则〃？〃a的一个充分条件是（）

A.m//n,n//aB.m///3,a//

C.m,LaD.mon-A,n//

（?\2025

3.G-V的展开式中的常数项是（）

A.第673项B.第674项

C.第675项D.第676项

4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐

器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为

25cm,公共底面的半径为15cm,铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为8g/cn?,现有青铜材料

1000kg,则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：兀e3.14）

A.1B.2C.3D.4

5.已知定义在（0,+动上的函数满足〃x）＜x（尸（x）-1）（/'（X）为的导函数），且

/（1）=0,则（）

A./（2）＜2B./（2）＞2

C./（3）＜3D./（3）＞3

6.已知过抛物线C:V=2px（。＞0）的焦点尸且倾斜角为二的直线交C于A8两点，M是A3的中点，

点尸是C上一点，若点"的纵坐标为1,直线/:3x+2y+3=0,则P到C的准线的距离与P至卜的距

离之和的最小值为（）

A3V13口5V13「3V13「9^/13

26261326

7.已知函数〃x）=2sin（0x+9）10〉O,[d＜m],对于任意的xe&/[+]]=,

+x]=0都恒成立，且函数/（x）在]—木,01上单调递增，则①的值为（）

A.3B.9C.3或9D.V3

8.如图，已知长方体ABCD-AB'C'。'中，43=30=2,44'=J5,。为正方形A5CD的中心点，将长

方体ABCD-A'B'C'D'绕直线0。进行旋转.若平面a满足直线。。与a所成的角为53°，直线/，a,

43

则旋转的过程中，直线A3与/夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：sin53°aw，cos53°aw）

473-303百-4„3百+3「46+3

D.C.U.

10--------10-----------10-----------10

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立A8两个小组在原产品的基础上进行不同方

向的研发，A组偏向于智能自动化方向，8组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取

6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A组性能得分为：91,81,82,96,89,73,8组性能得分为：

73,70,96,79,94,88,则（）

A.A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高

B.A组性能得分的中位数比3组性能得分的中位数小

C.A组性能得分的极差比B组性能得分的极差大

D.B组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大

10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一

起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，

如图所示，其中AC,8。分别为两个截面椭圆的长轴，且A,C,8,。都位于圆柱的同一个轴截面上，AD

是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为6,e2,则能够保证|8快夜的

6,02的值可以是（）

11.对于任意实数x,y,定义运算“㊉”x㊉y=|x-M+x+y,则满足条件。㊉匕=b㊉c的实数a,b,c的

值可能为（）

03

A.a=-log050.3,6=O.4,c=log050.4

03

B.a=0.4,Z?=log。50.4,c=-log050.3

八…0.1110

C.ci—0.09,b——,c—In—

e0-19

D.a=~r,/?=In—,c—0.09

e019

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在复平面内，复数z对应的点为（1,1）,则上£=.

1+Z

13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列｛。“｝的通项公式4=.

①%Z%是常数，加,“eN*且机②3=2%；③｛。〃｝的前，项和存在最小值.

m—n

14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁•查

理•卡特兰的名字命名）.有如下问题：在"X”的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往

右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共

有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数C£,-C；：.如图，现有3x4的格子，每一步只能往上或往

右走一格，则从左下角A走到右上角3共有种不同的走法；若要求从左下角A走到右上角3

的过程中只能在直线AC的右下方，但可以到达直线AC,则有种不同的走法.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知M为圆£+,2=9上一个动点，垂直》轴，垂足为N,。为坐标原点，DOMN的重心为G.

（1）求点G的轨迹方程；

（2）记第（1）问中的轨迹为曲线C,直线/与曲线C相交于A3两点，点Q（0,l）,若点”（百,0）恰

好是□ABQ的垂心，求直线I的方程.

16.（本小题满分15分）

如图，四边形ABCD为圆台。的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与底面所成的角为45。，母线长为

是且D的中点.

（1）已知圆。2内存在点G,使得。平面BEG,作出点G的轨迹（写出解题过程）；

（2）点K是圆。2上的一点（不同于AC）,2CK=AC,求平面A3K与平面CDK所成角的正弦值.

17.（本小题满分15分）

素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学

生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某

校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的

学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的.

（1）声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为P（O<P<1）,设声乐班的学生

中恰有3名通过测试的概率为/（同，求/（#的极大值点p0.

（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，

有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7

人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为？，求7的分布列及数学期望.

18.（本小题满分17分）

已知数列｛%｝为等比数列，｛d｝为等差数列，且勾=伪=2,%=8%,%=4.

（1）求｛4｝,｛%｝的通项公式;

>的前〃项和为S”,集合n共有个元素,

（2）数列（—1）412）」也2A=$4neN*5

、n-a”+2_

求实数/的取值范围；

r_1r=log2。"

（3）若数列｛c,｝中，/人求证：

4"一

G+q♦+q•0♦%+…+q•&•%.......Cn<2

19.（本小题满分17分）

设有〃维向量,［瓦=砧［+a2b2H---Fanbn为向量值和B的内积,

当，石］=0,称向量1和B正交.设Sn为全体由-1和1构成的〃元数组对应的向量的集合.

(1)若值=，写出一个向量B，使得［%B］=o；

(2)令3={［京列元yeS.}.若加68,证明：〃为偶数;

(3)若〃=4,/（4）是从S4中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足［扇B］=0,猜测/（4）的

值，并给出一个实例.

长郡中学2025届高三第一次调研考试

数学参考答案

与C的方程V=2px（联立得V—2py—p2=0,

设4（玉,%）,3（%2»2），则%+%=2p=2,p=l,故C的方程为J/=2x,p］；,0

由抛物线定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

联立抛物线C:：/=2x与直线/：3x+2y+3=0,化简得9必+10x+9=0，

由△=100—4x9x9=—224<0得C与/相离.

。,5,尺分别是过点尸向准线、直线/:3%+2丁+3=0以及

过点F向直线/:3x+2y+3=0引垂线的垂足，连接FP,FS,

所以点P到C的准线的距离与点P到直线I的距离之和|PQ|+|PS卜|PF|+|PS|>\FS\>|F7?|,

等号成立当且仅当点P为线段FR与抛物线的交点，

所以尸到C的准线的距离与P到I的距离之和的最小值为

（113x—F0+3/­

点尸5，。到直线/：3%+2丁+3=0的距离，即底_3_9J13.

'）।-26

故选：D.

7.A【解析】设函数“X）的最小正周期为T,

因为函数/（X）在-白,0上单调递增,

兀得女

所以0—因此0<口<10.

102G5

兀

由小+段7-----X知/（X）的图象关于直线X=2对称,

12

兀兀

则CD,（D—k,Tl—,k,GZ①.

122

由/（》）+/[曰—x]=0知/（X）的图象关于点对称，则0-：+夕=左2兀，k2eZ②.

兀兀

②-①得。•一二（左2—勺）兀——,k^keZ,令k=k?一k[,则。=6左一3,左eZ,

622

结合0<0（10可得0=3或9.

当刃=3时，代入（1）得0=—卜k[7i,k[GZ,又|。|<—，所以/=—，

41124

C兀、L,、r兀r兀兀

此时/(%)=2sin3xH—,因为----<3xH—<一，

4）2044

故/（x）在-白,0上单调递增，符合题意;

当0=9时，代入（1）得°=---1■尢兀，左]CZ,又|同<—,所以°=—，

41124

此时/(%)=2si“9x—,因为一^^<9x—£<一：，

故/（x）在-A，0上不是单调递增的，所以。=9不符合题意，应舍去.

综上，口的值为3.

故选：A.

8.A【解析】在长方体ABCD—AB'C'。'中，AB//CD',

则直线AB与I的夹角等于直线CD'与I的夹角.

长方体ABC。一AB'C'。'中，45=30=2,44=J5,。为正方形ABC。的中心点，则

2

"722+22>

OD'=OC'=+(V2)2=2,又CD'=2,

2

\7

所以口0c'£>'是等边三角形，故直线。。与CD'的夹角为60°.

则CD'绕直线旋转的轨迹为圆锥，如图所示，ZC'D'O=600.

D'

因为直线。。'与a所成的角为53°,/所以直线。。'与/的夹角为37°.

在平面C'D'。中，作D'E,D'F,使得NODE=NOD'F=37°.

结合图形可知，当/与直线D'E平行时，C'。'与/的夹角最小，为/C7XE=60°—37°=23°，

易知NC'D'F=60°+37°=97°.

设直线CZ>'与/的夹角为。，则23°W0W90°,故当°=23°时sin°最小，

而sin23°=sin（60°-37°）=sin60°cos37°-cos60°sin37°

=sin60°sin53°-cos60°cos53°®-->

10

故直线AB与l的夹角的正弦值的最小值为31二1.

10

故选：A

二,多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.AD

10.AD

11.BD【解析】由〃㊉=㊉c,可得|〃一。|+a+Z?=弧一+Z?+c,Bp—/?|—|/?—c|=c—ci,若

a<b,c<b,可得,一耳―忸一。|=c—a,符合题意，

若a4b,c>b,可得,一〃—卜一d=26-a-c,不符合题意，

若a>b,c《b,可得向一也一耳=a-c,不符合题意，

若a>b,c>b,可得,一耳―忸一@=c+a-26,不符合题意，

综上所述。一。402一。之0,可得b»a,bNc,

故只需判断四个选项中的〃是否为最大值即可.

对于A,B,而0<。.产<0.4°=1，

03

log050.4>log050.5=1,所以-log。$0.3<O.4<log050.4.

（点拨：函数_y=logo^x为减函数，y=04'.为减函数），

对于A,a<b<c；对于B,c<a<b,故A错误，B正确.

对于c,D等3="5

e（L1

（将0.9转化为1—0.1,方便构造函数）构造函数4%）=（1—

则/'(x)=—xe"因为无e[0,l),所以r(x)V0"(x)单调递减,

因为"0）=1,所以

即0.90°1<1，所以0.09〈邛.

e,

（若找选项中的最大值，下面只需判断2」与也”的大小即可）

e019

0.1,100.1,

-7rT-ln——---InI=扑1心事+叩一°.1）’

e019e01

1-x__1_(l-x)2-ex

构造函数%(x)=2+ln(l—x),xe[0,1),贝ij=

ee"1-xe'(l-x)，

因为工£[0,1),所以e光(1—%)>0,令=(1—%)2—e",贝ij〃(％)二—2(1—%)—e”,

当xe[0,l）时，单调递减，因为<»⑼=0,

所以°（x）V0,即单调递减，又"（0）=0,所以力（0.1）<0,

即-5T+1口（1—0.1）<0,所以—^y<ln石.

eey

综上，0.09<23<In3.对于C,a<b<c；对于D,c<a<b,故C错误，D正确.

e019

（提醒：本题要比较0。9与InW的大小关系的话可以利用作差法判断，

9

即0.09-lnW=0.1x0.9-lnI=(1-0.9)x0.9+ln0.9,

9

构造函数g(x)=(l-尤)x+lnx,无e(0,l],

T12f+x+l一(2x+l)(-x+l)

则g'(x)-1―N4।——

XXX

因为xe（O,l],所以g〈x"0,g（x）单调递增,因为g⑴=0,所以g（0.9）<0,

即0.09—In3<0,所以0.09<lnW）

99

故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13i

12.-----

55

【解析】由于复数Z对应的点为（1,1）,所以Z=l+i,

法2-z1—i（1-i）（2-i）1—3i13i

改1+z2+i（2+i）（2-i）555

1r\•

故答案为：--y

13.n-4（答案不唯一）

14.35；14

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】（1）设G（x,y）,M（Xo，%），则"（%,0）,因G为口。的重心,

2%

x=

a3_x<-»c丫2

故有：\，解得％:7,%=3y,代入x；+y：=9,化简得一+y2=1,

A24

y=

3

又1为力0,故孙wo,所以G的轨迹方程为、+丁=1（孙片0）.

（2）因“为DABQ的垂心，故有ABLZ/CAHLBQ,

又如2=”^=—，，所以分=JL故设直线/的方程为y=gx+根（根wl）,

2

与?+>2=1联立消去丁得：13x2+8V3mx+4m2-4=0，

由△=208—16根2>0得根2<13,

设4（%,%）,5（元2，%），则%+%=~~~~~^x\x2=4北§4

由AS%，得小•?一，

+m-l=0,

所以4再入2+6（加一1）（%1+犬2）+m2—冽=0,

所以4（4机2一4）一24根（加-1）+13（机2-机）=0,化简得5根2+11加—16=0,

[A1A

解得加=1（舍去）或加=-（（满足A〉。），故直线/的方程为y=Gx-

16.【解析】（1）•.•E是比）的中点，.•.DELEE.

要满足DE1平面BEG,需满足DE，BG,

又VDEu平面BDE,平面BEG1平面BDE

如图，过3作下底面的垂线交下底面于点G,

过G作BE的平行线，交圆仪于G，G2,则线段G1G2即点G的轨迹.

（2）易知可以&为坐标原点，QCQOi所在直线分别为V，

z轴建立如图所示的空间直角坐标系O2-xyz,

•••母线长为后，母线与底面所成角为45°,AC=28。，

O2A=2,OXB=1,OXO2=1,

取K的位置如图所示，连接&K,

2CK=AC,NCO2K=60°,即NxO2K=30°,

则K（省』,0）,4（0,-2,0）,3（0,-1』）,。（0,2,0）,。（0』,1）,

则数=（百,3,0）,尿=（百,2,-1）,次=（百,-1,0）,派=（百,0,-

设平面A3K的法向量为力=（石,％,4）,

n-AK=0Vs%1+3%=0

则《即<

n-BK=0\/3%1+2yl-zl=Q

令X[=#>，则Zi=1,%五=（百,一1,1）.

设平面C£>K的法向量为前=（X2，%，Z2），

m-CK=0

则《

m-DK=0

令％=G，则z2=3,y2=3,m=（百,3,3）.

设平面A3K与平面CDK所成的角为。，则

\n-m\_|V3xV3+（-l）x3+lx3|_

|cos^|=

|n|-|m|V5XA/2135

4>/70

sind=Vl-cos2^=

35

17.【解析】（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率〃p）=C>p3（i—°）2i,

则/'（〃）=C；4[3p2（l—p）21—21p3（1—020[=C>3/.（—p）2O（_8p）,0<p<],

令/'（同=0,得“=：，

o

所以当O<P<：时，r（p）〉o,/（同单调递增；

8

当:<p<l时，/'（p）<0,/（p）单调递减，

故的极大值点为=;

8

（2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，

则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以，的所有可能取值为

0,1,2,3,

「3119

尸(，=o)=*=(，P(7=1)=妥=1|

心2）=詈T,PS）噌I，

则随机变量7的分布列为

70123

112184

p

35353535

E()=0xLlxU+2x"+3xJU

、,353535357

18.【解析】⑴设数列｛%,｝公比的为4,数列低｝公差的为d

x

则由4=8a5，d=8q=2,.l.an=a^c['=2",

。4=b®=16,即4=2+7d=16.1.d=2,bn=2+("—1)2=2”.

⑵设4=(/"哈哥"2

则d4n+d4n«+d4n_2+d4n_3=%+/T—4_2—/-3=128〃—48

二$4"=(4+12+4+[4)+…+(d"-3+dg+dAn_x+d4n)

_"(128〃-48+80)

-2

=〃(64〃+16)

,SQL(64”+16)・2(〃+2)(32〃+8加+2)

"nq+22”+22"

令〃“)=(32"+?〃+2),

则/(“+l)―/(7)=(32"+

2”+I2"+i

_-32H2-8«+88_4(-4«2-«+n),

可得"1）<