北京市房山区2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试

数学

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.在复平面内，复数Z对应的点的坐标是（一1，6）,则Z的共辗复数亍=（）

A.1+73/B.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共轨复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是（_1,道），根据复数的几何意义，z=-1+信，

由共辗复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D

2.在三棱柱451G中，。为棱片G的中点.设方=用/=3AAx=c,用基底｛点员可表示向

量而，则45=（）

ill

A.—aH—bcB.a+b+c

22

1-1-］一7一

C.—a----b+7cD.—a+6+c

222

【答案】A

【解析】

【分析】取的中点E，连接DE,根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】取的中点E,连接/E,DE,

因为E是的中点，Ze=1(Zs+^c),

所以而二万+历=；(而+砌+历=：(AB+A^+而三AB-h^AC+A^+L

故选：A

3.两条直线/1：x—2y—4=0与4：x—2y+l=0之间的距离是()

A.5B.1C.石D.

5

【答案】C

【解析】

【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.

|1+4|「

【详解】由两平行线之间的距离公式可得d=[7+(f.

故选：C

4.设直线/的方向向量为两个不同的平面a,尸的法向量分别为力，玩，则下列说法中错误的是()

A.若〃加，则£_L万B.若〃//加，则a//月

C.若°//〃，则/J_aD.若a_L〃，则/〃a

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可.

【详解】对于A,若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；

对于B,若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；

对于C,若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确;

对于D,若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.

故选：D

5.如图，四棱锥P—/BCD中，底面45CD是矩形，AD=2AB,0/工平面45CD,下列叙述中错误的

是（）

;

BC

A.45〃平面PCDB.PB±BC

C.PCLBDD.平面尸40,平面

【答案】C

【解析】

【分析】用线面平行的判定定理得到选项A是正确的；先证平面用4,再由线面垂直的性质定理得

到B选项正确；计算PC与3。的数量积，得到无•而W0,从而得出选项c错误；由面面垂直的判定

定理易证选项D正确.

【详解】对于选项A：在矩形45co中，CD,CDu平面PC。，48①平面PC。，

45〃平面PCD,故选项A正确；

对于选项B：尸2,平面45c5。匚平面45。。，,24,5。，

在矩形/BCD中，AB±BC,AB[}PA=A,平面用4，

所以平面用4,而PBu平面PBA，；.PB_LBC,故选项B正确；

对于选项C：因为尸2,平面/BCD,而3。u平面/BCD,所以PZLBD,

所以百•前=0,而无=百+元，

PC-BD=（PA+ACyBD=PA-BD+AC-BD=AC-BD,

在一般矩形48c。中，ZC与不垂直，所以太.前wO，即定•丽wO，PC与不垂直，故选

项C不正确；

对于选项D：尸4,平面Z3C。，尸Zu平面尸所以平面尸40,平面Z3C。，故选项D正确.

综述：只有选项C不正确.

故选：c.

6.已知M为抛物线。：/=_2外（夕＞0）上一点，M到。的焦点厂的距离为6,至口轴的距离为4,则。=

（）

A.6B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由焦半径的性质即可得.

【详解】\MF\=\y\+^=4+^=6,故夕=4.

故选：B.

7.下列双曲线中以＞=±2'为渐近线的是（）

22

A.x~-=1B.---J72=]

44-

22

C.V2--=1D.V2--=1

34

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出各个选项的渐近线，找到满足渐近线为）=±2x的方程即可.

【详解】对于选项A：由——/=1,焦点在x轴上，易得。=1,6=2,所以渐近线为y=±2x,即^=±2'，

4〃

故选项A正确；

对于选项B:由二―歹2=1,焦点在X轴上，易得4=21=1,所以渐近线为y=±'x,即y=±—X,故选

4。2

项B错误；

对于选项C:由/一（=1，焦点在y轴上，易得a=l,b=G,所以渐近线为y=±]X=土用X,即

J3

y=±—X，故选项C错误；

-3

对于选项D:由「一；=1,焦点在了轴上，易得a=l,b=2，所以渐近线为y=±£x=±gx,即y=土;x,

故选项D错误.

故选：A.

8.已知点4(-1,0),5(1,0).若直线歹二丘—2上存在点尸，使得N4P3=90。，则实数左的取值范围是

()

「叫一百］B.+oo

卜百,百］

【答案】D

【解析】

【分析】将问题化为直线＞=丘-2与圆/+/=1有交点，注意直线所过定点(0,—2)与圆的位置关系,

再应用点线距离公式列不等式求k的范围.

【详解】由题设，问题等价于过定点(0,-2)的直线y=Ax-2与圆1+/=1有交点,

又(0,—2)在圆外，所以只需/2W1,可得比

+00.

41+左-'」

故选：D

22

9.已知双曲线。与椭圆氏|^+卷=1有公共焦点，且左、右焦点分别为片，外，这两条曲线在第一象限

的交点为尸，乙是以期为底边的等腰三角形，则双曲线。的标准方程为()

A.--j2=l

3

D.=1

,3

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可.

X2V2

【详解】设双曲线。的方程为。：=+二=1,

a；b；

22

在椭圆E:土+二=1中/=25,Z?2=21,c2=tz2-Z>2=4,

2521

则a=5,c=2,因为鸟是以尸片为底边的等腰三角形，

所以归闾=闺阊=2c=4,由椭圆的定义可知，归周+户闾=2a=10,

所以归娟=6,再由双曲线的定义可得归周—归闾=2%=6—4=2,

22

所以q=1,因为双曲线。与椭圆£:三+上=1有公共焦点，

2521

所以q=2力=—a：=44-1=A/3，

故双曲线。的标准方程为f一匕=i.

io.如图，在棱长为2的正方体48co中，P为线段4G的中点，0为线段BG上的动点，则

A.存在点Q,使得PQ//BDB.存在点0,使得尸。工平面48CQ

JT

C.三棱锥4PD的体积是定值D.存在点。，使得尸。与AD所成的角为一

【答案】B

【解析】

【分析】A由AD〃用A、用2口尸。=尸即可判断；B若。为5G中点，根据正方体、线面的性质及判

定即可判断；C只需求证BG与面4PD是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.

而P为线段4G的中点，即为耳2的中点,

所以用"。尸0=尸，故5RPQ不可能平行，错;

B：若。为BG中点，则P。////,而45,2与，故尸。，48「

又/。，面4Bu面,则故

AB\CAD=4,AB},40u面ABXCXD,则尸。1面AB£D,

所以存在。使得PQ-L平面AB^D,对；

C：由正方体性质知：BCJIAD,,而2。1口面4PD=/,故BQ与面4PD不平行,

所以0在线段2G上运动时，到面4PD的距离不一定相等,

故三棱锥。的体积不是定值，错;

D：构建如下图示空间直角坐标系。—xyz,则/(2,0如),尸(1,1,2),。(2—a,2,a)且0＜。＜2,

所以方=(2,0,0),PQ=^-a,l,a-2),若它们夹角为。，

CI2(1—a)||1-«|

则cos0=|-----1|=———,=-,

2x-a)?+1+(Q-2)2V2.J/一3〃+3

cos0--------—------------------

令/=l—ae[T[]，则V2-VPT7+TR.L11

当/e(0,1],则「[L+co),cos0e

当/=0则cos6=0；

16

当/e[-1,0),贝I]：e(-oo,-l],cos6e(0,^-];

所以cos巴=9■不在上述范围内，错.

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.若直线2x+(l—a)>+a=0与直线依+歹+2=0垂直，则0的值为—.

【答案】-1

【解析】

【分析】由两直线垂直的条件求解.

【详解】结合题意：由两直线垂直可得：2a+(l-a)xl=0,解得：«=-1.

故答案为：-1.

12.复数（2-，）2的实部为.

【答案】3

【解析】

【分析】利用复数的乘法化简复数（2-if,由此可得出复数（2-炉的实部.

【详解】•.•（2-z）2=4-4z+z2=3-4z,因此，复数（2-炉的实部为3.

故答案为：3.

13.已知圆4：/+。一1）2=1,。2：（工一百）2+/=/&>0）.则圆G的圆心坐标为—；若圆G与圆。2内

切，贝!1厂=—.

【答案】®.（0,1）②.3

【解析】

【分析】第一空：由圆标准方程即可得出圆心坐标.第二空：由几何关系表示出内切即可.

【详解】/_1）2=1=圆心为（0,1）,半径矢=1；

（x-百r+/=/n圆心为（百⑼,半径厂；

则d=《0_逝『+(1_0)2=2

设两圆的圆心距为d,

由几何关系知两圆内切nr=d+八=2+1=3.

14.如图，在正方体48Go-4司。1。中，直线/耳与直线3G所成角的大小为—；平面48CD与平面

/C用夹角的余弦值为

D]C,

【答案】0.45°##-②.—

43

【解析】

【分析】根据线线角、面面角等知识求得正确答案.

【详解】由于AB〃na，所以NB/B是异面直线451与直线QG所成角或其补角,

而四边形是正方形，所以/445=45。.

连接AD交ZC于。，则NC工3D,连接。耳，

由于48]=80,。是ZC的中点，所以。鸟，ZC,

所以NBQB是平面ABCD与平面ACBX夹角,

2

设正方体的边长为2,则BBl=2,0B=亚QB[=^2+（正『=加，

V2_73

所以在直角三角形0A8]中,cosNBQB=

V6-3

15.已知直线4:3x-〉+l=0,A：x+V-5=0,4：x-即一3=0,则乙与4的交点坐标为;若

直线4,/2,/3不能围成三角形，写出一个符合要求的实数。的值.

【答案】①.（1,4）②.答案不唯一（只需写出-1,-上工中的一个即可）

23

【解析】

【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线4,，2,4不能围成三角形的条件，分别解出。即可.

3x-j+1=0x=1

【详解】解方程组《所以4与4的交点坐标为。,4）；

x+y-5=0y=4

由x—砂—3=0得，直线4恒过定点（3,0）；若直线4,附4不能围成三角形，

只需4经过（L4）,或4与4平行，或6与4平行.

当4经过（1,4）时，图1所不，1—4a—3=0,「♦a=—5；

当4与4平行时，图2所示，-3。=一1,a=~；

3

当，2与4平行时，图3所示，一4=1,，"-1.

故答案为：（L4）一或—（只需写出中的一个即可）.

图2

图3

16.已知曲线/:》2+必=机，生：/+/二小⑺〉。），给出下列四个命题：

①曲线％关于无轴、了轴和原点对称；

②当加=1时，曲线％,%共有四个交点；

2242

②当加=1时，^:x+y=l,W2:x+y=l

③当加=2时，曲线名围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3；

④当0〈加＜1时，曲线幽围成的区域面积大于曲线唯围成的区域面积.

其中所有真命题的序号是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】①将点（x,-y）,（-x/）,（-x,-_y）代入方程，判断方程是否满足/+必=加（加＞o）即可；②联立

曲线方程求得了=0或*=±1,进而求交点个数；③④由曲线?是圆心为原点，半径为血的圆，利用二

次函数性质求曲线名上任意一点（xj）到原点距离d的范围，结合对称性即可判断.

【详解】①设点（x,y）在％:x2+y-（m＞0）±,

对于点（x,—y）,代入方程—+（-4=/+/=加，也在?上；

对于点（-X/）,代入方程（―xp+j?=炉+/=加，也在?上；

对于点（一羽一了），代入方程（-x）2+（-月2=%2+/=加，也在/上；

所以曲线/关于x轴、y轴和原点对称，正确；

②联立可得/+1—彳2=1，即必卜2—1）=00%=0或》=±1,

当x=0时，都有y=±l,即存在交点（0,—1）,（01）；

当*=±1时，都有y=0,即存在交点（—1,0）,。,0）；

综上，共有四个交点，正确；

42

③当加=2时，贝1]W2:x+y=2,

故/=2-xbo,可得—血

曲线唯上任意一点（x,y）到原点距离

结合对称性知：曲线名对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离

的最大值是3,正确.

④当0＜小＜1时，对于曲线?是圆心为原点，半径为血的圆，

设曲线/围成的区域为Q,曲线%围成的区域为02，

设VP（x,y）eQ],贝！〈加，故V〈加〈而，

故9＜彳2,故—+/〈加，故尸（x,y）在G的内部,

故Q的面积不大于2的面积，故④错误.

故答案为：①②③

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.已知复数z=l—2i.

（1）求|z|；

z

（2）若Z]=----7，求当；

3+41

（3）若|Z2|=V^，且ZZ2是纯虚数，求Z2.

【答案】（1）V5

⑵二二i

55

（3）z2=2—iz2——2+i

【解析】

【分析】（1）根据模的计算公式直接求解;

（2）利用复数的除法进行计算；

(3)设Z2=a+加，根据条件列方程求解即可.

【小问1详解】

|Z|=712+(-2)2=V5；

【小问2详解】

_2_1-2i_(l-2i)(3_4i)_3-4i-6i+8i2_-5-10i

4—3+41-3+4i-(3+4i)(3-4i)-32_(4i)2—————；

【小问3详解】

设=a+bi,

22

则|z2|=y/a+b=yj~5,所以"+〃=5①

zz2=(l—2i)(a+bi)=(Q+2b)+(b—2a)i,

因为ZZ2是纯虚数，所以a+26=0,Z?-2aw0②

a=2[a=—2

由①②联立，解得[1或｛,1

b=-l[b=I.

所以Z2=2-i或Z2=-2+i.

18.已知AABC的三个顶点分别为41,3),5(3,1),C(-1,O).

(1)设线段48的中点为求中线CM所在直线的方程；

(2)求边上的高线的长.

【答案】⑴2x-3y+2=0

⑵

2

【解析】

【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为"的坐标，再根据点斜式即得中线CA/所在直线的方

程；

（2）由题意可得直线N3的斜率，由直线的点斜式可得方程x+y-4=0,然后由点C到直线的距离

公式代入可求得AB边上的高线的长.

【小问1详解】

设〃的坐标为(玉),%),则/=；—=2,yQ==2,

即M(2,2),所以kMC=^-=^,

2

则中线CM所在直线方程为y=§(x+l),即2x—3y+2=0.

【小问2详解】

1—3

由题意得"——=-1.

3-1

则直线AB的方程为y-3=-1(%-1),即x+y—4=0

。中，N5边上的高线的长就是点C到直线的距离^H1+°~4,=—.

V22

19.已知直线/：y=—x+2与抛物线C：V=8》相交于43两点.

(1)写出抛物线。的焦点坐标和准线方程；

(2)求弦长|/国.

【答案】(1)焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2

(2)16

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程即可；

(2)直线与抛物线方程联立，根据弦长公式求得弦长.

【小问1详解】

由抛物线C的方程可知夕=4,抛物线开口向右，

所以抛物线C的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.

【小问2详解】

将y=—x+2代入=8%，整理得X2—]2X+4=0.

设)(占,必),3(冷必)，则%+尤2=12,卒2=4,

所以|/同=行XJ(X]+X2)2_4X|X2=拒X,122-4x4=16.

20.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，VADE是等边三角形,平面ADE1平面ABCD,

EF//AB,EF=T,AB=2,O是40的中点.

(2)求直线48与平面8c尸所成角的大小;

(3)求三棱锥E-3C尸的体积.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直；

(2)建立空间直角坐标系，然后利用向量发求线面角；

(3)先利用向量法求点到面的距离，然后利用体积公式求解棱锥体积.

【小问1详解】

因为V4DE是等边三角形，。是40的中点，

所以E0±AD.平面4DE,

又平面ADE1平面ABCD,平面ADEPl平面ABCD=AD,

所以£0,平面/BCD；

【小问2详解】

记的中点为。，易知石。,。4。。两两互相垂直，

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-乎.

则A(l,0,0),BQ,2,0),C(-1,2,0),E(0,0,6),尸(0,1,⑨,

所以无=(2,0,0),而=(-1,-1,肉，刀=(0,2,0),

设平面8cF的一个法向量为万=(x,y,z),

则〈一L令z=l,此时元=(0,G,l).

n-BF=-x-y+y]3z=0.

设直线48与平面5Cb所成角为e,则

/—,、148词|0x0+2x>/3+0x11/?

sin8=cos(48㈤—--------/---——

'/\AB^n\2xV0+3+l2

jr

所以直线48与平面BCR所成角为一；

3

【小问3详解】

设点E到平面BCF的距离为〃，丽=(0,1,0),

,\EF-ri\0x0+1x73+0x173

则％==-------——=—.

同A/O+3+I2

由平面几何知识，易知在直角梯形EFQO中&=小商n=2,

所以/