2023-2024学年人教版八年级数学上册期末复习：整式的乘法与因式分解（易错必刷30题10种题型专项训练）解析版

猜想04整式的乘法与因式分解（易错必刷30题10种题型专项训练）

*题型目录展示土

一.塞的乘方与积的乘方（共4小题）二.同底数塞的除法（共2小题）

三.多项式乘多项式（共4小题）四.完全平方公式的几何背景（共4小题）

五.完全平方式（共2小题）六.平方差公式（共3小题）

七.平方差公式的几何背景（共3小题）八.整式的除法（共3小题）

九.因式分解的意义（共2小题）十.因式分解的应用（共3小题）

一题型通关专训♦

一.塞的乘方与积的乘方（共4小题）

1.（2023春•顺义区期中）已知2。=5,取=7,则2a+28的值是（）

A.35B.19C.12D.10

【分析】利用幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法法则进行计算，即可解答.

【解答】解：：2。=5,4b=7,

•2。+2、一2〃•

=2。.（22）b

=2。・46

=5X7

=35,

故选：A.

【点评】本题考查了事的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键.

2.（2023春•宝塔区期末）若x,y均为正整数，且尹］⑷=128,贝。x+y的值为（）

A.3B.5C.4或5D.3或4或5

【分析】先把2什1•。化为2/1+2>,128化为27,得出x+l+2y=7,即x+2y=6因为x,y均为正整数，求出

x,y,再求了出％+y.,

【解答】解：・.・2%+1卬=2户1+2匕27=128,

••.x+l+2y=7,BPx+2y=6

•・・％,y均为正整数，

.•卜2或产

1y=21y=l

.,.x+y=5或4,

故选：C.

【点评】本题主要考查了事的乘方，同底数塞的乘法，解题的关键是化为相同底数的幕求解.

3.（2023秋•叙州区校级月考）给出下列等式：①326）4（-2Z^-«）5=（。+22）9；②2§・25=26；③/"

=（-am）2；④/，”=（_/）m.其中正确的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解:①Q+26）4（-2b-a）5=_（a+2b）9,故①错误；

②25.25=21。，故②错误；

m

③人=（-a）2,故③正确；

@a2m=（-/），"（根为偶数），故④错误；

所以，上列等式，其中正确的有1个，

故选：A.

【点评】本题考查了幕的乘方与积的乘方，同底数幕的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键.

4.（2023秋•东城区校级期中）若。'〃=2,a”=3,则/利+〃=合.

【分析】根据同底数基的乘法与累的乘方的性质，即可得=（/）2./,又由心=2,d°=

3,即可求得答案.

【解答】解：,:0m=2,。"=3,

：.a2m+n=a2m-an=（〃"）2*an=22X3=12.

故答案为：12.

【点评】此题考查了同底数塞的乘法与塞的乘方的性质.此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：（"）

"=/〃（〃是正整数）与同底数幕的乘法法则：（加，w是正整数），注意公式的逆用.

二.同底数暴的除法（共2小题）

5.（2023秋•龙华区校级期中）下列计算正确的是（）

A.tz3+（74=a7B.（/）2=a5

C.（-oZ?3）2=-a2b6D.a9-v-a6=a3

【分析】根据同底数募的除法，合并同类项，累的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、/与相不能合并，故人不符合题意；

B、（/）2—a6,故B不符合题意；

C、（-ab3）2—（rb6,故C不符合题意；

D、a9-i-a6=a3,故。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了同底数塞的除法，合并同类项，累的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题

的关键.

1R40

6.（2023秋•叙州区校级月考）已知那么2016"「〃=（）

344340

A.0B.1C.2016D.20162

【分析】根据同底数基的除法，幕的乘方与积的乘方法则，零指数幕进行计算，即可解答.

154(3X5)434X5454

【解答】解:

34444n40

m-n—0f

.,.2016mw=2016°=l,

故选：B.

【点评】本题考查了同底数暴的除法，零指数累，塞的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的

关键.

三.多项式乘多项式（共4小题）

7.（2023秋•长沙期中）若（%-2）（x+3）=j?+mx+n,则〃?、〃的值分别是（）

A.m=Ln=6B.机=1,-6C.机=5,YI~~~6D.机=5,〃=6

【分析】运用多项式乘多项式的计算方法求解（尤-2）（x+3）,再分别求得很，”的值.

【解答】解：；（尤-2）G+3）

=/+x-6,

•*1,-6,

故选：B.

【点评】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算.

8.（2023秋•榆树市校级月考）如（x+〃z）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则根的值为（

A.-3B.3C.0D.1

【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项,

令x的系数为0,得出关于机的方程，求出机的值.

【解答】解：（元+/”）（x+3）—^+3x+im+3m—JC+（3+〃z）x+3m,

又：（x+，〃）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，

.,.3+m=Q,

解得m=-3.

故选：A.

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于。列式

是解题的关键.

9.（2023秋•洛阳期中）［知识回顾］

有这样一类题：代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值；

通常的解题方法；把x,y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与无的取值无关，所以含

尤项的系数为0,即原式=（a+3）x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

［理解应用］

（1）若关于x的多项式（2加-3）X+2/"2-3机的值与x的取值无关，求机的值；

（2）已知3［（2尤+1）（x-1）-x（1-3y）］+6（-x1+xy-1）的值与无无关，求y的值；

（3）（能力提升）如图1,小长方形纸片的长为人宽为6,有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地

放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为Si,左

下角的面积为S2,当AB的长变化时，Si-S2的值始终保持不变，求。与6的等量关系.

【分析】⑴42m-3—0,解出机的值即可；

（2）将原式中的y看作系数合并同类项，令x的系数为0,求出y值即可；

（3）设AB=x,根据图形分别将Si和S2用x、。和b表示出来，求出Si-S2的表达式并合并同类项,

令尤的系数为0,求出。和6的等量关系即可.

【解答】解：(1)•・•关于x的多项式(2m-3)x+2m2-3m的值与x的取值无关，

2m-3=0,

•.*i_n—3•

2

(2)3[(2x+l)(x-1)-x(1-3y)]+6(-/+尤y-1)

=3[2/-x-1-x(1-3y)]+6(-/+盯-1)

=-3(2-5y)x-9.

V3[(2尤+1)(x-1)-x(1-3y)]+6(-x2+xy-1)的值与x无关，

：.2-5y=0,

・.・y=—2.

5

(3)设由图形得Si=〃(x-3Z?),S2=2b(%-2〃)，

.'.Si-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab.

•・,S1-S2的值始终保持不变，

/.(a-2b)x+ab与x无关,

.\a-2b=0,

•・a=2b.

【点评】本题考查多项式乘多项式及合并同类项，熟练运用它们是本题的关键.

10.(2022秋•南昌期末)(1)如果(x-3)(x+2)^r+mx+n,那么m的值是-1,n的值是-6；

(2)如果(x+a)(x+6)=x^-2x+—,

2

①求(A-2)(6-2)的值；

②求的值.

2,2

ab

【分析】(1)先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，列等式，计算；

(2)先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，求出(a+b)、他的值，①把(a+b)、"的值代入整

理后的整式计算即可；

②通分后，配方，再把(。+6)、ab的值代入后计算.

【解答】解：(1),/(x-3)(x+2)=^+iwc+n,

.".JT-x-6=x+iwc+n,

•*TH~~-1,-6,

故答案为：-1,-6；

⑵,*(x+a)(x+b)=X2-2X-^~,

••。+b-2,ab=1，

2

①(〃-2)Qb-2)

=ab-2(〃+/?)+4

=y-2X(-2)+4

_-1,7

2

ab

=(1+b)，-2ab

―272+1

ab

n

=13.

【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，等式的恒等性、整体性、配方是

解题的关键.

四.完全平方公式的几何背景(共4小题)

11.(2023秋•安溪县期中)如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形.

(1)若用不同的方法计算这个边长为(a+6+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式为

(a+b+c)2=。2+/+。2+2(ab+ac+bc)；

(2)若实数a,b,c满足2。若舞8。=16,a2+4/j2+9c2=30,求2a6+3℃+6数的值.

【分析】(1)用两种方法计算正方形的面积：一是先计算正方形的边长，再根据正方形的面积公式计算;

二是对各部分图形的面积求和进行计算.这两种方法计算的结果相等；

(2)将2。・型・8。=16中的暴和16化为以2为底的塞，得到小b、c的关系式，将该关系式等号两边同

时平方并按照(1)中的等式展开，再利用。2+462+902=30求出2a6+3ac+66c的值即可.

【解答】解：(1)(方法一)S正方形=(q+6+c)2,

(方法二)S正方形=。2+。6+。。+。6+匕2+6。+。。+6什。2=。2+62+。2+2(a6+ac+6c),

/.(a+6+c)2=a2+/72+c2+2(ab+ac+bc).

故答案为：(a+b+c)~=a~+b~+c~+2(ab+ac+bc).

(2)：.2a-4b-8c=2a-22b-23c=2a+2b+3c=16=24,a2+4b2+9c2=30,

a+2/?+3c=4,

(a+2b+3c)2=a2+(26)2+(3c)2+2(a・26+a・3c+26・3c)=a2+4b2+9c2+2(2ab+3ac+6bc)=16,

即30+2C2ab+3ac+6bc)=16,解得2H?+3ac+6儿=-7.

【点评】本题考查完全平方公式及其几何背景、同底数塞的乘法等，熟练掌握它们是本题的关键.

12.(2022秋•二道区校级期末)对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等

式.

(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：(a+b)2=屋+.+2".；

(2)解决问题：如果a+b=347,ab=12,求/+贬的值；

(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8-尤)和(尤-2),且(8-尤)2+(x-2)2=20,求

这个长方形的面积.

【分析】(1)用两种方法表示同一个图形面积即可.

(2)用(1)中得到的公式计算.

(3)将8-尤，x-2当成两个字母后用公式.

【解答】解:(1)图中大正方形的面积可以表示为：(。+6)2

还可以表示为：cr+lr+lab.

•*.(a+b)2=/+匕~+2。6.

故答案为：(。+。)2=«W+2^.

(2)*.*(〃+/?)2=a2-^-b2+2ab,

/.a2+b1=(〃+/?)2-lab

=(377)2-24

=63-24

=39.

(3)设q=8-x,b=x-2,

贝！J〃+Z?=6,a2+b2=20.

*.*(Q+Z?)2=a2+b2-^-2ab.

・'.36=20+2次?.

••cib=8.

，这个长方形的面积为：（8-x）（x-2）=ab=S.

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方

公式的结构特征是求解本题的关键.

13.（2023秋•方城县月考）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为。的正方形A纸片、1张边长为

b的正方形3纸片和2张宽和长分别为〃与匕的长方形。纸片，拼成了如图②中的大正方形.观察图形

并解答下列问题.

（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积（答案直接填写到横线上）；

方法1：（〃+■）2；方法2：〃2+2仍+—；从而可以验证我们学习过的一个乘法公式（〃+匕）2

=〃2+2〃/?+廿.

（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2〃+b）（〃+2万）的大长方形，求需要A、B、。三种纸片各多少

张;

（3）如图③，已知点C为线段A5上的动点，分别以AC、8C为边在A5的两侧作正方形ACDE和正方

形BCPG.若AB=6,且两正方形的面积之和SI+S2=20,利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面

积.

【分析】（1）先表示面积，再求关系.

（2）先表示大长方形的面积，再确定三种纸片张数.

（3）通过（1）中结论计算.

【解答】解：（1）大正方形的边长为：a+b,面积为（a+b）2；

还可以用1张A,B,两张C拼出，

.•.面积还可以为：c^+lab+b1-,

（a+b）2—a2+2ab+b2.

故答案为：（a+b）%c^+2ab+b^）（a+b）~=a^+lab+b^.

（2）,/（2a+b）（a+2b）=2/+5仍+2户，

...所需A、8两种纸片各2张，C种纸片5张.

（3）设AC=a,BC=CP=6则“+b=6,

VSI+S2=20,

：.a2+b2=2Q

*/（a+6）2=cr+2ab+b2,

a^+b2—（a+6）2-2ab,

20=62-2ab,ciZ?=8,

'S阴影亍b=4-

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键.

14.（2023•永修县开学）如图①，是一个长为27心宽为2〃的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开,

把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）.

（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为m-n（用含机，〃的式子表示）；

（2）观察图②，写出代数式（m+n）2,（加-”）2与之间的等量关系；

（3）根据（2）中的等量关系解决下面的问题：

（z）若加+〃=7,mn=5,求（机-〃）？的值；

（万）若a+上=3,求的值.

a_2

mm

2

图①

【分析】(1)观察图形即可.

(2)通过面积找到三者间的关系.

(3)利用(2)中关系计算即可.

【解答】解：(1)图②中画有阴影的小正方形的边长(m-Q；

故答案为：m-n.

(2)图②中画有阴影的小正方形的边长(m-力,面积为：(“Z-")2

(图②中画有阴影的小正方形的面积还可以表示为：(机+〃)2-4mn.

(m-n)2=(m+n)2-4mn.

(3)(i)(m-n)2=(m+n)2-4mn=49-20=29.

(z7)〃2+_JL=-2=9-2=7.

a，a

【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，观察图形，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的

关键.

五.完全平方式(共2小题)

15.(2023秋•滨海新区校级期中)若/+妙+49是一个完全平方式，那么加的值为()

A.7B.14C.-14D.±14

【分析】首末两项是x和7这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和7积的2倍.

【解答】解：•.•/+办:+49是一个完全平方式，

.，.@x2+mx+49=(x+7)2+(m-14)x,

.*.m-14=0,m=14；

(2)x2+mx+49=(x-7)2+(m+14)x,

m+14=0,m=-14；

*.m=±14；

故选：D.

【点评】本题考查了完全平方公式的运用.解题的关键是掌握完全平方公式：两数的平方和，再加上或

减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.

16.（2022秋•青云谱区期末）若257+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是10x或-

10x或空殳X4.

4一

【分析】把257看作中间项或第一项，根据完全平方公式可解答.

【解答】解：①25/是平方项时，25?±10x+l=（5x±l）2,

可添加的项是10尤或-10x,

42

②25?是乘积二倍项时，^|ix+25x+l=（等*2+1）2,

.•.可添加的项是包

4

综上所述可添加的项是：10x或-10x或些x土

4

故答案为：10x或-10尤或"x上

4

【点评】本题主要考查了完全平方、多项式，掌握满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和/-2ab+b2

两种，分情况讨论是解题关键.

六.平方差公式（共3小题）

17.（2023秋•路南区期中）若x+y=5,x-y=6,则f-『的值为（）

A.1B.11C.30D.35

【分析】根据平方差公式，进行计算即可解答.

【解答】解：：x+y=5,x-y=6,

/.x2-y2=（尤+y）（x-y）=5X6=30,

故选：C.

【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

18.（2023秋•尧都区期中）已知。+6=6,则/-庐+即匕的值为（）

A.6B.12C.24D.36

【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值.

【解答】解：：a+b=6,

.,.a2-b2+12b

—(<7+Z;)(a-b)+12Z?

=6(a-b)+126

=6a-66+126

=6a+6b

=6(a+6)

=6X6

=36,

故选：D.

【点评】此题主要考查了因式分解法的应用，解题的关键是能够正确利用平方差公式进行因式分解.

19.(2023秋•衡南县期中)下列能使用平方差公式的是()

A.(x+3)(x+x)B.(-x+y)(尤-y)

C.(—m+n)(-—m-n)D.(3m+n)(3m-n)

22

【分析】利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案.

【解答】解：(x+3)(x+尤)，不符合平方差公式的特点，

二选项A不符合题意；

(-x+y)(x-y)=-(尤-y)2,

选项B不符合题意；

,J-77)=-(工77+w)2,不符合平方差公式的特点，

222

选项C不符合题意；

*/(3m+n)(3m-n~),符合平方差公式的特点，

.•.选项D符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决

问题的关键.

七.平方差公式的几何背景(共3小题)

20.(2022秋•离石区期末)在边长为。的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形把余下的部分剪

拼成一个矩形(如图)，通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是(

a

b

A.cz2-ab—a(a-b)B.a2-b2—Ca+b)(a-b)

C.(a+b)"=ct^+2,ab+b^D.(a-b)2=a2-2ab+b2

【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积

为次-廿；因为拼成的长方形的长为(a+匕)，宽为(a-b),根据“长方形的面积=长义宽”代入为：(a+b)

X(a-b),因为面积相等，进而得出结论.

【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为/-院；

拼成的长方形的面积：(a+b)X(a-b),

所以得出：a2-&2—(a+b)(a-b),

故选：B.

【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根

据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论.

21.(2022秋•海珠区校级期末)如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为6的小正方形后，将剩余部分

通过割补拼成新的图形.根据图形能验证的等式为()

口工

A.a1-b2=2B.a2-b2=(a+Z?)(〃-/?)

C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(〃+/?)2=a2+2ab+b2,

2

【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=/-b,新的图形面积等于(a+b)

(a-6),由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论.

【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为/-房；

剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为(a+6)(a-6),

••.前后两个图形中阴影部分的面积相等，

/.a2-b2—(a+b)(a-b).

故选：B.

【点评】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的

面积不变得到等量关系.

22.(2023•无为市校级开学)如图1,边长为。的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部

分拼成一个长方形(如图2所示).

A.a2-b2=(a+b)(a-b)

B.cr-2ab+b2—(a-b)2

C.a1+ab=a(a+6)

(2)请利用你从(1)选出的等式，完成下列各题：

①已知4/-庐=24,2a+b=6,则2a-b=4.

②计算：(1-_1_)(1-_L)(1-_1_)-(1-_1_)(]-_A_).

22324292102

【分析】(1)用两种方法表示阴影部分的面积即可.

(2)利用(1)中得到的平方差公式计算.

【解答】解：(1)图1中阴影部分的面积=。2-庐，图②中阴影部分的面积=(a+b)Qa-b).

a2-b2=(a+b)(a-b).

故选A.

(2)@V(2a+b)(2a-b)=4/-次

：.6(2a-b)=24,

；.2a-6=24+6=4.

故答案为：4.

②(4)(号)(懵…懵)(1备尸

(1卷)(1蒋)(4)(1卷)(T)a中…(T)(吗)(/)(1由

■^x4x4x4x'Tx'Tx'"x4x^x^rx4^

223344991010

▲2*x旦10

=11

20

【点评】本题考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求

解本题的关键.

八.整式的除法（共3小题）

23.（2023秋•龙华区校级期中）计算（/y）（2口）3的正确结果是（）

A.—v^VB.—v^VC.—V3D.—V3

6868

【分析】先算乘方，再算除法，即可解答.

【解答】解：（4）3+（2孙）3

-lx3

8

故选：D.

【点评】本题考查了整式的除法，暴的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键.

24.（2023秋•朝阳区校级月考）一个三角形的面积是8（/匕）3,它的一边长是（2ab）2,那么这条边上的

高为（）

A.2a4bB.4a4bC.2拼bD.4否

【分析】依据题意，由三角形的面积公式可得高，进而计算可以得解.

【解答】解：由题意，：三角形的面积=边乂高+2,...高=2X面积+边.又一个三角形的面积是8（/匕）

3,它的一边长是（2而）2,.•.这条边上的高为2X8（/匕）34-（2aZ?）2=16a6Z;34-4aV=4a4/?.故选:

B.

【点评】本题主要考查了整式的除法的应用以及三角形的面积计算公式，解题时要熟练掌握并理解是关

键.

25.(2023春•房山区期末)计算：(8a4+6a)4-2a=4a3+3

【分析】依据题意，由整式的除法运算法则可以得解.

【解答】解：原式=8於办+6。+2a

=4a3+3.

【点评】本题主要考查了整式的除法，解题时需要熟练掌握并准确计算.

九.因式分解的意义(共2小题)

26.(2023秋•晋江市期中)下列从左到右的变形为因式分解的是()

A.aCx-y)=ax-ay

B.x2-2x+3=x(x-2)+3

C.x2-4/=(x+2y)(x-2y)

D.xy-1=xy(1-」-)

xy

【分析】运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解.

【解答】解：(x-y)="-故是单项式乘单项式运算，

・•・选项A不符合题意；

Vx(x-2)+3不是整式的乘积形式，

选项B不符合题意；

Vx2-4/=(x+2y)(x-2y)是因式分解，

・•・选项。符合题意；

•孙(1-」^)中含有分式，

xy

・,・选项。不符合题意，

故选：C.

【点评】此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义进行求解.

27.(2023秋•东城区校级期中)因为f+x-6=(x+3)(x-2),令f+x-6=0,则(x+3)(%-2)=0,x

=-3或％=2,反过来，冗=2能使多项式/+%-6的值为0.

利用上述阅读材料求解：

(1)若％-4是多项式/+妙+8的一个因式，求机的值；

(2)若(x-1)和(%+2)是多项式I+QX2-5%+。的两个因式，试求b的值；

(3)在(2)的条件下，把多项式丁+QX2-5x+b因式分解的结果为(x-1)(x+2)(x-3).

【分析】(1)由已知条件可知，当％=4时，/+加什8,将元的值代入即可求得；

(2)由题意可知，％=1和工=-2时，-5x+b=0,由此得二元一次方程组，从而可求得〃和b的

值；

(3)将(2)中4和匕的值代入丁+以2一5%+4提取公因式羽则由题意知(x-1)和G+2)也是所给

多项式的因式，从而问题得解.

【解答】解：(1),.”-4是多项式尤2+7ra^+8的一个因式，

.,.尤=4时，X2+ZTTX+8=0,

•,*16+4AH+8—0,

/.4m=-24,

•・in^~-6,

:.m的值为-6.

(2),/(x-1)和(x+2)是多项式I+QX2-5%+b的两个因式，

・•.％=1和x=-2时，jc"+aj?-5x+b=0,

.(l+a-5+b=0

'l-8-2a+10+b=0，

解得卜=2,

lb=2

：.a.6的值分别为2和2.

(3),：a=2,b=2,

；./+办2-5尤+>可化为：/+2/-5尤+2,

•,.X3+2X2-5x+2

=(x-1)(尤+2)(x-3).

故答案为:(尤-1)(x+2)Cx~3).

【点评】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键.

十.因式分解的应用(共3小题)

28.(2023春•渠县校级期末)已知a、b是4ABC的两边，且满足a2-b2=ac-be,则AABC的形状是等

腰三角形.

【分析】依据题意，由a?-b2=ac-be得(a+6)(a-b)-c(a-b)=0,再进行适当变形得(a-b)

Ca+b-c)=0,结合三角形两边之和大于第三边，有a+6>c,从而可以得解.

【解答】解：

(〃+Z?)(4-/?)-cCa-b)=0.

/.(〃-b)(a+b-c)=0.