人教版九年级数学上册专项复习：圆的综合问题（专项突破）解析版

专题14圆的综合性问题

【思维导图】

◎突破一：圆与三角形的综合问题

例.(2021•江苏南通・一模)

(1)如图1,CA=CD,Z1=Z2,BC=EC.求证：ZA^ZD.

(2)如图2,按以下步骤画图：

①以线段A8的中点。为圆心，以AO的长为半径画半圆；

②分别以点A,点8为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C,点D；

③连接。C,OD,CD.若A8=4,求△。。。的面

【答案】(1)证明见解析

⑵①作图见解析，②作图见解析，③6

【分析】(1)根据SAS证明AACB段△£>£(:即可.

(2)证明△COD是等边三角形，即可解决问题.

⑴

证明：如图所示:

A

VZACB=Z1+ZACE9NDCE=/2+NACE,

N1=N2,

ZACB=ZDCE,

在△人3。和4DEC中，

CA=CD

<ZACB=ZDCE,

CB=CE

:•△ABCQ^DEC(SAS),

NA=N。；

(2)

解：如图2中，连接ACBD.

由作图可知，AC=OA=OC=BD=OD=OB,

：.AAOC,△3。。都是等边三角形，

・•・ZAOC=ZBOD=60°,

・・・NCOZ)=60。,

•••△COO是等边三角形,

:.SCOD=^-X22=G

A4

【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握

全等三角形的判定方法是解题的关键.

专训1.(2022•内蒙古包头•中考真题)如图，AB为。的切线，C为切点，D是。上一点，过点。作

DF1AB,垂足为凡DF交O于点、E,连接EO并延长交匚。于点G,连接CG,OC,O£),已知

ZDOE=2ZCGE.

备用图

(1)若匚。的半径为5,求CG的长；

(2)试探究OE与所之间的数量关系，写出并证明你的结论.(请用两种证法解答)

【答案】(1)573

Q)DE=2EE,证明见解析

【分析】(1)由题意得，NCOE=2NCGE,根据/Z)OE=2NCGE得NCOE=/DOE,根据切线的性质得

OC±AB,即NC»CB=9O。，根据题意得“£8=90。，贝UNOCB==90。，即可得OC〃。/，根据角

之间的关系和边之间的关系得ODE是等边三角形，即可得.../DOE=60。，则NCGE=30。,根据题意得，

GE=10,ZGCE=90°,在RfGCE中，根据锐角三角形函数即可得；

(2)方法一：根据题意和边、角之间得关系得，△3£为等边三角形，可得NECF=30。,在RfCEF

中，根据直角三角形的性质得跖=：CE,即。£=2£F；方法二：连接CE,过点。作垂足

为H,根据题意得，NOCB=NDFC=90。,即四边形。CFH是矩形，所以Cb=OH,根据等边三

角形的性质得=根据边之间的关系得CE=。。根据HL得M.CFEZ用即可得

EF=EH,所以DH=EH=EF,即可得£>E=2£F.

(1)

解：如图所示，连接CE.

-CE=CE，

：.ZCOE=2ZCGE,

,:NDOE=2/CGE,

：./COE=/DOE,

•「AB为。的切线，C为切点,

.・・OC.LAB,

：.NOCB=90。,

VDFYAB,垂足为尸，

・•・NDFB=90。,

JZOCB=ZDFB=90°f

:.OC//DF,

：.ZCOE=ZOED,

：.NDOE=/OED,

OD=DE.

OD=OE,

・•・QDE是等边三角形，

：.ZDOE=60°,

：.ZCGE=30°.

・・,一O的半径为5,

JGE=10,

•；GE是。的直径，

.ZGCE=90°,

.在HrGCE中，GC=G^・cosNCG^=10xcos300=5jL

(2)

DE=2EF,证明如下

证明：方法一：如图所示,

ZCOE=ZDOE=60°f

•**CE=DE，

：.CE=DE.

OC=OE,

•••△OC石为等边三角形，

・•・NOCE=60。.

ZOCB=90°,

・•・/ECF=30。.

・••在CEF中,EF=^CE,

：.EF=-DE,

2

即DE=2EF；

方法二：如图所示，连接CE,过点。作尸，垂足为H,

・•・=90°,

ZOCB=ZDFC=90°,

・•・四边形OCT”是矩形，

:.CF=OH,

・・・.QDE是等边三角形，

:.DE=OE,

丁OHLDF,

:.DH=EH,

•・・NCOE=/DOE,

：・CE=DE，

：.CE=DE,

：.CE=OE,

：.CE=OD,

•：CF=OH,

在RtACFE和RtAOHE中，

[CE=OD

[CF=OE

：.RtCFE^RtOHE(HL),

EF=EH,

・•・DH=EH=EF,

・•・DE=2EF.

【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的

判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点.

专训2.(2022・河北・廊坊市第四中学二模)如图，已知AC为不完整。的直径，A5为弦且48=4指，

NACB=60。，点M、N为：。上的点，连接MN,点N从点A开始沿优弧AC5运动，当点〃与点5重合

时停止.已知MN=4,以MN为直径向。内作半圆P.

M

)\C/\C

O

fB

(1)求。的半径；

(2)当点N与点A重合时，求半圆尸与AC所围成的弓形的面积；

(3)①点P的运动路径长是；

②当半圆P与AC相切时，求0P与AC夹角的正切值.

【答案】(1)4

唁-君

⑶①2信；②史

2

【分析】(1)根据AC为。的直径，可得/ABC=90。，再由锐角三角函数，即可求解；

(2)设圆尸交AC于点。,连接尸O,OM,PQ,可证得△是等边三角形，从而得到/。4M=60。，

AP=2,进而得到AAP。为等边三角形，再由半圆P与AC所围成的弓形的面积等于S扇形"2-S"。，即可

求解；

(3)①由BC=4,MN=4,可得点尸的运动轨迹为以O圆心，。尸长为半径的半圆，求出OP,即可求

解；②设半圆P与AC相切于点。，连接P。，OP,分两种情况讨论：当点。在线段OC上时，当点。在

线段OA上时，即可求解.

(1)

解：：AC为：。的直径，

ZABC=90°,

=ZACB=&)°,

“AB4A/3E

••sinABACv3，

T

：.BC=4,

的半径为4；

(2)

解：如图，设圆尸交AC于点。，连接尸O,OM,PQ,

由（1）得：0A=0M=4,

•：MN=4,

：.OA=AM=OM,

是等边三角形,

AZOAM=60°,AP=2,

u

：AP=PQf

•••△AP。为等边三角形，

APK=APsinZOAM=y/i,AQ=2,

60万x2z1—一

.,•半圆尸与AC所围成的弓形的面积等于S扇形管°-S钎2----x2x—5

3602

⑶

解：①如图，连接OP,OM,ON,

VBC=4,MN=4,

.•.当M与点3重合时，点N与点C重合，

.•.点P的运动轨迹为以。圆心，。尸长为半径的半圆,

由(1)得：OA=OM=ON=4,BC=4,

MN=4,

：.ON=AM=OM,

...△ONM是等边三角形,

ZNOM=60°,

OP=ON-sinZONM=2百,

•••点尸的运动路径长是gx2万X2石=2信；

故答案为：2下1兀

②如图，设半圆P与AC相切于点。，连接PD,0P,

当点。在线段OC上时，PDLOC,

由(2)得：PD=2,由①得：。尸=26,

OD=yj0P2-PD2=25/2,

PD2_y/2

：.tanZPOD=—

OD2垃一2

当点。在线段。4上时，PDLOA,

同理tanNPOD=巫，

2

综上所述，0P与AC夹角的正切值为变.

2

【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，求扇形面积等知识，熟

练掌握相关知识点是解题的关键.

专训3.(2021•安徽•一模)如图，△ABC为。。的内接三角形，且A8为。。的直径，OE与。。相切于点

D,交A3的延长线于点E,连接。。交BC于点E连接A。、CD,NE=/ADC.

(1)求证：平分NBAC；

⑵若CF=2DF,AC=6,求。。的半径r.

【答案】(1)见解析

⑵5

【分析】(1)根据圆周角定理得到NABC=NADC,进而证明NE=NABC,得到BC〃DE,根据切线的

性质得到ODLDE,根据垂径定理得到8D=C£)，根据圆周角定理证明结论；

(2)根据三角形中位线定理求出。尸，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.

(1)

证明：由圆周角定理得：ZABC=ZADC,

ZE=ZADC,

：.ZE=ZABC,

：.BC//DE,

:DE与。。相切于点

ODLDE,

：.ODABC,

：•BD=CD，

：.NBAD=NCAD,

平分ZBAC.

⑵

,/ODABC,

：.BF=FC,

,/OB=OA,

：.OF=-AC=3,

2

DF=r-3,

：.BF=CF=2DF=2(r-3),

在H30/中，

OB2=OF2+BF2,即/=3?+(2—6))

解得：『5,4=3（舍去）,

©O的半径广为5.

【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过

切点的半径是解题的关键.

专训4.（2022•江苏江苏.九年级期末）如图，以AE为直径的。交直线AB于A、8两点，点C在O

上，过点C作于点。，连接AC,BC,CE,其中BC与AE交于点R且4C平分

⑴求证：8是：。的切线;

⑵若AD=1,AB=8.

①求8的长；

②求tanZAFC的值.

【答案】（1）见详解

13

（2）①3；②百

【分析】(1)连接OC,根据。4=OC推出NOCA=/OAC,根据角平分线得出NOC4=/OAC=

ZDCA,推出0C〃A8,得出OCLCD,根据切线的判定推出即可；

(2)①由(1)知，ZOCD=90°,所以/OC4+/AC£)=90°,因为AE是。。的直径，所以/ACE=

90°,则/OC4+/OCE=90°,所以NACD=NOCE,又OC=OE,所以/OCE=NE=NACZ),

可得△AOCs/\cZ)B,所以A。：CD=CD：BD,贝l|CD?又8£>=AO+AB=9,所以C£)2=1X9

=9,即CD=3.

②过点C作CGJ_AE于点G,过点。作。HLBC于"，因为CDLAB,CD=3,80=9,所以BC=3

M,因为。H_L8C,贝I]CH=4BC=^^,易证△AOCs/vlCE,所以A。：AC=AC：AE,因为

22

AT2i

CD1AB,AD=\,CD=3,所以AC2=10,则AE=—=10,OA=-AE=5=OC；易证

AD2

△ACD^AACG(.AAS),所以AG=AD=1,CG=CD=3,OG=OA-AG=5-1=4,因为OH_LBC,OC

=5,CH=2叵，所以0»=典，易证△CPGs/XOm,所以CG：OH=CF：OF=GF：FH,即3：

22

巫=C凡(4-GF)=GF：(豆整理得，^-CF=12-3GF,叵GF=^H_3CF,解

22222

270G13

之，求解的CG和GF的值，因为CGLAE,CG=3,GF=—,所以tan/APC===丁.

13GF9

(1)

证明：连接0C

OC=OAf

：.ZOAC=ZOCA.

〈AC平分NDAE,

：.ZDAC=ZOAC,

：.ZDAC=ZOCA,

C.AD//OC,

9：CD±DA,

：.ZADC=ZOCD=90°,

即CD_LOC,

・・,点。在OO上，

・・・CO是。。的切线.

(2)

解：①由(1)知，NOCO=90°,

：.ZOCA+ZACD=90°,

TAE是。。的直径，

AZACE=90°,

：.ZOCA+ZOCE=9Q°,

・•・ZACD=ZOCE,

*：OC=OE,

：・NOCE=NE,

•；/E=NB,

：.ZACD=ZB,

VZADC=ZCDB=90°,

・•・XADCs&CDB,

：.ADtCD=CD：BD,

：・CD2=AD・BD,

VAD=1,AB=8,

：.BD=AD+AB=9,

：.CD2=\X9=9,

：.CD=3.

②过点。作CGLAE于点G,过点。作0H_L3C于",

VCDLAB,CD=3,BD=9,

•BC=3J10,

OHLBC,

：.CH=^BC_3M

2

VZADC=ZACE=90°,ZACD=ZAEC,

：.AADC^AACE,

：.AD：AC=AC：AE,

AC2

.\AE=

~AD

9：CDLAB,AD=1,CD=3,

AAC2=10,

：.OA=^AE=5=OCf

在△AC。和△ACG中，

VZADC=ZABC=90°,ZCAD=ZCAG,AC=AC,

AAACD^AACG(A4S),

：.AG=AD=lfCG=CD=3,

：.OG=OA-AG=5-1=4,

VOHLBC,OC=5,CH=^^~,

2

JOH=叵,

2

9：ZCFG=ZOFH,ZCGF=ZOHF=90°,

:ACFGSAOFH,

：.CG：OH=CF：OF=GF：FH,

・・.3：叵=CF：(4-GF)=GF：(2^2-CF),

22

整理得，叵CF=12-3GF,巫G尸=^^-3Cb

222

27

解得GF

13

27

VCG±AE,CG=3,GF=—

13

CG13

tanZAFC==—,

GF9

13

.♦.tan/AFC的值为互.

【点睛】本题考查了切线的判定、平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是综合运用定理进行推理的

能力，结合方程思想求解.

◎突破二：圆与四边形的综合问题

例.（2022.广东广州•一模）如图，四边形A8C。是。。的内接四边形，AB=6,BC=8,ZABC=9Q°,弧

AD=弧QC.

B

⑴求边CO的长；

(2)已知△ABE与八ABD关于直线AB对称.

①尺规作图:作△ABE；(保留作图痕迹，不写作法)

②连接DE,求线段DE的长.

【答案】⑴50

⑵①图见解析②14

【分析】(1)先求出直径AC,再得到△ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；

(2)①以8点为圆心，3。为半径，和以A点为圆心，为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可;

②过A点作先求出的长，再证明△BOE是等腰直角三角形，故可求出DE的长.

(1)

"：AB=6,8C=8,ZABC=90°,

.-.AC=V62+82=10>AC是。。的直径

二ZADC=9Q°

:弧A£)=弧DC

：.AD=CD

：.ZVIDC是等腰直角三角形

J.AEP+C^AC2

解得CD=5及;

⑵

①如图，AABE为所求;

②过A点作

•.•弧AD=弧DC

/.NABD=/CBD=；ZABC=45°

△ABH是等腰直角三角形

"：AB2=BlP+AH2,AH=BH

：.AH=BH=3yf2

,:AD=CD=5垃

在Rt&ADH中，DH=y/AD2-AH2=4后

：.BD=BH+DH=ly/2

AABE与XABD关于直线AB对称

ZEBD=2ZABD=9Q°,BE=BD=772

/.△2DE是等腰直角三角形

【点睛】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰直角三角

形的判定与性质及对称性的应用.

专训1.（2022・江苏无锡・一模）如图，在四边形ABCD中，ZC=ZD=90°,DC=4,AD=2,AB=BC,以AB

为直径的圆。交于点E.

(1)求圆。的半径;

⑵用无刻度的直尺在℃边上作点M,使射线2M平分NA2C,并求送的值.

*【答案】(1)2.5

【分析】(1)连接AE,可得/AEB=90。，从而得到四边形ADCE是矩形，进而得到AE=CZ)=4,

CE=AD=2,设42=无，则BC=X,BE=X-2,然后根据勾股定理可得AB=5,即可求解；

(2)连接AM,可证得△ABM四△CBM,从而得到AM=CM,ZBAM=ZBCM=90°,设AAf=CM=/",则

DM=CD-CM=4-m,然后根据勾股定理可得CM=，即可求解.

(1)

解：如图，连接AE,

VAB圆0的直径，

Z.ZAEB=90°,

VZC=ZD=90°,

NC=ND=/AEB=90°,

四边形相》CE是矩形，

：.AE=CD=4,CE=AD=2,

设AB=x,贝ljBC=x,

/.BE=x-2,

BE2+AE2=AB2

42+(x-2)2=x2,解得：x=5,

即AB=59

・,•圆。的半径为2.5；

(2)

解：如图，连接AM,

•・・8M平分NABC,

JZABM=ZCBM,

'：AB=BC,BM=BM,

：.AABMm/\CBM,

：.AM=CM,ZBAM=ZBCM=90°,

设AM二CM=加，贝!J

AD1+DM2=AM2

C95

22+(4-m)=m2,解得：m=—

即CM—

2

3

.・.DM=-,

2

3

.DM_._3

**MC-£-5'

2

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌

握圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

专训2.(2016・江苏无锡・九年级阶段练习)如图，矩形AOBC,A(0,3)、B(5,0),点E在OB上，

ZAEO=45°,点P从点Q(-3,0)出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t

(t>0)秒.

(1)求点E的坐标；

(2)当/PAE=15。时，求t的值；

(3)以点P为圆心，PA为半径的。P随点P的运动而变化，当。P与四边形AEBC的边(或边所在的直

线)相切时，求t的值.

【答案】(1)点E的坐标为(3,0)；

(2)t=(3+11ys或(3+3s；

(3)t=0或4或4.6秒时，0P与四边形AEBC的边(或边所在的直线)相切.

【详解】试题分析：(1)在RtAAOE中求出OE,即可得出点E的坐标；

(2)如图1所示，当/PAE=15。时，可得NAPO=60。，从而可求出PO=W，求出QP,即可得出t的值;

(3)以点P为圆心，PA为半径的。P与四边形AEBC的边(或边所在的直线)相切时，只有一种情况，

也就是。P与AE边相切，且切点为点A,如图2所示，求出PE,得出QP,继而可得t的值.

试题解析：(1)在RSAOE中，OA=3,ZAEO=45°,

；.OE=AO=3,

二点E的坐标为(3,0)；

(2)如图1所示：

VZPAE=15°,ZAEO=45°,

，ZAPO=ZPAE+ZAEO=60°,

.•.OP=AOtan30°=&,

；.QP=3+技

t=3+3（秒）；

ZAPE=30°,

VAO=3,

.•.OP=3+《=37J,

,-.t=QP=OQ+OP=（3^/3+3）s；

/.t=（3+^/3）s或（3+3JJ）s.

（3）：PA是。P的半径，且。P与AE相切,

点A为切点，如图3所示：

；.AE=3/

AE入a/

----------=—=—=o

•■•PE=COS450正

，QP=QE-PE=6-6=0,

...当（DP与四边形AEBC的边AE相切时，Q,P重合，t的值为0.

：PA是。P的半径，且。P与AE相切，

二点A为切点，如图4所示：

[Q司B餐

图4

当点P与。重合时，0P与AC相切,

t=3秒；

图5

当PA=PB时，。「与8（2相切，

设OP=x,贝！]PB=PA=5-x,

在RtAOAP中，x2+32=（5-x）2,

解得：x=1.6,

.,.t=3+1.6=4.6（秒）；

，t=0或4或4.6秒时，。「与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切.

考点：圆的综合题.

专训3.（2022•浙江•瑞安市安阳镇滨江中学三模）如图，在.ABCD中，以BC为直径的半I。经过点A,

交AD于点尸，过点。作交54的延长线于点E,连接CE.

(1)求证：BC=CE；

(2)连接£F,CF,若tan3=2,CD=&求£F的长.

【答案】(1)见解析

(2)E■尸=20

【分析】(1)根据BC为直径可得ACLAB,从而得到AC〃OE,再由平行四边形的性质可得AB〃CQ,

AD=BC,可得四边形ACDE是平行四边形，即可求证；

(2)过点C作CGJLAD,过点尸作见，DE,四边形A8CF是圆内接四边形，可得/4£甲=NDbC,从

而得到。G=FG,再由tanNADC=tan3=2,可得£>G=1,DE=AC=2A/5,从而得到DF=2,在矩形

ACOE中，可得/DAE=/ADC=/DFH,从而得到加=冬叵，述，从而得到

55

EH=DE-DH=正,再由勾股定理，即可求解.

5

(1)

证明：BC为直径，

:.AC±AB,

­.DE-LAB,

：.AC//DE,

,在平行四边形ABC。中，AB//CD,AD=BC,

二四边形ACDE是平行四边形，

"：AC±AB,

二四边形ACDE是矩形，

/.CE=AD,

AD^BC,

BC=CE；

(2)

解：过点。作CGLAD,过点尸作可，。£,

在平行四边形ABCD中，ZB=ZADFf

•・•四边形A5c尸是圆内接四边形，

：.ZB+ZAFC=1SO0,

VZZ)FC+ZAFC=180o,

:.ZDFC=ZB,

:.ZADF=ZDFC,

：.CF=CD,

:・DG=FG,

*.*tanZADC=tan3=2,

AC

•**CG=2DG,=2,

CD

QCDy,

：.DG2+CG2=DG1+(2£>G)2=CD2,

.".DG=1,DE=AC=2小,

:.DF=2,

在矩形ACOE中，AE//CD,AE±DE,

：.ZDAE^ZADC=ZDFH,

：.tanZDFH=2,即。〃=2FH,

FH2+DH-=FH2+(2F/fJ=DF2,

.FH-2非DR」指

55

DE一DH=*

...EH=

EF=^EH2+FH2=2A/2•

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知

识，熟练掌握矩形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的

关键.

专训4.(2022•浙江湖州•八年级期末)在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.

图1图2

(1)如图1,点。是CA延长线上的一点，点E在线段上，且AO=AE,连接8。和CE,延长CE交8。

于点F.求证：BD=CE；

⑵在(1)的条件下，若点尸为2D的中点，求NAED的度数；

(3)如图2,点尸是△ABC外一点，ZAPB=45°,猜想B4,PB,PC三条线段长度之间存在的数量关系，并

证明你的结论.

【答案】(1)见解析

(2)45°

⑶PB-PCfPA,理由见解析

【分析】(1)由两个等腰直角三角形得到两个三角形全等的条件，即可;

(2)利用(1)得到的结论，判断出点A,E,F,D四点共圆，即可；

(3)利用三角形相似的判定和性质，再利用勾股定理，即可.

【详解】(1)证明：•••/JBAC=90。,

：.ZBAC=ZDAB=9Q°,

在RtAEAC和RtADAB中,

AD=AE

ZDAB=ZEACf

AB=AC

ARtAEAC^RtADAB(SAS),

：.CE=BD；

(2)解：如图1

由(1)有，RtAEAC^RtADAB,

：.ZABD=NACE,

'：ZACE+ZAEC=90°,

・•・ZABD+ZAEC=ZABD+ZBEF=90°,

VZ£>AE=90°,

・••点A,E,F,。四点共圆，

ZAFE=NADE=45。,

・•・ZAFD=45°；

(3)解：结论：PB-PC=6PA.

理由：如图2,在尸3上截取PM=PC,

5

由(2)有，ZBPC=90°

CM=42PC,ZPMC=45°,

：.ZBMC=135°,

ZAPB=45°,

・•・ZAPC=135°,

・・・ZAPC=ZBMC,

ZACP+ZACM=ZBCM+ZACM=45°f

：.ZACP=ZBCM,

：.AAPCsABMC,

•_P_C___P_A____1

,•CM-MB—旧

:.BM=3PA,

：.PB=PM+BM=PC+72PA,

：.PB-PC^^lPA.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、四点共圆的判定、同弧所对圆周角相等、三角形相似的判定

与性质，掌握这些才能正确解题.

◎突破三：圆与函数的综合问题

例.(2021•湖北荆门.模拟预测)我们把方程(x-机)2+(y-")2=/称为圆心为(九”)、半径长为:•的圆的标准

方程.例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是+"+2)2=9.如图，在平面直角坐标系

中，C与x轴交于A,2两点,且点8的坐标为(8,0),与V轴相切于点。(0,4),过点A,B,D的抛物

线的顶点为E.

(1)求C的标准方程；

(2)试判断直线AE与C的位置关系，并说明理由;

(3)连接CE,求sinZAEC的值.

【答案】⑴(尤-5了+(y-4=25

(2)直线AE与「C相切，理由见解析

4

(3)sinZL4EC=-

【分析】(1)连接C。、CB,过点C作钻于点/，设CC的半径为r,根据：C与y轴相切于点

0(0,4),可得四边形CDO尸是矩形，从而得到纺=CD=r,CF=OD=4,进而得到班'=。8-。尸=8-厂，再

由勾股定理可得C(5,4),即可求解；

11Q

(2)先根据垂径定理可得到42,0),从而得到抛物线解析式为广；(无—2)(%-8)=；(%-5万J,进而得到

444

Q

E(5,-J),然后分别求出AC、AE,CE的长，再利用勾股定理的逆定理，即可求解；

4

(3)在HA4CE中,利用锐角三角函数，即可求解.

(1)

解：如图1,连接。、CB,过点C作CFLAB于点尸，

设(C的半径为「，

•C与了轴相切于点。(0,4),

，CD_Ly轴，CD=CB=r,

ZCDO=ZCFO=ZDOF=90°,

四边形CDO尸是矩形，

,-.OF=CD=r,CF=OD=4,

1点8的坐标为(8,0),

：.OB=S,

:.BF=OB-OF=8-r,

NBFC=90。，

BF2+CF2=BC2,BP(8-r)2+42=r2,

解得：r=5,

；.C(5,4),

(x-5)2+(y-4)2=52,

\6。的标准方程为0-5)2+0-4)2=25；

(2)

解：直线AE与(C相切，理由如下：

由(1)知：C(5,4),CFLAB,

:.AF=BF,"5,0),

AOF=5,

：OB=8,

:.AF=BF=3,

：.OA=2,

.•.A(2,0),

可设经过点A、B、。的抛物线解析式为y=a(x-2)(x-8),

•••点。(0,4),

贝!|ax(0_2)x(0_8)=4,

解得：

4

11-9

「•)=：(%—2)(%-8)=—(x-5)——,

444

9

..监―:)，

4

如图2,连接CE,C4,

9

A(2,0),C(5,4),E(5-),

4

AC=42-5)2+(O-4『=5,cE=4_1)q,AE=^(5-2)2+(-^-0)2=,

AE2+AC2=(-)2+52=—,CE2=(—)2=—,

416416

:.AE2+AC2=CE2,

:.ZCAE=90°,即C4_LAE,

CA为C的半径，

.•.AE与C相切于点A；

（3）

25

解：如图2,由（2）知：ZC4E=90°,AC=5,CE=——,

4

..AC54

..sinNAEC--二一

CE255.

T

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，垂径定理，求正弦值，熟练掌握相关知识点，理解圆的

标准方程是解题的关键.

专训1.（2022•湖南长沙•九年级期中）如图1,抛物线y=-2x与x轴交于0、A两点，点8为抛物线

的顶点，连接。艮

（1）求/A08的度数；

⑵如图2,以点A为圆心，4为半径作。A,点M在。A上.连接OM、BM,

①当△是以为底的等腰三角形时，求点M的坐标；

②如图3,取0M的中点N,连接BN,当点M在。A上运动时，求线段8N长度的取值范围.

【答案】⑴45。

⑵①（4,0）或（8,4）；®2<BN<6

【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，得到点3的坐标，作于H,则OH=8H=4,即可得到

ZAOB的度数；

（2）①先求出A点坐标.作。3的垂直平分线交。A于两点，由4凡=4=08=8",得到坐标

为（4,0）.连接4加2，由NM2/M=NOHC=45。，AH=AM2=4,得到坐标为（8,4）；

②延长OB至点。，使BO=OB,则点。坐标为（8,-8）,连接根据三角形中位线的性质得到

BN=gMD,当MO过点A时，长度达到最大值，当点M在点E处时，MO有最小值，由此解决问

题.

（1）

11

•••y=ZY-2尤=z9（x-4）--4,点B为抛物线顶点，

点8的坐标为（4,-4）.

作BHLOA于H,则0H=BH=4,

：.乙4。8=45°.

0-yx2-2x=0,解得玉=0,x=8,

42

二A点坐标为（8,0）.

作08的垂直平分线交。A于河2两点,

A半径为4,AH=4,

...点H在。A上，止匕时08=28,

•••点以与点重合，

坐标为（4,0）.

连接AM?,

ZM2HA=ZOHC=45°,AH=AM2=4,

.•./HA%=90。，则圾坐标为（8,4）,

综上，点M的坐标为（4,0）或（8,4）.

②延长。8至点。，使30=08,则点。坐标为（8,—8）,

连接

:点N为0M中点，

BN=-MD.

2

如图，当用。过点A时，长度达到最大值，

当点M在点E处时，有最小值，

•.•点A、。横坐标相同，

,止匕时轴，

；.MD=8+4=12,OE=8-4=4,

：.4<MD<12,

2<BN<6.

【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的

半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关

键.

专训2.(2022.辽宁.沈阳市外国语学校一模)如图1,已知抛物线顶点A在x轴上，直线/：y=6x-6交

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线与y轴交于C点，点尸在抛物线上，且在第一象限，NAPC=45。，求P点坐标；

(3)如图2,过点-1)作直线交抛物线与E、F,点N在抛物线上且NE〃x轴，连FN,试证明：直

线FN过定点，并求定点的坐标.

【答案】(l)y=(x-1)2

⑵(2,1)

⑶直线尸N为广履+1-仁人(%-1)+1经过点(1,1),证明见解析

【分析】(1)产出片代交x轴于A,则点A(1,0),设点B(加,0m-6),AB=26,求出点B(1+

53),即可求解；

(2)ZAPC=45°,则点P在(1,1)为圆心半径为1的圆上，即可求解；

(3)设直线硒为y=fcc+b,直线为分别联立，再根据根与系数的关系得到FN的解析

式，故可求解.

(1)

丫=括/代交x轴于4

令y=0,解得x=l,

则点A(1,0),

设点BGn,6m-6)，

AB=273,则(偌-1)2+(>/3m-73)2-(20)2,

解得：优=1+/(负值已舍去)，

故点2(1+V3,3),

则抛物线的表达式为：尸。(x-1)2,

将点5的坐标代入上式并解得：〃=1,

故抛物线的表达式为：y=(x-1)2；

(2)

VZAPC=45°,则点尸在(1,1)为圆心半径为1的圆上，

设P(m,n),则(加1)2+(n-1)2=1,

又(m-1)2,

(n-1)2+n-l=0,

解得：n=l,m=2,

二・尸点的坐标为(2,1)；

(3)

(1,-1),

；・设直线五N为产Ax+Zb直线为产mx-1-帆，且M(龙/,yi),M(X2,”)，

联立尸;T1

[y=kx+b

.\x2-(Z+2)x+l-Z?=O,

贝!Jxi+x2=k+l,xiX2=l-bf

又・.,EN〃x轴，:・E(2-xy,山)，

弹畤J'二(元一1)2

联"ji，

[y=mx—l-m

•\x2-(m+2)x+m+2=0,

贝!J2-xi+x2=m+2,(2-xi)X2=m+2,

^•X1+X2=2+X1X2,

・•・左+2=2+1-。，b=l-k,

工直线FN为y=kx+l-k^k(x-1)+1经过点(1,1).

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、根与系数的关系的运用等,

其中(2),确定点P是圆上的点，是本题解题的难点.

专训3.(2022・江苏无锡•一模)如图，抛物线y=a/+6x+c经过A(-LO),网3,0)且与y轴交于点

C(0,-3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是x轴的正半轴上一点，tanZAPC=1,求点尸的坐标；

(3)当点尸是抛物线上第一象限上的点，tanNAPC=g,直接写出点尸的坐标为.

【答案】⑴y=Y-2x-3

(2)点尸的坐标为(9,0)

(3)点尸的坐标为(4,5)

【分析】(1)把抛物线解析式设成交点式求解即可；

(2)根据tanZAPC=^OC=1-得至UOP=9即可得到答案；

(3)如图所示，取点M(9,0),由(2)可知tanN4WC=tanNAPC=g,推出A、C、M、尸四点共圆,

再证明NACM=90。，得到AM是点A、C、M、尸所在圆的直径，则A、C、M、尸所在圆的圆心坐标为

(4,0),半径为5,由此求解即可.

(1)

解：设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3),代入点C的坐标得：

a(0+l)(0-3)=-3,

1・a=1,

抛物线解析式为y=(x+l)(x-3)=无2_2x-3

⑵

oc1

解：•••tan/APC=3^=§,点C的坐标为（0,-3）,

OP=3OC=9,

点P的坐标为（9,0）；

（3）

解：如图所示，取点Af（9,0）,

由（2）可知tan/AMC=tan/APC=」，

3

ZAPC=ZAMC,

；.A、C、M、尸四点共圆，

•.•点A（-1,0）,C（0,-3）,M（9,0）,

：.AM=IO,AC=712+32=A/10-