数学4自主训练：任意角的三角函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.当α为第二象限角时，的值是（)A。1B。0C思路解析：利用三角函数值在各象限的符号，去掉绝对值。∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.故=2。答案：C2。a2sin（—1350°）+b2tan405°—（a—b)2cot765°-2abcos(—1080°)等于(）A.0B。-1C。a2D。b思路解析:利用三角函数诱导公式将任意角的三角函数化为0—2π间的三角函数,利用特殊角三角函数值代值计算。即a2sin90°+b2tan45°-(a—b)2cot45°—2abcos0°=a2+b2—（a-b)2—2ab=0.答案:A3。已知角α的终边在射线y=—3x(x≥0）上，则sinαcosα等于(）A.B。C。D.思路解析:根据三角函数的定义，在终边上取点求值。在α终边上取一点P（1,—3),此时x=1，y=—3,∴r=。∴sinα=，cosα==.∴sinαcosα=.答案：A4.在［0，2π］上满足sinx≥的x的取值范围是(）A。［0,］B.［，］C。［,］D。［，π］思路解析:利用单位圆解不等式。按“等号”画出适合的角的终边,按“不等号”画出适合的角的终边(或终边与单位圆的交点组成的弧段），按弧段在函数的定义域内写出相应的不等式.如图1—2—8所示，当sinx=时,图1—2-8∠P2OM2=，∠P1OM1=π—=，又由三角函数定义，知sinx=，∴要使sinx≥，只要y≥即可.∴x的取值范围是≤x≤。答案：B5.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是()A.cosα=cosβB。cosα=-cosβC。sinα=—sinβD。以上都不对思路解析：利用诱导公式中π-α与α的关系即可推导.cosα=cos（180°-β)=—cosβ。答案：B6。化简的结果是()A.sin3—cos3B.cos3-sin3C.±（sin3—cos3）D。以上都不对思路解析:用诱导公式化简后,配成完全平方形式。=|cos3—sin3|。∵〈3〈π，∴sin3>0>cos3。∴原式=sin3—cos3.答案：A7。设A、B、C是一个三角形的三个内角，则：①sin(A+B)—sinC;②cos（A+B)+cosC；③tan（A+B)+tanC；④cot(A+B）—cotC。这四个式子中值为常数的有（C≠)(）A.1个B。2个C.3个D.4个思路解析:利用三角形内角和定理,结合诱导公式即可推导.∵A+B+C=π，∴A+B=π—C.∴sin（A+B)=sin(π-C)=sinC，cos（A+B)=cos（π—C)=—cosC,tan(A+B）=tan（π-C）=-tanC，cot(A+B）=cot（π—C)==—cotC。∴上述四个式子中①②③式的结果都是常数0.答案:C8.tan300°+sin450°的值是（)A。1+B。1-C.-1—D。-1+思路解析:利用诱导公式将角化到锐角范围，由特殊角的三角函数值即可求解。tan300°+sin450°=tan（360°—60°）+sin(360°+90°）=-tan60°+sin90°=1-。答案：B9.sinθ和cosθ为方程2x2-mx+1=0的两根，则等于_____________.思路解析:由根与系数的关系及三角函数基本关系式求出m,进而得出sinθ、cosθ的关系式，代入所求式子的化简式即可。∵sinθ和cosθ为方程2x2—mx+1=0的两根,∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=。∴1=-1.∴m=±.∴sinθ+cosθ=±。∴=±。答案:±我综合我发展10.化简:+sin(—θ)。思路分析：由三角函数诱导公式，结合同角三角函数基本关系化简即可.解:+sin(—θ)=+sin（-θ)=-sinθ=-sinθ=1-sinθ.11。已知θ为锐角,用三角函数定义证明1〈sinθ+cosθ≤.思路分析：运用三角函数的定义将三角函数表示为比值，从而将三角问题转化为代数问题而获得解决，这种方法是值得注意的。证明：在角θ的终边上任取一点P（x，y）（异于原点)，则sinθ=，cosθ=.∵θ为锐角,∴x>0，y>0。于是sinθ+cosθ=≤。又sinθ+cosθ=〉1.∴1〈sinθ+cosθ≤。12.判断函数y=Asin（+x）(A≠0)的奇偶性。思路分析：先化简，然后利用奇偶性定义作出判断.解：y=Asin(+）=Asin（6π++）=Asin(+）=Asin（π++）=-Asin(+)=—Acos.∴f（—x)=—Acos（—)=-Acos=f(x）.∴函数y=Asin(+)(A≠0）为偶函数。13。已知函数f(n）=sin（n∈Z)，求f(1）+f(2)+f(3)+…+f(102)的值.思路分析：如果将n=1，2，3，4，…，102分别代入计算，显然比较复杂,若注意到f（n）的周期性，将会使运算大大简化。解：由诱导公式,知sin（π）=sin(+2π)=sin,∴f(n+12）=f（n），且f(1)+f（2)+f（3）+…+f(12）=0,102=12×8+6.∴f(1）+f（2)+f（3）+…+f(102)=f(1)+f（2）+f(3）+…+f(6)=sin+sin+…+sin=2+。14。已知tanα、是关于x的方程3x2—3kx+3k2-13=0的两实根,且3π<α<,求cos(3π+α）+sin（π+α)的值.思路分析:利用诱导公式，知求原式的值即求—（cosα+sinα)的值，而由勾股定理可得关系式1=tanα=(3k2-13）,求出k后,代入关系式tanα+=k,这样,本题的关键就是由已知tanα+的值来求cosα+sinα的值了。解:∵tanα、是关于x的方程3x2—3kx+3k2-13=0的两实根，1=tanα=（3k2—13)，∴k2=（当k2=时,Δ=9k2—4×3(3k2—13）>0).∵3π〈α〈，∴tanα>0，sinα〈0，cosα〈0.又tanα+==k，∴k〉0,故取k=.于是tanα+=+，即sinαcosα=.∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=.∵sinα+cosα<0，∴sinα+cosα=.于是cos(3π+α)+sin(π+α）=cos(π+α)+sin（π+α）=-（cosα+sinα）=。15.如图1-2-9,某大风车的半径为2m，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0。5m，风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t秒后与地面的距离为hm。你能想个办法，求A点距地面的高度h与转动时间t之间的关系吗？图1-2-9思路分析:通过建立直角坐标系，在三角形中找到角与坐标的关系即可。解：如图1-2-10,以O为原点，过点O的切线为x轴建立平面直角坐标系。设点A坐标为（x，y）,则h=y+0。5。图1—2-10设∠OO1A=θ,则cosθ=,y=-2cosθ+2.又θ=×t=,∴y=—2cos+2。∴h=-2cos+2.5。16.是否存在角α、β，α∈（，),β∈（0,π），使同时成立？思路分析：先利用诱导公式化简已