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2025届安徽省定远县炉桥中学数学高一上期末联考模拟试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.设集合,,则()A. B.C. D.2.设若,,,则()A. B.C. D.3.对于函数定义域中任意的,,当时,总有①;②都成立,则满足条件的函数可以是()A. B.C. D.4.已知函数,若不等式对任意实数x恒成立,则a的取值范围为()A B.C. D.5.函数,,则函数的图象大致是()A. B.C. D.6.已知向量,,若,则()A. B.C.2 D.37.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=;则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是()A.②①③④ B.②③①④C.④①③② D.④③①②8.角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角9.已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=()A. B.C. D.R10.已知,且,则()A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.圆的圆心到直线的距离为______.12.已知函数有两个零点,则___________13.圆在点P(1,)处的切线方程为_____14.已知函数,,则函数的最大值为______.15.设函数.则函数的值域为___________;若方程在区间上的四个根分别为,,,,则___________.16.定义在上的函数满足则________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图,已知在正四棱锥中,为侧棱的中点,连接相交于点(1)证明:;(2)证明:;(3)设,若质点从点沿平面与平面的表面运动到点的最短路径恰好经过点,求正四棱锥的体积18.已知,,(1)值;(2)的值.19.已知向量(1)当时,求的值;(2)若为锐角,求的范围.20.已知函数.(1)当时,恒成立,求实数的取值范围;(2)是否同时存在实数和正整数,使得函数在上恰有个零点?若存在,请求出所有符合条件的和的值;若不存在,请说明理由.21.已知集合,(1)若,求,;(2)若,求实数的取值范围
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】解一元二次不等式求出集合A,利用交集定义和运算计算即可【详解】由题意可得,则故选:D2、A【解析】将分别与比较大小,即可判断得三者的大小关系.【详解】因为,,,所以可得的大小关系为.故选:A3、B【解析】根据函数在上是增函数,且是上凸函数判断.【详解】由当时,总有,得函数在上是增函数,由,得函数是上凸函数,在上是增函数是增函数,是下凸函数,故A错误;在上是增函数是增函数,是上凸函数,故B正确;在上是增函数,是下凸函数;故C错误;在上是减函数,故D错误.故选:B4、C【解析】先分析出的奇偶性,再得出的单调性,由单调性结合奇偶性解不等式得到,再利用均值不等式可得答案.【详解】的定义域满足,由,所以在上恒成立.所以的定义域为则所以,即为奇函数.设,由上可知为奇函数.当时,,均为增函数,则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数,则在上为增函数,且所以在上为增函数.所以在上为增函数.由,即所以对任意实数x恒成立即,由当且仅当,即时得到等号.所以故选:C5、C【解析】先判断出为偶函数,排除A;又,排除D;利用单调性判断B、C.【详解】因为函数,,所以函数.所以定义域为R.因为,所以为偶函数.排除A;又,排除D;因为在为增函数,在为增函数,所以在为增函数.因为为偶函数,图像关于y轴对称,所以在为减函数.故B错误,C正确.故选:C6、A【解析】先计算的坐标,再利用可得,即可求解.【详解】,因为,所以,解得:,故选:A7、D【解析】图一与幂函数图像相对应,所以应④;图二与反比例函数相对应,所以应为③;图三与指数函数相对应,所以应为①;图四与对数函数图像相对应,所以应为②所以对应顺序为④③①②,故选D8、B【解析】找到与终边相等的角,进而判断出是第几象限角.【详解】因为,所以角和角是终边相同的角,因为角是第二象限角,所以角是第二象限角.故选:B.9、D【解析】利用并集定义直接求解即可【详解】∵集合A={x|x<2},B={x≥1},∴A∪B=R.故选D【点睛】本题考查并集的求法,考查并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题10、B【解析】利用角的关系,再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式,即可求解.【详解】,,.故选:B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、1【解析】利用点到直线的距离公式可得所求的距离.【详解】圆心坐标为,它到直线的距离为,故答案为:1【点睛】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离,此类问题,根据公式计算即可,本题属于基础题.12、2【解析】根据函数零点的定义可得,进而有,整理计算即可得出结果.【详解】因为函数又两个零点,所以,即,得,即,所以.故答案为:213、x-y+2=0【解析】圆,点在圆上,∴其切线方程为,整理得:14、##【解析】根据分段函数的定义,化简后分别求每段上函数的最值,比较即可得出函数最大值.【详解】当时,即或,解得或,此时,当时,即时,,综上,当时,,故答案为:15、①.②.【解析】根据二倍角公式,化简可得,分别讨论位于第一、二、三、四象限,结合辅助角公式,可得的解析式,根据的范围,即可得值域;作出图象与,结合图象的对称性,可得答案.【详解】由题意得当时,即时,,又,所以;当时,即时,,又,所以;当时,即时,,又,所以;当时,即时,,又,所以;综上:函数的值域为.因为,所以,所以,作出图象与图象,如下如所示由图象可得,所以故答案为:;16、【解析】表示周期为3的函数,故,故可以得出结果【详解】解:表示周期为3的函数,【点睛】本题考查了函数的周期性,解题的关键是要能根据函数周期性的定义得出函数的周期,从而进行解题三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)详见解析;(2)详见解析;(3).【解析】(1)由中位线定理可得线线平面,从而有线面平行;(2)正四棱锥中,底面是正方形,因此有,又PO是正四棱锥的高,从而有PO⊥AC,这样就有AC与平面PBD垂直,从而得面面垂直;(3)把与沿PD摊平,由A、M、C共线,因此新的平面图形是平行四边形,从而为菱形,M到底面ABCD的距离为原正四棱锥高PO的一半,计算可得体积试题解析:(1)证明:连接OM,∵O,M分别为BD,PD的中点,∴在△PBD中,OM//PB,又PB面ACM,OM面ACM,∴PB//面ACM(2)证明:连接PO.∵在正四棱锥中,PA=PC,O为AC的中点,∴PO⊥AC,BD⊥AC,又PO∩BD=O,AC⊥平面PBD,又AC平面ACM,∴平面ACM⊥平面PBD(3)如图,把△PAD与△PCD沿PD展开成平面四边形PADC1由题意可知A,M,C1三点共线,∵△PAD≌△PCD,M为PD的中点,∴AM=MC1,即M为AC1中点,∴平面四边形PADC1为平行四边形,又PA=PC,∴平面四边形PADC1为菱形,∴正四棱锥的侧棱长为2∵PO⊥AC,PO⊥BD,PO⊥面ABCD,∴PO为正四棱锥的高18、(1)(2)【解析】(1)根据二倍角公式,求出,即可求解;(2)由两角和的正切公式,即可求出结论.【详解】(1).=..=(2)====【点睛】本题考查同角间的三角函数关系以及恒等变换求值,应用平方关系要注意角的范围,属于基础题.19、(1)x或x=﹣2;(2)x>﹣2且x【解析】(1)利用向量的数量积为零列出方程求解即可.(2)根据题意得•0且,不同向,列出不等式,即可求出结果【详解】(1)2(1+2x,4),2(2﹣x,3),(2)⊥(2),可得(2x+1)(2﹣x)+3×4=0即﹣2x2+3x+14=0.解得:x或x=﹣2(2)若,为锐角,则•0且,不同向•x+2>0,∴x>﹣2,当x时,,同向∴x>﹣2且x【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示,考查向量夹角为锐角的充要条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20、(1);(2)存在,当时,;当时,.【解析】(1)利用三角恒等变换思想得出,令,,由题意可知对任意的,可得出,进而可解得实数的取值范围;(2)由题意可知,函数与直线在上恰有个交点,然后对实数的取值进行分类讨论,考查实数在不同取值下两个函数的交点个数,由此可得出结论.【详解】(1),当时,,,则,要使对任意恒成立,令,则,对任意恒成立,只需,解得,实数的取值范围为;(2)假设同时存在实数和正整数满足条件,函数在上恰有个零点,即函数与直线在上恰有个交点.当时,,作出函数在区间上的图象如下图所示:①当或时,函数与直线在上无交点;②当或时,函数与直线在上仅有一个交点,此时要使函数与直线在上有个交点,则;③当或时,函数直线在上有两个交点,此时函数与直线在上有偶数个交点,不可能有个交点,不符合;④当时,函数与直线在上有个交点,此时要使函数与直线在上恰有个交点,则.综上所述,存在实数和正整数满足条件:当时,;当时,.【点睛】关键点点睛:本题考查利用函数不等式恒成立求参数,利用函数在区间上的零点个数求参数,解本题第(2)问的关
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