新教材人教A版（2019版）数学必修第二册模块检测 含解析

模块综合检测

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.若复数z满足z（2-i）=U+7i（i为虚数单位），则z=（）

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iD.-3—5i

U+7i(U+7i)(2+i)15+25i

解析：选A由z(2—i)=H+7i得,2-i=(2-i)(2+i)=-5-=3+，i.

2.已知万才=（-1,2）,~OB=（3,in）,若/_1_万声，则，"的值为（）

A.1B.1

C.2D.4

解析：选B由为7_L,，得方才•万方=-3+2,〃=0,故，”=不

3.某位教师2019年的家庭总收入为80000元,各种用途占比统计如下面的折线图.2020

年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2020年的就医费用比2019年增加了4750

用途占比

A.10()()0()元B.95000元

C.90000元D.85000元

解析：选D由已知得，2019年的就医费用为80000X10%=8000（元），故2020年的

就医费用为8000+4750=12750（元），所以该教师2020年的家庭总收入为唱普=85

JL3/O

000（元）.故选D.

4.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的

概率等于（）

A•而B,8

C.7D.1

o5

解析：选D从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶

31

点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为运

5.如图所示，在直三棱柱ABC-A11G中，若NBAC=90°,AB=AC=AAlt则异面

直线以与AG所成的角等于（）

A

A.30°B.45°

C.60°D.90°

解析：选C延长C4到。，使得AD=AC,连接40，。或图略），则四边形AD4G

为平行四边形，所以AG〃ZMi,就是异面直线5Al与AG所成的角（或其补角），

5LAiD=AiB=DB=yf2AB,则三角形AN8为等边三角形，所以NZMiB=60°,即所求角

为60°.

6.设小，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

①若ml.a,。JL£,则小〃/?；

②若a〃£,〃u£,则机_|_“；

③若，”Ua,〃u£,m//n,则a〃/?；

④若“_La,nA.ff,，〃_!_£,则，〃_La.

A.①0B.③④

C.D.②④

解析：选D对于①，有可能mU£,故错误；对于③，a,£可能相交，故错误.故

选D.

7.在△A3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=l,小sinA•cosC+（小sin

C+b）cosA=0,则角A=（）

2nn

A-BT

解析：选DVa=l,由sinAcosC+(V3sinC+6)cosA=0,

，由sinAcosC+由sinCeosA=_ftcosA,

A-\/3sin(A+C)=^/3sinB=-fecosA,

・••班asinB=-AcosA,

由正弦定理可得巾sinAsinB=—sin3cosA,

VsinB>0,

，于sinA=-cosA,即tanA=-3,

5n,工

VAG(0,n),・・・A=-^-•故选D.

8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，△ABC是边长为1的正三角形,

SC为球。的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为()

解析：选A在直角三角形ASC中，AC=1,ZSAC=90°,SC=2,

所以5人=肝工=小;同理，SB=4

过A点作SC的垂线交SC于。点，连接。以图略），

因为△SACg△S5C,故8O_LSC,故SC_L平面A60,且△A3。为等腰三角形.

因为NASC=30°,故AO=*SA=+，

则△A5O的面积为^XlX[AD-QA"=坐,

则三棱锥的体积为[x孚X2=^.故选A.

j4o

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共2（）分.在每小题给出的四个选项中,

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分）

9.《国务院办公厅关于进一步调整优化结构提高教育经费使用效益的意见》中提出,

要优先落实教育投入.某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况

及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成图，由图可知下列叙述中正确的是（）

2010-2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比情况（单位:亿元嘉）

50000丝四包6四0%4・缈4纷4.14%4U%搬

450009ontt

400003.缪二…“34204369904.00%

35000*2922131396.3.50%

300003.00%

250002.50%

18587

2000014670■2.00%

150001.50%

100001.00%

50000.50%

00.00%

20102011T2012201i32l014l201520116210172018

■财政性教育经费支出（亿元）-财政性教育经费占GDP比重（%）

A.随着文化教育重视程度的不断提高，国家财政性教育经费的支出持续增长

B.2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比重持续7年保持在4%以上

C.从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿元

D.从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出同比增长最多的年份是2012年

解析：选ABD由题图易知A、B、D项均正确.2010年GDP为盥g=»40（万亿元），

J.OO/o

36990

2018年GDP为:=90（万亿元）,则从2010年至2018年，GDP的总值大约增加50万

亿元，故C项错误.

10.设向量a,b满足|a|=|b|=L且|b—2a|=小，则以下结论正确的是（）

A.a±bB.|a+b|=2

C.|a-b|=V2D.〈a，b）=y

解析：选AC因为|a|=|b|=l,且|b—2al=小，所以b?—4a・b+4a?=5,所以a・b=0,

故aJLb,A正确；

因为（a+b）2=a2+2a・b+b?=2,所以|a+b|=4i,B错误；

因为（a—b）2=a2—2a・b+b?=2,所以|a—b|=4i,C正确；

因为aJ_b,所以〈a,b>=与，D错误，故选A、C.

11.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺

序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案，方案一：不乘坐第一辆车，若

第二辆车的序号大于第一辆车的序号，就乘坐第二辆车，否则乘坐第三辆车；方案二：直

接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为B，贝（1（）

尸

A.Pl•2=/B.PI=P2=1

,5

C.P1+P2=Z

D.Pt>P2

解析：选CD分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序

前往酒店接嘉宾，样本空间。={(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),

(3,2,1)},共6个样本点.

方案一：坐到“3号车”包含(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),共3个样本点，所以

方案一坐到“3号”车的概率尸］=，3=今1

OZ

方案二：坐到“3号”车的概率尸2=/

：.P\>P2,尸1+尸2号+；=/.

12.如图，正方体ABCDA/iG"的棱长为1,动点E在线段4G上，F,"分别是

AD,CZ)的中点，则下列结论中正确的是()

A.FM//AiCt

B.平面CGF

C.存在点E,使得平面5EF〃平面CGD1。

D.三棱锥B-CE尸的体积为定值

解析：选ABD在A中，因为尸，M分别是AZ),C£>的中点，所以产M〃AC〃4G,

故A正确；在B中，因为tanN8MC=痂=2,tanZCFD=j^=2,故NBMC=NCFD,

故NEWC+ZDCF=ZCFD+NOCF'=?.故BM1.CF,又有BM±CtC,且C尸CCCi=C,

所以8MJL平面CGF,故B正确；在C中，8尸与平面CG01。有交点，所以不存在点E,

使得平面8EF〃平面CGQiO,故C错误；在D中，三棱锥B-CEf以面BCf为底(定值)，

则高是定值，所以三棱锥B-CEF的体积为定值，故D正确.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，

决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主

场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获

胜的概率是.

解析：甲队以4：1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输.

若在主场输一场，则概率为2X0.6X0.4X0.5X0.5X0.6;

若在客场输一场，则概率为2义0.6X0.6X0.5X0.5X0.6.

:,甲队以4：1获胜的概率P=2X0.6X0.5X0.5X(0.6+0.4)X0.6=0.18.

答案：0.18

14.AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60°,b=2,SAABC

人sinA+sinB+sinC'

解析：由A=60°,b=2,SAA8c=5>csinA=2"\/§,得c=4.由〃2=62+,2—2bccosA,

解得4=25，

.abc2小

则而产而寸而?=近=%

2

,**,a+b+c

由等比性质得，.1.2.

sinA+sinB+sinC

答案：4

15.已知正方形A5CD的边长为1,将△AZJC沿对角线AC折起，若折叠后平面AC。_L

平面ACB,则此时AC与80所成角的大小是,点8、。之间的距离是.

解析：如图所示，取AC的中点O,连接08,OD.

因为Z)A=Z)C,5A=BC,。为4C的中点，所以。OJ_AC,BO_LAC,口C

叉DOCBO=O,所以ACJL平面BOD,又BZ)U平面BOD,所以

即此时AC与BD所成的角是90°.''^1

因为平面AC0_L平面AC5,平面4coe平面AC8=AC,所以OO_L

平面ABC,所以O0_L08,又OB=OD=；AC=芋,所以BD=yjOB2+OD2=l.

答案：90°1

16.已知a,b为单位向量，则|a+b|+|a—b|的最大值为.

解析：由a,b为单位向量可知以a,b对应线段为邻边作出的平行四边形是菱形，结

"1"|2「［-12

合菱形性质可得(a+b)_L(a—b),T(a+b)4-T(a—b)=1,

22

A(a+b)+(a—b)=4,设|a+b|=2cos0,|a-b|=2sin0f

6>+2sin0=2A/2cosf0—J-J,则易知当0=:时，|a+b|+|a

.,.|a+b|+|a—b|=2cos

一b|的最大值为2y[i.

答案：2也

四,解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分10分)在①cos8=今卜c=3；②cos4=；,sin(A+5)=3sinB；③ab

=2A/2,COSA=1,这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为啦，,

求b.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解：选①COSB=¥^,C=3.

因为cos3=2$,0<B<n,所以sinB=g.

由SaA3C=5acsin3=$XaX3解得a=2、/^.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=8+9~2X2y[2X3X^=l,所以b=I.

选②cosA=；,sin(A+B)=3sinB.

因为cosA=g,0<A<n,所以sinA=4^,

因为A+〃+C=n,所以sin(A+3)=sinC,

所以sinC=3sin6,由正弦定理可得c=3儿

112、历r-

=

所以S^/i"c=5力csinA=]X8X3)X3y]29

解得b—1.

选③〃〃=2啦，cosA=^.

因为Szk的c=；。加inC=lx2^/2XsinC=y[29所以sinC=l.

又OVCVn,所以C=?，

因为cosA=；,OVAVn,所以sinA=^^,且sin5=sin^~—A)=cosA=g,

根据正弦定理看=焉,可得”=2吸儿

所以ab=2取护=2巾,解得Z»=L

18.（本小题满分12分）为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽

样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少“，共有4个选项可供选

择：

A.1.5小时以上B.1〜1.5小时

C.0.5〜1小时D.0.5小时以下

下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以

下问题：

（1）本次一共调查了多少名学生;

（2）在图①中将选项B对应的部分补充完整.

解：（1）由题图①知，选A的人数为60,而图②显示，选A的人数占总人数的30%,

故本次调查的总人数为60+30%=200（人）.

（2）由题图②知，选B的人数占总人数的50%,因此其人数为200X50%=100（人）,

图①补充如图所示：

19.（本小题满分12分）已知A,B,C为△ABC的三个内角，向量m=（2-2sinA,sin

A+cosA)与n=(sinA—cosA,1+sinA)共线，且A4•4。＞0.

(1)求角A的大小；

»C—R

⑵求函数j=2sin2y+cos~I-的值域.

解：(1)由题意知，(2—2sin4)(1+sinA)=(sinA+cosA)(sinA-cosA),得2(1-sin2A)

=sin2A—cos2A=2sin2A_1,即sin2A=^.

又A为△ABC的内角，所以sinA=^.

由9•衣>0,知A为锐角，

所以A=-y.

TT2Tl

(2)因为A=§,所以B+C=亍，

所以)=1—cos吕+cosg-8)

=1+坐sinB—|cosB

=1+sin^B-

2nnnTT~1(nA-<1'

又OVBVf,所以一次VB-ZV才，所以一3Vsin5一左VI,所以孑，2

JOONZ\J.

i»c—R/I\

故函数ynZsiiPj+cos—一的值域为(j,2J.

20.（本小题满分12分）如图①，矩形A8CO中，AB=1,BC=2,E为AO的中点，将

△CDE沿CE折起，使得△CDE所在平面与梯形ABCE所在平面垂直（如图②），M是80

的中点.

（1）求证：AM〃平面CDEi

（2）求三棱锥M-AED的体积.

解：（1）如图，设5c的中点为N,连接MN,AN,

,.,4七〃5（7且4后=凶。=1,四边形4NCE为平行四边形，.,.AN//EC,

又M,N分别为80,BC的中点，:.MN//DC.

,:ANCMN=N,ECr\DC=C,AN,MNU平面AMN,EC,DCU平面EDC,

：.平面AMN//平面EDC,又AMU平面AMN,：.AM//平面EDC.

(2)连接BE,SA4BE=|XABXA£=1x1X1=1,

作DHLEC于H,'：平面CDE1.平面A5CE,且。"U平面CDE,

■平面ABCE.

•；CD=DE=1,：.DH=^.

三棱锥M-AED的体积V=^V-aw*I)-ABE=23

21.(本小题满分12分)一汽车厂生产A,B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准

型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：

4类轿车3类轿车C类轿车

舒适型100150z

标准型300450600

按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.

(1)求z的值；

(2)在C类轿车中用分层随机抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5辆轿车中任意抽取2

辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,它们的综合测评得分(十分制)

分别为：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中

任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

解：(1)设该厂这个月共生产轿车〃辆.

由题意得猾=丽瑞而，解得〃=2。。。，

则z=2000-100-300-150-450-600=400.

(2)设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车.

由题意得热=或则

因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.

用4,4表示2辆舒适型轿车，用Bi,Bi,当表示3辆标准型轿车，从5辆轿车中任

取2辆，则样本空间。={(小，Ai),(Ai,Bi),(Ai,%),(Ai,B3),(A2,Bt),(A2,B2),

(A2,B3),(Bl,%),(31,&),(%,&)}.

设事件E=“至少有1辆舒适型轿车”，则K={(41,A2),(AI,Bi),(Ai,Bi),(Ai,

Bi),(A2,BI),(4,&),Uh,B})},

77

故尸便)=而，即所