浙江省嘉兴市2023-2024学年高二年级上册1月期末检测数学试题 含解析

嘉兴市2023〜2024学年第一学期期末检测

高二数学试题卷(2024.1)

本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和

答题纸上规定的位置.

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题

卷上的作答一律无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线的倾斜角为()

7in71

A.0B.-C.-D.一

632

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线倾斜角的定义可判断.

【详解】由直线x=可得该直线的倾斜角为

故选：D.

2.数列｛%｝满足％+i=1-1，4二-1,则()

A.4<aAB.%=%C.a2<%D.a2=a、

【答案】B

【解析】

【分析】结合递推公式求得力,4，。3，。4⑷可判断.

【详解】当〃=2时，。2=1—一=2,

%

I1,

当〃=4时，%=1----二-1，

%

故选：B

3.抛物线=2%的准线方程是

1

A.x=-B.x=\C.x=-—D.x=-l

22

【答案】C

【解析】

可得准线方程为了=」!

【详解】根据抛物线的概念，

2

4.己知空间向量值=(巷4,1),B=(2J,-2),且则x+2y=()

A.-17B.-iC.1D.17

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量平行的坐标关系运算求解.

【详解】•：a//h»

=4b,4eR，即(x,4,1)=2),

x=22x=-\

4=2y,解得，y=-8

l=-22,1

2=—

2

.•.x+2y=-l+2x(-8)=-17.

故选：A.

5.己知点尸为圆C：(x—l)2+(y—2)2=l外一动点，过点尸作圆。的两条切线4，P8,切点分别为A,

B,且PA1PB,则动点尸的轨迹方程为()

A.(x-1)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(j^-l)2=2

C.(x-l)2+(y-2)2=4D.(x-2)2+(y-l)2=4

【答案】A

【解析】

【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形尸/C5为正方形，PA=CA=l,尸。=血，然后结合

两点间的距离公式即可求解.

【详解】设尸（X,y）,

因为尸力，P8与圆。相切，

所以"=CA=CB,CALPA,CB1PB,

又PA1PB,

所以四边形4C8为正方形，

所以PZ=C4=1,则尸。=jF+]2=立,

即动点P的轨迹是以。（1,2）为圆心，、历为半径的圆，

所以动点P的轨迹方程为（x-+（»-2）2=2.

故选：A.

6.已知耳，鸟是椭圆C：的两个焦点，/,8是椭圆C上关于x轴对称的不同的两点，则

M娟.忸玛的取值范围为（）

A.（2,3]B.3,—CD.（3,4]

【答案】D

【解析】

【分析】设”（%,歹）,8（工,一力，由椭圆性质和已知条件得一2Vx<2,由两点间的距离公式得

|狗.陷=加+咪+/.,（1）2+/,然后化简、换元结合二次函数单调性可求

【详解】由题意,设在

由于人6是椭圆C上关于x轴对称的不同的两点，

所以一2cx<2,又片（1,0）,少（一1,0）,

I/H明仁，（。+1）2+广,（一1）2+，

22

=1JX+2X+1+3-^X•卜-2X+1+3-32

令，=丁,因为一2cx<2,所以0WZ<4,

11夕

所以/（'）=而/―2+16=记«_16）一，

由于对称轴为"16,所以在［0,4）单调递减，

所以〃4）</。）"（0）,又〃0）=16,/（4）=24一16）2=9,

10

即9V/0W16,所以3<|4耳|•忸闻44

7.如图，把正方形纸片488沿对角线4C进行翻折，点E，/满足加=3近，CB=3CF。是原

271

正方形48CQ的中心，"EOF=—,直线40与5C所成角的余弦值为（）

3

【答案】C

【解析】

【分析】设正方形边长为3,求出相关线段长，利用余弦定理求出cosN/OE,结合数量积的运算律，即可

求出瓦•就，利用向量的夹角公式求得cos♦翔,瑟，，再结合异面直线所成角的范围即可求得答案.

【详解】设正方形边长为3,由题意知NNOE=NCO£OE=Ob,AE=CF=\,A0=0C=—

2t

AO2+OE2-AE2

则cosZ.AOE=

2AOOE

把正方形纸片45c。沿对角线AC进行翻折后，直线AD与BC为异面直线,

则而反=9荏反=9（砺-丽•（3-丽）

=9(OEOC-OEOF-OAOC+OAOF)

=9(-OEOA-OEOF+OA2-OCOF)

1^9[535/22后、

”小孚学哈器5）5一位丁丁

9

4

_9

~ADBC~4]_

HR3x34

由题意知直线40与8c为异面直线，它们所成角的范围为（0个],

故直线4D与BC所成角的余弦值为

4

故选：C

8.已知数列｛%｝和｛4｝均为等差数列，它们的前〃项和分别为S,和7；,且％>0,〃也=“2+36〃，

s?3乜3，贝iJq+4=（）

2731c3741

A.—B.—C.—D.—

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由等差数列的前〃项和可得。设=〃2,然后设%=%〃+!，bn=pn+q,代入计算，

列出方程，即可得到结果.

【详解】由S,3二T”可得23（%+生3）=23佃+9）,即《2=42，

22

设%b“=pn+q,

则Q/A=pk*+（pt+kq）n-{-tq=n2+36〃,

所以pZr=l,pt+kq=36,tq=0.

fPk=l

若f=0,则，初二36

T2k=12p+q

解得p=Lk=2,<7=18,此时〃“=2〃，bH=—/?+18.

22

即％+4号；

pk=1

同理，若夕=0,则<pZ=36,

\2k+t=\2p

解得2=2,%=」"=18,则4,=（〃+18,bn=2n.

41

即《+4=天

综上，q+4=—.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.若伸5忑}构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（）

A.{d-\-byb+c,c+«}B.{a-b,b-c,c-a}

c.{d-b,b+c,c-a}D.{a+b9b-c,a+c}

【答案】AC

【解析】

【分析】根据空间向量基底的性质逐一判断即可.

【详解】A：因为忖石,可构成空间的一个基底，

所以可以得"+叫6+己？+2两两都不是共线向量，

假设a+B,B+c,c+d是共面向量，

1=>

则有3+B=x(B+3)+y0+5)n显然无实数解，假设不成立，因此5+55+1忑+2不是共

x+y=0

面向量，因此{1+B,B+E,5+G}可以成为一组基底；

B：因为M■可构成空间的一个基底，

所以可以得M-瓦5-武^-之两两都不是共线向量，

因为2-5=-(3-己)—(5—5),所以1-5,5-,忑-彳是共面向量，因此不能成为一组基底；

c：因为{扇瓦可构成空间的一个基底，

所以可以得"-瓦5+乙1-方两两都不是共线向量，

假设2—瓦3+口5是共面向量，

l=-y

则有5=1,+5)+〉传一刃=,-\=x显然无实数解，假设不成立，因此2+++3不是共

x+y=O

面向量，因此可以成为一组基底；

D：因为{原瓦叶构成空间的一个基底，

所以可以得2+5万-乙5+1两两都不是共线向量，

因为5+3=0-亍)+(1+)),所以值+5,E—乙己+值是共面向量，因此不能成为一组基底，

故选：AC

10.已知直线/：(2/w+l)x+(/w+l)y-7m-4=0,则下列结论正确的是()

A.直线/过定点（3,1）

B.原点。到直线/距离的最大值为

C.若点力8（1,0）到直线/的距离相等，则小=-g

41

D.若直线/经过一、二、三象限，则一一<加<一一

72

恪案】ABD

【解析】

【分析】求出直线定点可判选项A；当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值，可判选项B：根据

7加+4

<0

2〃?+1

两点闰的距离公式可判选项C；根据条件列出不等式组《求解可判选项D

7机+4

>0

7M+1

【详解】将（2加+1）工+（机+1）^-7机一4=0化为相（2%+》一7）+（工+>-4）=0,

2r+y-7=0fx=3.、

令《"八，即得<」即直线/过定点（3,1）,故A对；

当原点到定点的距离即是原点到直线的距离最大值，

即原点O到直线/距离的最大值为万手=而，故B对；

点力（-1,0）,8（1,0）到直线/的距离相等，

|（2w+l）x（-l）-7w-4||（2w+l）xl-7w-4|

［（2阳+1）.+（加+1）2J（2〃7+l）“+（机+1）2

即|9及+5|=|5m+3］,解得巾=一；，或加=一3,故C错：

若直线/经过一、二、三象限，则直线在x轴的截距为负、y轴的截距为正，

［皿1<0

令x=0,则y=7m+4；令^=0,则了=丁+4,则<,

m+12/w+l7/n+4

------>0A

w+l

41441

即——<加<——，且旭<一1或〃7>——，所以---<〃2<---,故D对；

72772

故选：ABD

11.记等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若-q</<q，则（)

A.｛q｝是递减数列B.｛4｝有最大项

C.｛$2”｝是递增数列D.｛S“｝有最小项

【答案】BCD

【解析】

【分析】由已知条件可得首项和公比的范围，结合等比数列的通项公式和求和公式对选项分析即可.

［详解］设等比数列｛凡｝的公比为夕（夕。0）,因为一《</<%，

所以%>0,-1vg<l且夕工0,

对A选项，当0<乡<1时，｛4｝是递减数列，-1<9<0,｛%｝是摆动数列，故A错误；

对B选项，当Ocgvl时，｛为｝是递减数列，最大项为力,

当一l<g<0,｛%｝是摆动数列，4>0,

所以数列的奇数项为正，偶数项为负，最大项为第一项，故B正确；

对C选项，S2“二%（ld）,q>0,-1<夕<1且夕=0,则所以3>0,

l-qj

因为J,=/"=（g2y单调递减，所以y=1一单调递增，

所以邑“=皿二©单调递增：故C选项正确；

1一夕

对D选项，当0<夕<1时，｛q｝是递减数列，｛S,｝有最小项S「没有最大项，

当一IcgvO,｛4｝是摆动数列，因为4>0,所以数列奇数项为正，偶数项为负，且｛|为|｝单调递减，

所以数列｛，｝有最小项为邑，最大项为工，故D选项正确；

故选：BCD

12.数学中有许多形状优美的曲线.例如曲线C：£'+_/=1（〃>0）,当〃=2时，是我们熟知的圆；当〃=|

时，是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，则下列关于曲线。的结论正确的是（）

A.对任意正实数"，曲线。恒过2个定点

B.存在无数个正实数〃，曲线。至少有4条对称轴

C.星形线围成的封闭图形的面积大于2

D.星形线与圆/+/=有四个公共点

【答案】ABD

【解析】

【分析】易知曲线。过定点（0,1）和（1,0），可判断A；当〃为正偶数时，曲线。关于x轴、N轴及J，=±x对

称，可得B正确：根据表达式可判断出星形线围成的封闭图形曲线国+3=1的内部，可判断C错误；联

立星形线方程与圆/+/=?，并解方程可判断D正确.

【详解】选项A,曲线C过定点（0,1）和（1,0）,且x+y=l与/+丁=1只有两个交点（0[）和go）,即

A正确；

选项B,当n=2k,ZwN+时，曲线C至少有4条对称轴x=0,y=0,y=±x,可得B正确；

选项C,对于方程用“一工”替换“工”，方程依然成立，用“一丁”替换“V”，方程依然成立，

所以星形线既关于x轴对称，也关于N轴对称.

考虑星形线在第一象限内的图形，因为i-Y+P，所以图形在线段x+P=l的下方，

再根据对称性，星形线的图形在曲线国+3=1的内部，

因为由线|乂+加|=1所围成的图形面积为2,所以星形线围成的图形面积小于2,可得C错误；

选项D,根据对称性，考虑星形线第一象限内的任意一点p（x,y）,

（2\342（2]Y]]

M|OP|2=x2+/=x2+1-x3=3X5-3X5+1=3X1--+->-，

221

当且仅当炉=y3=上时取等号，所以在第一象限有一个交点，

2

再根据对称性另外三个象限各有一个交点，共4个交点，即D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：在判断星形线围成的封闭图形的面积时，关键是要与熟悉的图形进行比较，再结合

过定点（0,1）和（1,0），可联想到曲线国+3=1,即可判断出面积小于2.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在等差数列｛q｝中,%+%+4=9,则。2+。4=.

【答案】6

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得.

【详解】在等差数列｛4｝中，3%=%+。3+%=9,解得%=3,

所以=2%=6.

故答案为：6

14.已知与圆G：/+、2=1和圆6：卜一2）2+（歹一。）2=4都相切的直线有且仅有两条，则实数〃的取

值范围是,

【答案】（-x/5,V5）

【解析】

【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可.

【详解】圆G：/+;;2=1的圆心01（0,0）,半径4=1,

圆。2：（工一2）2+（歹一。）2=4的圆心6（2,。），半径0=2,

因为与圆G：/+「=1和圆Q：（x—2『+（y—Q）2=4都相切的直线有且仅有两条，

所以两圆相交，则|4一弓|<（《2]<4+4，

即1<"+〃2<3»解得一石<a<亚，

所以实数々的取值范围是卜石,、污）.

故答案为：（一石,右）.

15.在三棱锥P-/8C中，△P48和AJBC都是等边三角形，48=2,PC=1,D为棱4B上一点,则

丽•丽的最小值是.

【答案】：

【解析】

UULLLAJLX

【分析】设万=义而，owawi,根据向量的线性运算将尸2C。用已知向量表示，再利用数量及运算

得到瓦•历的表达式，利用二次函数求出最小值.

【详解】如图，设万=义而，0W4W1,

PA2+AC2-PC222+22-12_7

在△"（?中,cosZ.PAC-

2PAAC2x2x28

.•屈•丽=（力+珂.伊+力）二俘+痴）俘+痴）

UJTuurULUrILU'UUTUUTULIT,

=PACA+APAAB+ACAAB+A2AB~

=2x2x（+4x2x2x（一：）+%x2x2x（一3）+4分

7（1A255I

=422-42+-=42--+->-,当且仅当/l二一时，等号成立.

212）222

故答案为：一.

2

16.已知双曲线C：=-二=1（。>0,6>0）的左顶点为A,右焦点为尸，倾斜通为三的直线尸产与双曲线C

a~b~3

在第一象限交于点P,若弓|尸尸闫尸/|,则双曲线C的离心率的取值范围是.

-3、

【答案】-,2

_27

【解析】

【分析】根据题意，由余弦定理代入计算可得|力下区3|尸尸|,再由双曲线的定义结合余弦定理代入计算,

即可得到结果.

由余弦定理得

|JP|2=|^F|2+|PF|2-21JFI-IPFI-cosy-=1|2+1PF|2+1/4F|•|PF|,

又尸用2,

4

所以|力产区白产可，

设双曲线的左焦点为产，，|PF|=|尸产|+2〃，在△F'PF中，由余弦定理得

(\PF\+2a)2=|PF|2+|FF|2-2|PF|-|rr|-cos—,得|尸四二?卜—一/),

3112a-c

由|力产区口加得c+〃上J")(。+。)(3"230,2<£<2,

2-2a-c2a-c2a

-3、

所以离心率的取值范围是-,2.

[2)

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知圆C经过三点0(0,0),4(0,2),8(3,3).

(1)求圆C的方程；

(2)过A的直线/与圆C交于另一点P,且A。。为等腰直角三角形，求/的方程.

【答案】(1)(x-2)2+(,y-l)2=5

(2)y=-3x+2或y=丁+2

【解析】

【分析】(1)法一：设圆的一般方程，代点即可；法二：分别求得弦。4。8的垂直平分线，联立得圆心坐

标，再应用两点距离公式即可求半径，进而得到圆的标准方程；

(2)由题意得圆心到直线的距离为巫，设出直线/的方程，应用点到直线的距离公式即可求解.

2

【小问1详解】

法一：设圆C的一般方程为x2+V+ox+/+尸=0,

F=0

代入三个点得<4+2E+尸=0,

18+3O+3E+尸=0

解得尸=0,£=-2,D=-4,

所以。的方程为-+y2-4x—2歹=0.

法二：线段。4的垂直平分线是y=l,

线段。3的垂直平分线是y=-x+3,联立得圆心。坐标（2,1）,

则半径r=\0C\=4s,所以C的方程为（X-2f+（y-If=5.

【小问2详解】

由题意得圆心到直线的距离为d=—

2

当直线/的斜率不存在时，直线方程为x=0,

此时圆心到直线的距离为2,故斜率存在；

则解二半

则设直线/的方程为歹二丘+2,即Ax-y+2=0

解得％=-3或,，

3

所以/的方程为y=-3x+2或y=；x+2.

18.如图，在正四棱柱48co—中，44=248=2,E,R分别为CG的中点.

（1）证明：平面4"石〃平面80尸；

（2）求同到平面8。厂的距离.

【答案】（1）证明见解析

（2）也

【解析】

【分析】（1）以。为原点，以49,〃。所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面

尸一个的法向量，根据平面法向量平行可得证

\DA,-n\

(2)根据4到平面3DF的距离的空间向量公式d%-=।即得

问

【小问1详解】

以。为原点，以他,加所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系，

4(00,2),2),七(1,0,1),5(1,1,0),尸(0,1,1),

£^=(-1,0,1),£^=(0,1,1),PF=(0,1,1),55=(1,1,0).

设平面BRE的一个法向量m=(x,乂z),

m-ED.=0-X4-Z=0

则—!，即〈[…0，令z=l,则—以m=QT)

而叫=0

设可得平面BDF的一个法向量斤=(玉,>i，Z]),

n~DF=0Iy.+z.=0

则<即《_,令4=1,则X]=l,必=-1,所以7=(1,-1,1),

n-DB=0E+M=°

因为而〃方，两平面又不重合,

所以平面445〃平面8。尸.

【小问2详解】

因为4(1,0,2),所以瓯二(1,0,2),

由(1)知平面80尸的一个法向量方二(1,一1,1),

|西•同「

d

则Ai-BDF-一同一二百,

19.已知抛物线C：/=2加(p>0)的焦点为产，直线x+4y-40=0与c交于4(%,必)，见马,为)两

点.

（1）求乂%的值；

（2）若。上存在点M,使△M48的重心恰为尸，求P的值及点"的坐标.

【答案】⑴必先二100

（2）p=16,（8,2）

【解析】

【分析】（1）联立直线和抛物线方程利用韦达定理即可得出结果;

（2）根据抛物线焦点坐标及重心坐标公式可求得MTV-20代入抛物线方程即可求得〃=16及

【小问1详解】

联立方程C：/=28和x+4y—40=0,

消去x得得16y2一（320+20）卜+1600=0,

则M为=10°-

【小问2详解】

设点邮（玉）,为），易知。0段），如下图所示:

由AMAB的重心恰为尸可得必+%+%=20+与+%=彳p,即%=三~〃-20；

82o

且芭+》2+/=80-4（M+〉2）+/=%-5=0,可得

2

由点M在C上，满足片=2勿0,可得|巴I=2Pyp-20j»

解得p=16,

所以％=8,y=—xl6-20=2,

08

即点M为（8,2）.

20.已知数列｛q｝的各项均为正数，其前〃项和为S“，且2S”二q（为一1）.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）记勾为｛q｝在区间⑹所方?”,）中的项的个数，求数列｛4也｝的前〃项和7；.

n

【答案】（1）an=3

n+i

（2）Tn=^^--3+-

"44

【解析】

【分析】（1）根据S”与风的关系，可得?”｝是等比数列，求出通项?；

（2）根据题意可求出，=〃，利用错位相减法可求出答案.

【小问1详解】

当〃=1时，得q=3,

所以2S〃=3%-3；

则2ar+l=2（S用-S"）=3（--%,

得—=3%,

所以｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列，所以凡二3",nGN'.

【小问2详解】

由（1），可得S〃=e（3"—1）二」^，

当〃=1时，区间（岳,$2）=（3/2）,所以4=1,

当〃22时，•.•S“==<3向=。向，

<S“<%,

••<$2〃<。2〃+1，即当/WN2,在区间（Sm'S?",）内的项有心+],。用+2，»a2m»

所以4”=加，

n

综上，bn=n,anbn=??-3,

.\7；=3+2-324-3-33+---+W3M,①

234n+,

3Tn=3+2-3+3-3+---+w3,②

①一②得,

-27；=3+32+--+3n-??-3w41=3^-3^-n-3n+]

1o«+i3

—nM-J

n1-312J2

•・3**・

21.如图，四棱锥P—48C。的底平面是边长为2的菱形，ZBAD=60°,PAA.PC,PB=PD,E为PC

的中点.

（1）证明：尸C_L平面BEQ；

（2）若PDLAB，求平面尸43与平面BE。夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

(2)T

【解析】

【分析】（1）先通过证明30/平面八4。得到8。_LQC,在通过证明『C_L0K即可得结论;

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面平面角.

【小问1详解】

如图，连接4c与30交于点。,

则。为ZC中点，也为中点，连接OP,0E，

因为PB=PD,所以BDLOP,

又BD工AC,AC,。尸是平面R4C内两条相交线,

所以平面P4C,PCu平面4C,所以8O_LPC,

因为。，E分别为/C，PC中点，所以月刊/OE,

因为尸N_LPC,所以尸C_LOE.又BD,0E是平面8。七内两条相交线,

所尸C_L平面8皮＞；

B

【小问2详解】

因为平面尸4C,所以平面43CDJ：平面尸4C,

作「月_L4C,交点为H,则尸〃_L平面HBCO,

又/5u平面43CD,所以尸

由尸又PH上AB,PDRPH=H,PD,PHu平面PDH

所以43_/.平面尸。//,又DHu平面PDH,所以。"_L4?,

由于四棱锥P—ABCD的底平面是边长为2的菱形，/BAD=60°.

所以△48。为等边三角形，又4O_L8。，DH工AB,

所以点”即为△480的垂心，也为重心，

则OH=LOA=®，PH2=HAHC=±,PH;巫,

3333

如图，以。为原点建立空间更角坐标系，

则小咚嘤

J(0,-x/3,0),5(1,0,0),

八2百276

则加=(1,石,0),后

亍'亍

设平面PAB的一个法向量丽=(x,y,z),

f-不八\x+\fiy=O

m-AB=Olr~

由—，即276，取而=（2\/J,—2,及），

in•AP=0---y4-----z=0

I33

—•（一2迎、

又平面BOE的一个法向量PC=0,-—

33

X7

的、”/-乔、1\m-PC\4G@

所以cos（加,PC）=---=-=—}=—f==—,

\m\\PC\Mx&3

即平面PAB与平面BED夹角的余弦值—.

3

22.已知椭圆C：£+£=1（4>6>0）,其短轴长为2,离心率为也.

a~b22

（1）求椭圆。的方程；

（2）设。为坐标原点，动点M,N在C上，记直线OM,QV的斜率分别为《，攵2,试问：是否存在常

数；I,使得当k/2=%时，aOMN的面积为定值?若存在，求出丸的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）—+/=1

4

（2）存在，A=--

4

【解析】

【分析】（1）直接根据条件列式计算求出凡瓦c•即可；

（2）设Ngy）,设MN的方程：尸去+小，与椭圆联立，利用韦达定理表示出△OMN

的面积，然后根据面积为定值求解即可.

【小问1详解】

2q121

由已知2b=2,b=l,又二=士得二二上，

a24a24

所以/=4，

2

所以椭圆。的方程为三+/=1;

4

【小