甘肃省会宁一中高三下学期3月份测试数学（理）试题

会宁一中2018届高三3月份测试卷高三理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为10的正方形托盘内，已知硬币平放在托盘上且没有任何部分在托盘外，则该硬币完全落在托盘内部内的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，当硬币的圆心落在边长为的正方形内部时，硬币平放在托盘上且没有任何部分在托盘外，当硬币的圆心落在边长为的正方形内部时，该硬币完全落在托盘内部内，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值：.本题选择B选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键，用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.2.已知复数满足，为的共轭复数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得：∴，，故选：A3.如图，当输出时，输入的可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】当输出时，此时4=，即，由，可得：，即，同理：。故选:B4.已知为锐角，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得：又，∴∴的取值范围为故选：C5.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得：，∴故选：D6.的展开式中，的系数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的通项为：的展开式中，的系数为故选：B点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.7.已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得：，又，∴，∴∴∴数列的前项和故选：C8.如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图所示：，故选：D点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.9.已知数列的前项和为，且满足，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，、,,∴故选：A10.已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，若，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由函数是定义在上的偶函数，，可得：，即，故函数的周期为12.令，解得，∴在上的根为5，7；又，∴的最大值在上，即.故选：D11.已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线，与抛物线分别相交于，以及，，若，则四边形的面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由抛物线性质可知：，又，∴，即设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为．直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，从而，=1，由弦长公式得|AB|=，以换k得|CD|=4+4k2，故所求面积为≥32（当k2=1时取等号），即面积的最小值为32．故选：C12.已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】方程的根，即与图象交点的横坐标，方程的根，即与图象交点的横坐标，而的图象关于直线轴对称，如图所示：∴，∴，又，∴故选：A点睛：本题充分利用了方程的根与图象交点的关系，把问题转化为“形”的问题，而的图象关于直线轴对称，从而两根之间满足，目标函数即可转化为关于的函数的最值问题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知，，，且向量，的夹角是，则________．【答案】【解析】由题意可得：，则：，，，即：，整理可得：.14.已知实数，满足，则的最大值是________．【答案】7【解析】作出可行域，如图所示：当直线经过点B时，最大，即，故答案为：7点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为，则的最大值为________．【答案】【解析】由题意，△ABF2的周长为32，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=32﹣4a，∴，∴，令，则，令m=，则当m=时，的最大值为故答案为：16.如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为________．【答案】【解析】设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案为：4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在中，，，分别为内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)利用正弦定理及两角和正弦公式即可求得角的大小；(2)由（1）知，又，易求得，由正弦定理求得，进而得到的面积.试题解析：（1）由及正弦定理得，，即，又，所以，又，所以.（2）由（1）知，又，易求得，在中，由正弦定理得，所以.所以的面积为.18.如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点．（1）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由．（2）若点为的中点且，求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）存在点，且为的中点．连接，，由三角形中位线的性质可得，结合线面平行的判定定理可得平面．（2）由题意结合勾股定理可求得．以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的正弦值为．..............................试题解析：（1）存在点，且为的中点．证明如下：如图，连接，，点，分别为，的中点，所以为的一条中位线，，又平面，平面，所以平面．（2）设，则，，，由，得，解得．由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，故，，，．设为平面的一个法向量，则得令，得平面的一个法向量，同理可得平面的一个法向量为，故二面角的余弦值为．故二面角的正弦值为．19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：乘坐站数票价（元）现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站．甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，乙乘坐超过站且不超过站的概率为，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率；(2)由题意可知的所有可能取值为：，，，，.求得相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望.试题解析：（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，乙乘坐超过站且不超过站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件，则，所以甲、乙两人付费相同的概率是.（2）由题意可知的所有可能取值为：，，，，.，，，，.因此的分布列如下：所以的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为．（1）求直线的斜率；（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：存在常数，使得．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意得到椭圆的方程为.直线的方程为，联立消去得，从而得线段的中点，进而得到直线的斜率；(2)设直线的方程为.联立方程得到同理得到，∴存在常数，使得.试题解析：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即，，所以，，所以，所以，所以椭圆的方程为.直线的方程为，联立消去得，所以或，所以，从而得线段的中点.所以直线的斜率为.（2）由（1）知，直线的方程为，直线的斜率为，设直线的方程为.联立得所以点的坐标为.所以，.所以.联立消去得，由已知得，又，得.设，，则，，，.所以，，故.所以.所以存在常数，使得.21.已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）证明：．【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题易知解不等式得到函数的单调区间；(2)要证，即证.易知：，，从而得证.试题解析：（1）由题易知，当时，，当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）的定义域为，要证，即证.由（1）可知在上递减，在上递增，所以.设，，因为，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，而，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.[选修44：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由直线的参数方程消去参数t得到直线的普通方程；把等式两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x2+y2得答案；（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义求得的值．试题解析：（1）把展开得，两边同乘得①.将，，代入①即得曲线的直角坐标方程为②.（2）将代入②式，得，易知点的直角坐标为.设这个方程的两个实数根分别为，，则由参数的几何意义即得.23.[选修45：不等式选讲]已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到各个区间上的x的范围，取并集