苏科版七年级数学上册常考点微专题提分精练专题33与线段中点有关的动点问题(原卷版+解析)

专题33与线段中点有关的动点问题1．如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次2．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．3．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．4．如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)填空：①A、B两点之间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．③当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为．(2)当t为何值时，PQ＝AB．(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．6．如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值．7．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则；（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？10．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．11．【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”．（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图②，若，点是线段的奇点，则；【解决问题】（3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t＝，MN＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON＝α，∠POQ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？14．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?16．如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等．专题33与线段中点有关的动点问题1．如图，直线l上有A，B，C，D四点，点P从点A的左侧沿直线l从左向右运动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，点P就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若PA＝PB，则在点P从左向右运动的过程中，点P成为黄金伴侣点的机会有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．【详解】解：由题意知，点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，∴点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选：C．【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．2．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是________．【答案】①②##②①【分析】根据AC比BC的多5，可得，从而得到，进而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M为BP的中点，可得到，进而得到，再由N为QM的中点，可得到AB=4NQ，故②正确；然后分两种情况：当点P没有到达点B之前，当点P没有到达点B之前，可得当时，或20，故③错误，即可求解．【详解】解：∵AC比BC的多5，∴，∵，∴，解得：，∴AC=15，∴BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，∵M为BP的中点，∴，∴，∵N为QM的中点，∴，∴AB=4NQ，故②正确；当时，当点P在线段AB上，∵，∴，解得：；当时，点P在点B右侧，位于点Q左侧，，∵，∴，解得：；当时，点P位于点Q右侧，不成立，综上所述，当时，或20，故③错误，∴正确的结论是①②．故答案为：①②【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段间的数量关系，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论讨论思想解答是解题的关键．3．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【答案】1或【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若点M在点B的右侧时，如图1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若点M在线段BO上时，如图2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若点M在线段OA上时，如图3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；④若点M在点A的左侧时，如图4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，综上所述，的值为1或．【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．4．如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，点表示的数是，故答案为：；（2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点，根据题意列方程得，解得，故答案为：8；（3）设点运动了秒时，①当点在点左侧时，即，根据题意列方程得，解得；②当点在点右侧时，即，根据题意列方程得，解得；综上，当运动了秒或秒时．【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)填空：①A、B两点之间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．③当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为．(2)当t为何值时，PQ＝AB．(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．【答案】(1)①10，3；②，；③2；4；(2)当t＝1或3时，；(3)不发生变化，，理由见解析．【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行求解即可得到结果；③当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，根据此及②中结论得出方程求解即可；（2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可；（3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段MN的长度．(1)解：①由题意得：，线段AB的中点为，故答案为：10，3；②由题意得：t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：；故答案为：，；③∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等，∴，解得：，∴当时，P、Q相遇，此时，，∴相遇点表示的数为4；故答案为：2；4；(2)解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，∴，又∵，∴，解得：t＝1或3，∴当t＝1或3时，；(3)解：不发生变化，理由如下：∵点M为PA的中点，点N为PB的中点，∴点M表示的数为，点N表示的数为，∴．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式．6．如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根据AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的长度，再根据CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后两种情况讨论；（3）表示出BP、BQ的长度，再根据列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多种情况讨论；【详解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，∴，P到达C之前时∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ∴解得P到达C之后时∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ∴解得故当点C恰好为PQ的中点时或（3）当P、Q到达C之前时，，∴解得当P到达C之后、Q到达C之前时，，∴解得当P到达D点时此时，，，当P到达D点以后、Q到达D之前，，解得综上当厘米时，、、8，【点睛】此题考查线段和差计算、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是弄清点在运动时的出发点、方向、速度以及两个动点的运动属于相遇问题还是追及问题等．7．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．【答案】（1）AB的长为（）；（2）BD长为2，；（3）C表示的数为（），的长为（）；（4）点D表示的数是1或或或．【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的长度，进而求出AB的长．（2）设AC的长为x，BD的长为y，利用圆周率点的定义，得到关于x与y的关系式，进而得到x=y，故此时有．（3）利用旋转一周即为圆的周长，得到C点表示的数，假设M点离O点最近，设，利用圆周率点及题（2）的结论，求出，最后求出MN的长度即可．.（4）设点D表示的数为m，根据条件分四类情况：，，，，进行分类讨论，设出对应的方程进行求解m的值．【详解】（1）,，，．（2）点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，，．设，，则有，，，，，．（3）由题意可知：C点表示的数是均为线段OC的圆周率点，不妨设M点里O点近，且，，，解得，，，，由（2）可知：．（4）解：设点D表示的数为m，根据题意可知，共分为四种情况．①若，则有，解得．②若，则有，解得．③若，则有，解得．④若，则有，解得．综上所述，点D表示的数是1或或或．【点睛】本题是新定义题型，主要考察了列方程和分类讨论的思想，读懂题目中的新定义，并且正确找到分类讨论的所有情况，是解决本题的关键．8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则；（3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．【分析】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：，即N为CD的中点；情况2：，即N为靠近C点的三等分点；情况3：，即N为靠近D点的三等分点，根据以上三种情况，分别求出CN的长度．（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是“奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是；（2）是线段CD的“奇妙点”根据定义，此题共分为三种情况．当，即N为CD的中点时，有CN=12cm．当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm．当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．故答案为：8或12或16．（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．t秒后，，．当P点是“奇妙点”时，．由“奇妙点”定义可分三种情况．当时，有解得当时，有解得当时，有解得当Q点是“奇妙点”时，．当时，有解得当时，有解得当时，有解得综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或．【点睛】本题属于新定义题，主要是考察了线段中点、线段长度、列方程等知识点，本题讨论情况较多，从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5【分析】（1）根据非负数的和等于0，则=0，=0，进而即可求解；（2）分别用含t的代数式表示PM=4t，PN=4t-8，进而即可求解；（3）分别表示出P、Q所在点表示的数，再列出方程，即可求解．【详解】解：（1）∵，≥0，≥0，∴=0，=0，即：a=10，b=-6，∴A表示的数是10，点B表示的数是-6，∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是：10-8t，故答案是：10，-6，10-8t；（2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16，∵M、N分别是PA、PB的中点，∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；（3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t，∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键．10．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．11．【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”．（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图②，若，点是线段的奇点，则；【解决问题】（3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）或或或或或6【分析】（1）根据“奇点”的定义即可求解；（2）分当N为中点时,当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，进行讨论求解即可；（3）分由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；当P为A、Q的巧点时；当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．【详解】（1）一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”，线段的中点是这条线段的“奇点”，（2），点N是线段CD的奇点，可分三种情况，当N为中点时，,当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，,当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，（3）,秒后，，由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；当P为A、Q的巧点时，有三种情况；1）点P为AQ中点时，则，即，解得：2）点P为AQ三等分点，且点P靠近点A时，则,即，解得：3）点P为AQ三等分点，且点P靠近点Q时,则，即，解得：当Q为A、P的巧点时，有三种情况；1）点Q为AP中点时，则，即，解得：2）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点A时，则,即，解得：3）点Q为AP三等分点，且点Q靠近点P时,则，即，解得：【点睛】考查了两点间的距离,一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t＝，MN＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，设∠MON＝α，∠POQ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）【答案】（1）2，4；（2）6或2；[知识迁移]或【分析】（1）根据运动速度分别表示出点P和点Q在数轴上所对应的数，然后根据相遇时刻列方程求解，结合线段中点的定义求MN的长度；（2）根据数轴上两点间距离列方程求解，然后分别确定点P和点Q在数轴上所对应的数，结合中点和两点间的距离公式求线段MN的长度；[知识迁移]分OP与OQ相遇前及相遇后两种情况，结合角平分线的定义和角的数量关系分析求解【详解】解：（1）由题意可得点P：－2＋t，点Q：6－3t，当P与Q相遇时，－2＋t=6－3t，解得：t=2此时P点表示0，Q点表示0∵M、N分别为PA、QB的中点∴MP=，NP=∴MN＝MP+NP=4故答案为：2；4（2）点P：－2＋t，点Q：6－3t，则PQ＝，即，解得t＝1或3①当t＝1时，点P：－1，点Q：3，则点M：，点N：，∴MN＝=6②当t＝3时，点P：1，点Q：－3，则点M：，点N：，∴MN＝2∴线段MN的长为6或2[知识迁移]①如图∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，∴∠AOM=∠POM=；设∠MON＝α，∠POQ＝β∴∴∴②如图∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，∴∠AOM=∠POM=；设∠MON＝α，∠POQ＝β∴∴∴综上，或【点睛】本题考查一元一次方程的应用及线段中点、角平分线的定义、角的数量关系，，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【答案】（1）8cm；（2）4s或或【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（2）根据中点的定义、线段的和差，列出关于t的方程，问题可解．【详解】（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）设点P、Q运动时间为ts，由题意得，下面分别讨论之．①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，如图1由图得PC=AC-AP=10-2t，CQ=CB-QB=6-t由PC=CQ得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，如图2由图得PC=AP-AC=2t-10，PQ=PB-QB=(16-2t)﹣t，由PC=PQ得2t﹣10＝(16-2t)﹣t，解得t＝；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，如图3由图得，CQ=BC-BQ=6-t，PQ=AP-CQ=2t-10-(6-t)，由CQ=PQ得6﹣t＝2t-10-(6-t)，解得t＝；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，如图4由图得，PC=AP-AC=2t-10，CQ=BQ-BC=t-6，由QC=PC得2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4＜6（舍去），综上所述：t＝4或或．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．14．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4【分析】（1）根据题意以及数轴上所表示的数字写出点D、A表示的数字；（2）根据等量关系：点B运动的距离-13=3，列方程求解；（3）线段CD的中点P的位置为8，分情况讨论即可．【详解】（1）∵点C在数轴上表示的数是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴点D在数轴上表示的数是11，点B在数轴上表示的数是﹣8，点A在数轴上表示的数是﹣10；（2）B运动到CD上时，走过的路程为，减去BC的距离即为此时BC的长度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由题意得，线段CD的中点P的位置为8，分三种情况讨论：①当点P在点B右侧2个单位时，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②当点P在点B左侧2个单位时，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此时P与A重合；③当点P在点A左侧2个单位时，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．【分析】（1）由已知得OA＝6，B是数轴上在A左侧的一点，则可得OB＝AB−OA＝12，因为点B在原点左边，从而可得点B所表示的数；动点P从点A