万源中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

四川省达州市万中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列各数为无理数的是A.2 B. C. D.【答案】C解析：解：是无理数，2、、都是有理数，故选C．2.以下列数组为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A.，， B.，， C. D.1，2，3【答案】B解析：解：A、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；B、，能构成直角三角形，故选项符合题意；C、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；D、，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．故选：B．3.某班名同学某周参加体育锻炼时间统计如下表所示：人数（人）时间（小时）那么该班名同学该周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，∴这组数据的中位数为（8+8）÷2=8；故选C．4.如图，下列条件不能判断直线a∥b的是（）A.∠1=∠4 B.∠3=∠5 C.∠2+∠5=180° D.∠2+∠4=180°【答案】D解析：A、能判断，∵∠1=∠4，∴a∥b，满足内错角相等，两直线平行，不符合题意．

B、能判断，∵∠3=∠5，∴a∥b，满足同位角相等，两直线平行，不符合题意．

C、能判断，∵∠2+∠5=180°，∴a∥b，满足同旁内角互补，两直线平行，不符合题意．

D、不能，符合题意．

故选D．5.下列说法正确的是（）A.若ab＝0，则点P（a，b）表示原点B.点（1，﹣a2）一定在第四象限C.已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴D.已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）【答案】C解析：解：A、若ab＝0，则点P（a，b）表示在坐标轴上，故此选项错误；B、点（1，﹣a2）一定在第四象限或x轴上，故此选项错误；C、已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴，正确；D、已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）或（1，﹣7），故此选项错误．故选C．6.若是关于x，y的二元一次方程，则（）A. B.C. D.【答案】D解析：解：是关于，的二元一次方程，，，解得：．故选：D．7.函数，则的值为（）A.0 B.2 C.4 D.8【答案】C解析：解：∵，，∴，故x=2，∴y=2，∴故答案为：C．8.在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点设k为整数，当直线与的交点为整点时，k的值可以取A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【答案】A解析：解：当时，，即为x轴，则直线和x轴的交点为满足题意，，当时，，，，，x都是整数，，，是整数，或，或或；综上，或或或．故k共有四种取值．故选A．9.若直线与直线的交点坐标为，则下列方程组的解为的是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：可变形为，可变形为，方程组的解为的是，故选A．10.有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF（如图①）；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF的H上（如图②），折痕交AE于点G，则EG的长度为（）A.4﹣6 B.2﹣3 C.8﹣4 D.4﹣2【答案】B解析：∵正方形纸片ABCD的边长为2，

∴将正方形ABCD对折后AE=DF=1，

∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成，

∴AD=DH=2，AG=GH，

在Rt△DFH中，

HF=,∴EH=2-，

在Rt△EGH中，设EG=x，则GH=AG=1-x，

∴GH2=EH2+EG2，

即（1-x）2=（2-）2+x2，

解得x=2-3．故选B.二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11.若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是______．【答案】9解析：依题意得，2a-1+（-a+2）=0解得：a=-1则这个数是（2a-1）2=（-3）2=9故答案为：912.用一组a，b的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____，_____．【答案】①②.1解析：解：当，时，，，而，∴命题“若，则”是错误的故答案为：；1．（答案不唯一）13.若一次函数与函数的图象关于x轴对称，且交点在x轴上，则这个函数的表达式为：_______．【答案】解析：∵两函数图象交于轴，解得：，∵与关于轴对称，故答案为：．14.已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则的立方根是_____．【答案】解析：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，∴③把③代入②得：，解得，∴，把代入①得，即，∴，∵，即的立方根是，故答案为：．15.如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上一动点给出4个结论：线段AB的长为5；在中，若，则的面积是；使为等腰三角形的点P有3个；设点P的坐标为，则+的最小值为．其中正确的结论有____．【答案】解析：①如图1，过B作于C，

点、点，

，，

在中，由勾股定理得：，

故①结论不正确；

②如图2，在中，，，

，

过B作轴于D，

，，

，

，

，

，

，

故②结论不正确；

③如图3，

以A为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形；

作AB的中垂线，交x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形；

以B为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形；

综上所述，使为等腰三角形的点P有3个；

故③结论正确；

④如图4，过B作轴于D，

，

，，

由勾股定理得：，，

作A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，

∴，

此时的值最小，

过B作于C，

则，，

由勾股定理得：，

的最小值是，

即设点P的坐标为，则的最小值为．

故④结论正确；

综上所述，其中正确的结论有：③④；

故答案为③④．三、解答题（共10小题，满分90分）16.化简：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【小问1解析】；【小问2解析】．17.解方程组（1）（2）【答案】(1)；(2).解析：解：得：，解得：，把代入得：解得：，所以原方程的解为：；，由得：，得：，把代入得：，解得：，把代入得：，解得：，所以方程组的解为．18.如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？【答案】12.解析：解：∵OB=16×1.5=24，AB=30，∠AOB=90°，∴∴18÷1.5=12（海里／时），答：乙船每小时航行12海里.19.如图所示，点B，E分别在上，均与相交，，，求证：．【答案】见解析解析：证明：如图，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．20.如图，已知．（1）作出关于x轴对称的；（2）写出点的坐标（_____），（_____），（_____）；（3）计算的面积．【答案】（1）见解析（2）（3）【小问1解析】解：如图，即为所求，【小问2解析】点的坐标分别是，故答案为：【小问3解析】的面积为．21.某县教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了该县八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供信息，回答下列问题：（1）求出参加抽样调查的八年级学生人数，并将频数直方图补充完整．（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少?（3）如果该县共有八年级学生人，请你估计“活动时间不少于天”的大约有多少人？【答案】（1）调查的初一学生人数200人；补图见解析；（2）中位数是4（天），众数是4（天）；（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有2700人．解析：解：（1）调查的初一学生人数：20÷10%＝200（人），“活动时间不少于5天”的人数为：200×（1-15%-10%-5%-15%-30%）=50（人），“活动时间不少于7天”的人数为：200×5%=10（人），补全统计图如下：（2）根据中位数的概念，中位数应是第100人的天数和101人的天数的平均数，即中位数是4（天），根据众数的概念，则众数是人数最多的天数，即众数是4（天）；（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有：（200﹣20﹣30﹣60）÷200×6000＝2700（人）．22.达州大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表：普通间（元/人/天）豪华间（元/人/天）贵宾间（元/人/天）三人间50100500双人间70150800单人间1002001500（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）．为吸引客，在十一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1510元．（1）则三人间、双人间普通客房各住了多少间？（2）如果你作为旅游团团长，你认为上面这种住宿方式是不是费用最少？为什么？【答案】（1）三人间、双人间普通客房各住了8间，13间；（2）不是费用最少，住宿方式三人间人数为48人时，费用最少为元．【小问1解析】设三人间普通客房住了x间，双人间普通客房住了y间，由题意可得，解得，∴三人间、双人间普通客房各住了8间，13间；【小问2解析】不是，理由如下，设三人间共住了x人，则双人间住了人，∴一天一共花去住宿费用；∵一次函数，，∴y随着x的增大而减小，∵x应该为3的倍数，∴x最大为48，∴y取最小值时，题中住宿方式三人间人数为48人，∴上面这种住宿方式不是费用最少，费用最少为时，元．23.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们可以将其进一步化简：（1）（2）（3）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用下面的方法化简：（4）（1）请参照（3）（4）的方法用两种方法化简；（2）化简：．【答案】（1），化简过程见解析（2）【小问1解析】解：方法（3）：；方法（4）：；【小问2解析】解：．24.小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是

；如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是

；如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是

；（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明.【答案】（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）证明见解析．解析：试题分析：（1）平行；垂直；垂直；（2）选①证明BD∥MF理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF．选②证明BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，∴BD⊥MF．选③证明BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∴BD⊥MF．考点：1．平行线的判定；2．角平分线的性质25.如图1，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰．（1）求点C的坐标，并求出直线的关系式；（2）如图2，直线交y轴于E，在直线上取一点D，连接，若，求证：；（3）如图3，在（1）的条件下，直线交x轴于点M，是线段上一点，在x轴上是否存在一点N，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点N