2023年北京市初三一模数学试题汇编：圆解答题（第24题）

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编圆解答题（第24题）一、解答题1.（2023·北京西城·统考一模）如图，AB是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，过点D作的切线交CB的延长线于点E.（1）求证：DE∥AB；（2）若，求线段DE的长.2.（2023·北京朝阳·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥AB，垂足为C，过点A作⊙O的切线，交OC的延长线于点D，连接OB.（1）求证：∠B=∠D；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，CE，若AD=，sinB=，求CE的长．3.（2023·北京海淀·统考一模）如图，AB为☉O的直径，C为☉O上一点，D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E.（1）求证：直线DE为☉O的切线；（2）延长AB，ED交于点F.若BF=2，sin∠AFE=，求AC的长.4．（2023·北京房山·统考一模）如图，△ABC中，AB=AC，以BC为直径作⊙O，与边AC交于点D，过点D的⊙O的切线交BC的延长线于点E.（1）求证：∠BAC=2∠DBC；（2）若cos∠BAC=，DE=4，求BE的长.5.（2023·北京丰台·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条弦，∠ABC=2∠A，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E.（1）求证：CE⊥DE；（2）若tanA=，BE=1，求CB的长.6．（2023·北京门头沟·统考一模）如图，AB是的直径，点D在上，连接AD并延长到C，使，连接BC交于E、过点B作的切线交OE的延长线于点F．（1）求证：；（2）如果，，求EF的长．7．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，点C在⊙O上，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且CE=CF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若CF=1，∠BAF=60°，求BE的长．8．（2023·北京通州·统考一模）如图，是圆内接三角形，过圆心O作，连接，过点C作，交的延长线于点D，．（1）求证：是的切线；（2）如果，求半径的长度．9.（2023·北京延庆·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD⊥OC，且∠ADO＝∠BOC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠BAC=，AD＝3，求⊙O的半径．10．（2023·北京燕山·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为eq\o(BC,\s\up5(︵))的中点，连接AD，过点DDE⊥AC，交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)延长ED交AB的延长线于点F，若BF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和DE的长．

参考答案1．（1）证明：连接OD，如图1．∵DE是⊙O的切线，切点是D，∴OD⊥DE．∴∠ODE＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°．∴∠AOD＝90°．图1∴∠AOD＝∠ODE．图1∴DE∥AB． 3分（2）解：作BH⊥DE于H，如图2．∴∠BHD＝∠BHE＝90°．∵OD⊥DE，∠AOD＝90°，∴∠BOD＝∠ODH＝90°．图2∴四边形OBHD是矩形图2∵OA＝OB＝OD＝5，∴四边形OBHD是正方形．∴BH＝OD＝DH＝5．∵在Rt△BHE中，sinA=，∴tanA=．∵∠ACB=90°，∴∠A＋∠ABC＝90°．∵∠EBH＋∠ABC＝90°，∴∠A＝∠EBH．∴tan∠EBH＝tanA＝．∴HE＝BH∙tan∠EBH＝＝．∴DE＝HE＋DH＝． 6分2.（1）证明：如图，连接OA.∵AD为⊙O的切线，∴∠OAD=90°.∴∠CAD+∠OAB=90°.∵OC⊥AB，∴∠ACD=90°.∴∠CAD+∠D=90°.∴∠OAB=∠D.∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.∴∠B=∠D.（2）解：在Rt△ACD中，AD=，sinD=sinB=，可得.∴AB=2AC=4.根据勾股定理，得CD=4.∴tanB=tanD=.∵BE为⊙O的直径，∴∠EAB=90°.在Rt△ABE中,.在Rt△ACE中，根据勾股定理，得CE=.3．（本题满分6分）（1）证明：连接OD，AD.∵点D是的中点，∴.∴∠BAD＝∠CAD.………1分∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC.………………2分∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°∠E＝90°.∵点D为⊙O上一点，∴直线DE是⊙O的切线.………………3分（2）解：连接BC.设OA＝OB＝OD＝r.∵BF＝2，∴OF＝OB＋BF＝r＋2.在△ODF中，∠ODF＝90°，∴.即，解得r＝1.…………………4分∴AB＝2r＝2.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠E.∴BC∥EF.∴∠ABC＝∠AFE.∴.∴.………………6分4.（1）证明：连接AO，…1分∵AB=AC，点O为直径BC中点，∴AO⊥BC，∠BAC=2∠OAC，……2分∴∠OAC+∠ACO=90°，∵BC为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠BDC=90°，∴∠DBC+∠ACO=90°，∴∠DBC=∠OAC，∴∠BAC=2∠DBC；……3分（2）解：连接OD，……4分∴∠DOE=2∠DBC，又∵∠BAC=2∠DBC，∴∠BAC=∠DOE，……5分∴cos∠DOE=cos∠BAC=，∵DE切⊙O于点D，∴∠ODE=90°，在Rt△ODE中，cos∠DOE==，∴设OD=3x，OE=5x，∴由勾股定理可得，DE=4x，∵DE=4，∴4x=4，∴x=1，∴OE=5，OD=3，∴OB=OD=3，∴BE=OB+OE=3+5=8.……6分（其它解法酌情给分）5.（1）证明：连接OD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°……1分∵AO=DO，∴∠ODA=∠A，∴∠DOB=2∠A=∠ABC.∴DO∥CE.……2分∴∠E=180°-∠ODE=90°.∴CE⊥DE.……3分（2）解：连接BD,CD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.∴∠A+∠ABD=90°.∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.∵∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠A.……4分∴tan∠BDE=tanA=.∵BE=1，∠E=90°，∴DE=3.∵∠C=∠A，∴tanC=tanA=.∴CE=9.……5分∴CB=CE-BE=8.……6分6．（本小题满分6分）解：（1）证明：∵AC=AB，∴∠ABC=∠ACB．…………………1分∵OB=OE，∴∠ABC=∠OEB．…………………2分∴∠ACB=∠OEB．∴OE∥AC．………………………3分（2）连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵BF是⊙O的切线，∴∠OBF=90°．……………4分∵AB=10，∴OB=OE=5．∵OE∥AC，∴∠A=∠BOF．∵∠ADB=∠OBF=90°，∠A=∠BOF，∴△ABD∽△OFB．∴，即：，∴OF=．…………5分∴EF=．…………………6分7.（1）证明：连接AC、OC.∵CE⊥AB,CF⊥AD,CE=CF,∴∠1=∠2.∵OA=OC,∴∠1=∠3,∴∠1=∠3,∴OC∥AF.∴∠F+∠OCF=180°.∵CF⊥AD,∴∠F=90°,∴∠OCF=90°.∵OC为⊙O的半径,∴CF是⊙O的切线.………………3分（2）解：连接BC.∵OC∥AF,∴∠BAF=∠BOC.∵∠BAF=60°,∴∠BOC=60°.∵OB=OC,∴△OCB为等边三角形,∴∠B=60°.∵CF=1,∴CE=1,∴BE=.…………………6分8.暂缺9．（本小题满分6分）（1）证明：∵OD⊥OC，∴∠DOC＝90°．∴∠AOD+∠BOC＝90°．∵∠ADO＝∠BOC，∴∠AOD+∠ADO＝90°．∴∠DAO＝90°．…………3分∵AB是⊙…………3分∴AD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BAC+∠B＝90°．过点C作CE⊥AB于点E，∴∠ECB+∠B＝90°．∴∠BAC＝∠ECB．∵tan∠BAC=，∴tan∠ECB=．设BE=a（a＞0），则CE=2a，BC=a．∴AC=2a，AB=5a．∴OA=OB=2.5a．∴OE=1.5a．∵△ADO∽△EOC，∴．∴．∵AD＝3，…………6分∴OA…………6分∴⊙O的半径为4．10．(本题满分6分)(1)证明：如图，连接OD，∵点D为eq\o(BC,\s\up5(︵))的中点，∴∠1＝∠