高考总复习理数（人教版）第10章计数原理第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点高考试题考查内容核心素养分类加法计数原理与分步乘法计数原理2017·全国卷Ⅱ·T6·5分乘法原理与排列组合结合解决分工问题逻辑推理2016·全国卷Ⅱ·T5·5分应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理求路径条数逻辑推理命题分析分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习概率统计的基础，在高考中占有特殊的地位，大多以选择题和填空题的形式出现，有时与概率统计知识综合出现在解答题中，主要考查基础知识、基本运算与思维能力，难度不大，多为送分题.1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．提醒：1．辨明两个易误点(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．2．两个计数原理应用的步骤第一步，由于计数问题一般是解决实际问题，故首先要审清题意，弄清完成的事件是怎样的；第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类四类中的哪一种；第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；第四步，根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材习题改编)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A．504 B．210C．336 D．120解析：选A分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．3．(教材习题改编)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A．12 B．8C．6 D．4解析：选Cx＝1时，y＝5,6，有点(1,5)，(1,6)，x＝3时，y＝5,6，有点(3,5)，(3,6)，x＝－2时，y＝5,6，有点(－2,5)，(－2,6)，共6个点．4．(教材习题改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．解析：每位同学有两种报名方法2×2×2×2×2＝25＝32(种)．答案：32分类加法计数原理[明技法]利用分类加法计数原理解题时2个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．[提能力]【典例】高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解：(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法．根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．根据分类加法计数原理，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．[刷好题]五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A．30种 B．31种C．35种 D．40种解析：选B分类：第一类，两人拿对：2×Ceq\o\al(2,5)＝20种；第二类，三人拿对：Ceq\o\al(3,5)＝10种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31种．分步乘法计数原理[析考情]分步乘法计数原理和分类加法计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题形式出现，难度中等，分值5分．[提能力]【典例】(1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．解析：(1)从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．答案：(1)B(2)120[悟技法](1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．[刷好题]1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种解析：选A先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有Aeq\o\al(3,3)种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有Aeq\o\al(3,3)·2·1＝12(种)不同的排列方法．2．如图一管道有6个联接点，如果一个联接点堵塞，则整个管道不通．现发现管道不通，那么联接点堵塞情况有________种．解析：因为每个联接点是否堵塞有2种，而只要一处堵塞，则整个管道不通．故共有26－1＝63种可能．答案：63两个计数原理的综合应用[析考情]两个计数原理的应用，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．[提能力]命题点1：与数字有关的问题【典例1】我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是六合数)，则“六合数”中首位为2的有()A．18个 B．15个C．12个 D．9个解析：选B依题意，这个四位数百位、十位、个位之和为4，由(4,0,0)，(3,1,0)，(2,2,0)，(1,1,2)各能组成3,6,3,3个.3＋6＋3＋3＝15个．命题点2：与几何有关的问题【典例2】从A到O有________种不同走法(不重复过一点)．解析：分三类：一类一步完成A→O，二类两步完成A→B→OA→C→O，三类三步完成A→B→C→OA→C→B→O，共1＋2＋2＝5种．答案：5命题点3：涂色问题【典例3】如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()ABCDA．72种 B．48种C．24种 D．12种解析：选A方法一首先涂A有Ceq\o\al(1,4)＝4(种)涂法，则涂B有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)涂法，C与A，B相邻，则C有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)涂法，D只与C相邻，则D有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)涂法，所以共有4×3×2×3＝72(种)涂法．方法二按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．[悟技法]与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．[刷好题]1．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343A．240 B．204C．729 D．920解析：选A若a2＝2，则凸数为120与121，共1×2＝2个．若a2＝3，则凸数有2×3＝6个．若a2＝4，则凸数有3×4＝12个，…，若a2＝9，则凸数有8×9＝72个．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．2．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种 B．460种C．480种 D．496种解析：选C完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知：不同涂法有360＋120＝480(种)．3．已知ax2－b＝0是关于x的一元二次方程，其中a，b∈{1,2,3,4}，则解集不同的一元二次方程的个数为________.解析：从集合{1,2,3,4}中任意取两个不同元素作为a，b，方程有Aeq\o\al(2,4)个；当a，b取同一个数时方程有1个，共有Aeq\o\al(2,4)＋1＝13个方程．题设中：“求解