【易错专训】04 特殊的平行四边形动点最值与折叠问题（解析版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错04特殊的平行四边形动点最值与折叠问题易错【易错1例题】特殊的平行四边形动点最值1．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点作于点，于点．则线段的最小值是______．【答案】【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【详解】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=6，∴AB=，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=，∴CM的最小值=，∴线段DE的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，求出CM的长是解题的关键．【易错2例题】特殊的平行四边形折叠问题2．（2020·黑龙江九年级零模）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）A．△ABE≌△AGF B．AE＝AF C．AE＝EF D．【答案】C【分析】设BE＝x，由折叠得到AE，建立勾股定理的等式求出AE，再根据矩形的性质即可判断B正确；利用B的结论即可判断A正确；过点E作EH⊥AD于H，根据矩形的性质及勾股定理即可求出D正确，无法证明△AEF不是等边三角形，即可判断C.【详解】解：设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE＝CE＝8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3，∴AE＝8﹣3＝5，由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF＝5，∴B结论正确；在Rt△ABE和Rt△AGF中，,∴Rt△ABE≌Rt△AGF（HL），∴A结论正确；过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH＝AB＝4，AH＝BE＝3，∴FH＝AF﹣AH＝5﹣3＝2，在Rt△EFH中，EF＝2，∴D结论正确；∵△AEF不是等边三角形，∴EF≠AF，∴C结论错误．故选：C．【点睛】此题考查矩形的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，等边三角形的判定，综合掌握各知识点并熟练运用解题是关键.【专题训练】选择题1．（2020·山东济南市·八年级期中）菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．3 C． D．+1【答案】B【解析】【分析】过点C作CE⊥AB，根据题意可求出AB，CD的距离即CE的长，由BD平分∠ABD，则作点P关于BD的对称点P'，则当P'，K，Q三点共线，且垂直于AB时，PK+QK有最小值，即最小值为CE的长．【详解】解：如图：过点C作CE⊥AB∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°∴∠ABC＝60°，BC＝2，BD平分∠ABD∴BE＝，CE＝BE＝3∵BD平分∠ABD∴在AB上作点P关于BD的对称点P'∴PK+QK＝P'K+KQ∴当P'，K，Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK+QK有最小值，即最小值为平行线AB，CD的距离，则最小值为3故选：B．【点睛】本题考查了最短路径问题，菱形的性质，作点P关于BD的对称点P'是本题的关键．2．（2020·安徽九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4【答案】A【详解】试题分析：先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长．解：连结AP，如图所示：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴PM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP==2.4，∴AP最短时，AP=2.4，∴当PM最短时，PM=AP=1.2．故选A．考点：矩形的判定与性质；垂线段最短．3．（2020·云南九年级其他模拟）如图，菱形ABCD的的边长为6，，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若EF=2，则AE+CF的最小值为（）A． B． C．6 D．8【答案】A【分析】作，使得，连接交于，由四边形是平行四边形，推出，推出，根据两点之间线段最短可知，此时最短，由四边形是菱形，在中，根据计算即可．【详解】解：如图，作，使得，连接交于，，，四边形是平行四边形，，，根据两点之间线段最短可知，此时最短，四边形是菱形，，，是等边三角形，，在中，的最小值为．故选：A【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决．4．（2017·陕西商洛市·）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为（）A． B．3 C．+1 D．2【答案】C【解析】连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，BO=OD，CD=2，∴点B与点D关于AC对称，∴BP=DP，∴BP+PQ=DP+PQ=DQ.在Rt△CDQ中,DQ=，∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1.故选C.点睛：本题考查了轴对称最短路线问题，由轴对称和正方形的性质确定△PBQ取最小值时P点的位置是解决问题的关键.5．（2021·重庆八年级期末）如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】过点O作OG⊥AD于点G．易证△OFA≌△OEB，从而可得OF=OE，可得，当OF最小时，EF最小，此时OF与OG重合，从而可求得线段EF的最小值．【详解】过点O作OG⊥AD于点G，如图∵四边形ABCD是正方形，且对角线AC、BD相交于点O∴OA=OB=OD，∠OAF=∠OBE=45°，AC⊥BD∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=90°∵OE⊥OF∴∠AOE+∠AOF=90°∴∠FOA=∠EOB在△FOA和△EOB中∴△FOA≌△EOB(ASA)∴OF=OE∵OE⊥OF∴由勾股定理得：∴当OF最小时，EF最小∵OG⊥AD∴OF≥OG即当OF与OG重合时，线段OF最小，最小值为OG的长，从而EF的最小值为∵OA=OD，OG⊥AD∴G点是AD的中点∴OG=AD=2∴故选：C．【点睛】本题是一个求最值的问题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识．关键是把求线段EF的最小值转化为求线段OF的最小值．6．（2019·湖北武汉市·）如图，菱形ABCD的对角线相交于点0，AC＝2，BD＝．将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据菱形的性质得到∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，可证得∠ABC=60°，由折叠的性质得到EF⊥BO，推出△BEF是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，求得EF=AC=1，求出△BEF和菱形ABCD的面积，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=2，，∴∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，AO=1，BO=，

∴AB=2，∴∠CBO=∠ABO=30°，

∴∠ABC=60°，

由折叠的性质得，EF⊥BO，∴∠BEF=∠BFE=60°，EF∥AC，

∴BE=BF，

∴△BEF是等边三角形，EF是△ABC的中位线，∴EF=AC=1，

∴△BEF的面积=EF×BO=×1××=∵菱形ABCD的面积=AC×BD=×2×2∴五边形AEFCD的面积=菱形ABCD的面积-△BEF的面积=故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．二、填空题7．（2016·江苏徐州市·）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折叠EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=8cm，BC=10cm，则折痕EF的最大值是____________．【答案】5cm【解析】试题分析：只有BF大于等于AB时，B′才会落在AD上，判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，在Rt△B′DC中，B′D===6cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣6=4cm，设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=8﹣x，在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，在Rt△BEF中，EF===5cm．故答案为5cm．点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．8．（2021·四川广元市·八年级期中）如图，已知正方形的边长为6，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是_____________．【答案】【分析】连接CE交BD于点P，连接AP，根据正方形的对称性得到AP＝CP，根据两点之间，线段最短可得，AP＋PE最小值等于CE的长，利用勾股定理求出CE的长即可得到答案．【详解】解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP＋EP＝CP＋EP＝CE，此时AP＋PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为6，点E是边AB的中点，∴BC＝6，BE＝3，∠ABC＝90°，∴CE＝，∴AP＋PE的最小值是故答案为：．【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接CE交BD于点P时AP＋PE有最小值，这是解题的关键．9．（2019·无锡市江南中学八年级期中）如图在菱形ABCD中，∠BAD=150°，点O为对角线AC、BD的交点，菱形ABCD的面积为32，点E、F分别是线段OD、CD上的动点，则CE+EF的最小值为_____．【答案】4【解析】【分析】作点F关于BD的对称点F',连接CF',EF',则CE+EF=CE+【详解】作点F关于BD的对称点F',连接CF',EF',则CE+EF=此时,∵∠BAD=150°，∴∠ADCAF菱形ABCD的面积为32，即：AD⋅解得：CF即CE+EF的最小值为4.故答案为：4.【点睛】考查菱形的性质，轴对称-最短路径问题，比较基础，难度不大.10．（2020·哈尔滨市第七十中学校八年级期中）如图，点E、F、G、H分别是矩形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且HG与EF交于点I，连接HE、FG，若AB=6，BC=5，EF//AD，HG//AB，则HE+FG的最小值是_____．【答案】【分析】由EF//AD，HG//AB，结合矩形的性质可得四边形AHIE和四边形IFCG为矩形，然后根据矩形的性质可的HE+FG的长度也就是AI+CI的长度，然后利用两点之间，线段最短求其最小值即可．【详解】解：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠B=90°，AB∥CD，AD∥BC∵EF//AD，HG//AB∴四边形AHIE和四边形IFCG为矩形∴HE=AI，FG=CI∴HE+FG的长度也就是AI+CI的长度又因为AI+CI≥AC∴当A，I，C三点共线时，AI+CI最小，即AC的长度在Rt△ABC中，∴HE+FG的最小值为故答案为：【点睛】本题考查矩形的判定和性质及两点之间，线段最短，题目难度不大，正确判定四边形AHIE和四边形IFCG为矩形是解题关键．11．（2018·湖北武汉市·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________【答案】【分析】由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=AG=．【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=AG=；故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．12．（2021·广西崇左市·八年级期末）如图，矩形纸片ABCD中，BC＝8cm，把矩形纸片沿直线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，若BF＝cm，则CD的长度为______．【答案】6cm【分析】先根据矩形的性质得到AD=BC=8、CD=AB、∠A=∠E，由折叠的性质可得CD=ED,即AB=ED,然后再证明△AFB≌△EFD,说明BF=FD=,ED=AB、AF=FE,由AF=AD-DF可求得AF，进而求得EF，最后应用勾股定理解答即可．【详解】解：∵矩形ABCD中，BC＝8cm∴AD=BC=8、CD=AB、∠A=∠E由折叠的性质可得CD=ED在△AFB和△EFD中∴△AFB≌△EFD∴BF=FD=、AF=FE∴EF=AF=AD-FD=8-=,在Rt△EFD中，FD=,EF=∴ED==6∴CD=6．故填6cm．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活运用矩形的性质、折叠的性质成为解答本题的关键．三、解答题13．（2019·北京五十五中八年级期中）已知：在△ABC中，AB＝AC＝5，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？指出点M的位置，并加以证明．【答案】（1）四边形AQMP的周长＝10；（2）点M位于BC的中点时，四边形AQMP是菱形．理由见解析.【解析】【分析】（1）根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长．【详解】（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∴AQ=MP，QM=AP．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B=∠PMC，∠C=∠QMB，∴∠PMC=∠QMB，∴BQ=QM，PM=PC，∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=10．（2）点M位于BC的中点时，四边形AQMP是菱形．理由如下：∵BM=MC，PM∥AB，MQ∥AC，∴AP=PC，AQ=BQ，∴PMAB，MQAC．∵AB=AC，∴MP=MQ．∵四边形AQMP是平行四边形，∴四边形AQMP是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2020·山东青岛市·九年级一模）如图，在□ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=DE，连接AE、BF、EF．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若∠BFC－∠ABE=90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）矩形，证明见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质求得AD=BC，∠ADB=∠DBC，由平行线的性质求得∠DBC=∠BCF，从而求得∠ADB=∠BCF，利用SAS定理判定三角形全等即可；（2）先证明四边形ABFE是平行四边形，由△ADE≌△BCF，得出∠AED=∠BFC，由三角形的外角性质证出∠BAE=90°，从而判定四边形ABFE为矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵CF∥DB，∴∠DBC=∠BCF，∴∠ADB=∠BCF，又∵DE=CF，∴△ADE≌△BCF；（2）平行四边形ABFE是矩形．∵CF∥DE，CF=DE∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF∥CD，EF=CD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD∴AB∥EF，AB=EF∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED=∠BFC，又∵∠BFC－∠ABE=90°，∴∠AED－∠ABE=90°，∵∠AED－∠ABE=∠BAE，∴∠BAE=90°，∴□ABFE是矩形．【点睛】此题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、矩形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质和判定，和全等三角形的判定以及矩形的判定是解答关键．15．（2020·广西钦州市·九年级二模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求线段CE的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据折叠的性质得出,再根据得出,从而得到,证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等，得出四边形是菱形；（2）根据折叠的性质得出,从而计算出,设，利用勾股定理解方程即可．【详解】证明：（1）由题意可得∴又∵∴∴∴∴四边形是平行四边形又∵∴四边形是菱形；（2）由题意知：∴在中：∴设，则在中：解得：∴【点睛】本题考查折叠的性质、菱形的判定、勾股定理等知识，掌握相关的线段与角的转化是解题关键，同时注意折叠的不变性处理．16．（2019·山东烟台市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PE的长．【答案】（1）见解析；（2）PE=.【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（2）由三角形中位线定理可得AE=2OF，由勾股定理可得AE=8，再由勾股定理可得PB的长．【详解】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴PB=PE，OB=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE=QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）∵点F为AB的中点，OB=OE，OF+OB=9，∴AE=2OF，BE=2OB，AE+BE=18设AE=x，BE=18-x，∵BE2=AB2+AE2，∴（18-x）2=36+x2，∴x=8∵AB2+AP2=PB2，∴36+（8-PB）2=PB2，∴PB=∴PE=.【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．17．（2020·江苏）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，（1）将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处（如图①），设DE与BC相交于点F，试说明△DBF是等腰三角形，并求出其周长．（2）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图②），求折痕GH的长．【答案】（1）证明见解析，周长；（2）【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求出BF的长度，再求出周长；（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得．【详解】(1)由折叠得，∠ADB=∠EDB，在矩形ABCD中：∠C=90°，CD=AB=6,AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴BF=DF，设BF=x，则CF=8−x，

在Rt△CDF中，即

解得∴在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，∴∴△DBF的周长是：BF+DF+DB=(2)由折叠得，DH=BH，设BH=DH=x，则CH=8−x，在Rt△CDH中，

即

解得连接BD、BG，由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，

∵矩形ABCD的边AD∥BC，

∴∠BHG=∠DGH，∴∠DHG=∠DGH，∴DH=DG，∴BH=DH=DG=BG，∴四边形BHDG是菱形，在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，∴∴S菱形BHDG=BD⋅GH=BH⋅CD，即×10⋅GH=×6，解得G