高考数学（文）一轮复习教师用书第八章第七节抛物线

第七节抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝eq\a\vs4\al(1)准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq\f(a,4).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，直线l：x＝－eq\f(1,4)，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线解析：选D由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．3．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－eq\f(1,8)y.∴2p＝eq\f(1,8)，p＝eq\f(1,16)，∴焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32)))4．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．解析：当焦点在x轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦点为(－1,0)，故抛物线方程为y2＝－4x，当焦点在y轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦点为(0，－2)，故抛物线方程为x2＝－8y.答案：y2＝－4x或x2＝－8y5．(教材习题改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－eq\f(1,16)，设M(x，y)，则y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).答案：eq\f(15,16)eq\a\vs4\al(考点一抛物线的标准方程)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]高考要求考生掌握四种不同的抛物线的标准形式.高考试题的考查形式主要有两种：一是求抛物线的方程；二是根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质，题型多为选择题、填空题，难度适中.1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y解析：选D(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0) B．(1,0)C．(0，－1) D．(0,1)解析：选B抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，由题设知－eq\f(p,2)＝－1，即eq\f(p,2)＝1，所以焦点坐标为(1,0)．3．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________________．解析：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，A(x1，y1)，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(p,2)))2＝17，,x\o\al(2,1)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－\f(p,2)))2＝9，,x\o\al(2,1)＝2py1，))解得p＝4或p＝2.故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝4y.答案：x2＝8y或x2＝4y4．(2017·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．又F(1,0)，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1,0)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝(1，－a)，由题意得eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(AF,\s\up7(→))的夹角为120°，故cos120°＝eq\f(－1,1×\r(1＋－a2))＝－eq\f(1,2)，解得a＝eq\r(3)，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1[怎样快解·准解]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点常设为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,2p)，y)).[注意]求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．(如第1题)eq\a\vs4\al(考点二抛物线的定义及其应用)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——追根溯源)eq\x(\a\al(抛物线定义的考查形式多为选择题或填空题，也常出现在解答题的第1问，难度中等.,常见的命题角度有：,1利用抛物线的定义解决最值、距离问题；,2利用抛物线的定义处理焦点弦问题.))[题点全练]角度(一)利用抛物线的定义解决最值、距离问题1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)解析：选D过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.eq\f(3\r(5),5) B．2C.eq\f(11,5) D．3解析：选B由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是eq\f(|4－0＋6|,5)＝2.3．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为eq\r(3)的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)解析：选C法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝eq\r(3)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得x＝eq\f(1,3)或x＝3.由M在x轴的上方，得M(3,2eq\r(3))，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，则|MN|＝|MF|＝eq\f(2,1－cos60°)＝4.又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).[题型技法](1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).角度(二)利用抛物线的定义处理焦点弦问题4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16 B．14C．12 D．10[思维路径]要求|AB|＋|DE|的最小值，需用合适的变量表示|AB|＋|DE|，因为AB和DE均过焦点F，故考虑利用抛物线的定义，用点A，B和D，E的坐标表示|AB|和|DE|，然后利用函数或基本不等式求最值．解析：选A法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1))消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋eq\f(4,k2)＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋eq\f(4,k2)＋4＋4k2＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋8＝16，当且仅当eq\f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16.法二：如图所示，设直线AB的倾斜角为θ，过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，则|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，过点F向AA1引垂线FG，得eq\f(|AG|,|AF|)＝eq\f(|AF|－p,|AF|)＝cosθ，则|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，同理|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2p,sin2θ)，即|AB|＝eq\f(4,sin2θ)，因为l1与l2垂直，故直线DE的倾斜角为θ＋eq\f(π,2)或θ－eq\f(π,2)，则|DE|＝eq\f(4,cos2θ)，则|AB|＋|DE|＝eq\f(4,sin2θ)＋eq\f(4,cos2θ)＝eq\f(4,sin2θcos2θ)＝eq\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2θ))2)＝eq\f(16,sin22θ)，则易知|AB|＋|DE|的最小值为16.[题型技法]1．灵活选用方法准解题定义法|AB|＝x1＋x2＋p斜率法|AB|＝eq\f(1＋k2,k2)×2p(k为AB的斜率)倾斜角法|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)2．谨记二级结论快解题如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).②|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ)(θ为AB的倾斜角)．③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).④焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ)＝eq\f(1,2)|AB||d|＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|.⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切．⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2eq\r(2)，所以N(0,4eq\r(2))，|FN|＝eq\r(4＋32)＝6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：62．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(OB,\s\up7(→))，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．设C(x3，y3)，则eq\o(OC,\s\up7(→))＝(x3，y3)＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(OB,\s\up7(→))＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.3．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.证明：设直线AB的方程为x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－eq\f(p2,yA).∵BC∥x轴，且C在准线x＝－eq\f(p,2)上，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，yB)).则kOC＝eq\f(yB,－\f(p,2))＝eq\f(2p,yA)＝eq\f(yA,xA)＝kOA.∴直线AC经过原点O.eq\a\vs4\al(考点三直线与抛物线的位置关系)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)直线与抛物线的位置关系是每年高考的重点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属于中等偏上.[典题领悟](2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝eq\f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．[学审题]看到曲线的切线想到导数的几何意义；看到AM⊥BM想到直角三角形的性质或eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(BM,\s\up7(→))＝0.解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)法一：由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).设M(x3，y3)，由题设知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)，得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1,2＝2±2eq\r(m＋1).从而|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2m＋1).由题设知|AB|＝2|MN|，即4eq\r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.法二：由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2)，设M(x3，y3)，由题设知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y＝\f(x2,4)，))得x2－4x－4m＝0.由Δ＝16(m＋1)＞0，得m＞－1.则x1＋x2＝4，x1x2＝－4m∵AM⊥BM，∴eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(BM,\s\up7(→))＝0，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，又y＝x＋m，∴(x1－2)(x2－2)＋(x1＋m－1)(x2＋m－1)＝0，即2x1x2＋(m－3)(x1＋x2)＋4＋(m－1)2＝0，∴－8m＋4(m－3)＋4＋(m－1)2＝0整理得m2－6m－7＝0解得m＝7或m＝－1，又m＞－1，∴m＝7，∴直线AB的方程为x－y＋7＝0.[解题师说]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意]涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[冲关演练](2018·洛阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解：(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py))得x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p))).∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，k2p＋\f(p,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，－\f(p,2))).∴kAN＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－kp)＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－\f(x1＋x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)＋p2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)－x1x2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(x1,p).又x2＝2py，∴y′＝eq\f(x,p).∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝eq\f(x1,p).∴直线AN与抛物线相切．(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为()A．(0,1) B．(0,2)C．(1,0) D．(2,0)解析：选A由抛物线x2＝2py(p＞0)的准线为y＝－eq\f(p,2)＝－1，得p＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2).3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为()A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2) D．(1,4)解析：选A设点P的坐标为(x0，y0)．因为△QAF的面积为2，所以eq\f(1,2)×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．4．已知点F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点．若|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq\f(7,4) B.eq\f(5,4)C.eq\f(3,4) D．1解析：选B设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AF|＋|BF|＝xA＋eq\f(p,2)＋xB＋eq\f(p,2)＝xA＋xB＋p＝3，则AB的中点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xA＋xB,2)，\f(yA＋yB,2)))到y轴的距离d＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(3－p,2)＝eq\f(5,4).5．已知点A(0,2)，抛物线C1：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，则a的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．4解析：选D依题意，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，则|KN|∶|KM|＝2∶1.∵kFN＝eq\f(0－2,\f(a,4)－0)＝－eq\f(8,a)，kFN＝－eq\f(|KN|,|KM|)＝－2，∴eq\f(8,a)＝2，解得a＝4.6．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若△AOB的面积为4，则|AB|＝()A．6 B．8C．12 D．16解析：选D设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，F(1,0)．当AB⊥x轴时，|AB|＝4，S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|AB|＝2，不成立，所以eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)－1)⇒y1y2＝－4.由△AOB的面积为4，得eq\f(1,2)|y1－y2|×1＝4，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),4)＋2＝16.7．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为eq\f(1,2)，则点P到x轴的距离为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故eq\f(xP,xP－－1)＝eq\f(1,2)，解得xP＝1，所以yeq\o\al(2,P)＝4，所以|yP|＝2.答案：28．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y2＝2x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝30°.直线OA的方程y＝eq\f(\r(3),3)x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐标为(6,2eq\r(3))．∴|AB|＝4eq\r(3)，正三角形OAB的面积为eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3).答案：12eq\r(3)9．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：210．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2eq\r(2)，所以直线AB的斜率为k＝eq\f(2\r(2),2－1)＝2eq\r(2).则直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝eq\f(5,2)，所以xB＝eq\f(1,2)，所以|BF|＝xB＋eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)B级——中档题目练通抓牢1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF与抛物线C的一个交点．若|PQ|＝eq\r(2)|QF|，则直线PF的方程为()A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0解析：选B如图，过点Q作QM⊥l于点M.∵|QF|等于点Q到准线的距离|QM|，∴|PQ|＝eq\r(2)|QM|，∴∠PQM＝45°，∴∠PFO＝45°，∴直线PF的倾斜角为135°，即斜率k＝－1，∴直线PF的方程为y－0＝－1×(x－2)，即x＋y－2＝0.2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，则|PA|＋|PM|的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5解析：选C设抛物线y2＝2x的焦点为F，则|PF|＝|PM|＋eq\f(1,2)，∴|PM|＝|PF|－eq\f(1,2).∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－eq\f(1,2).将x＝eq\f(7,2)代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq\r(7).∵eq\r(7)＜4，∴点A在抛物线的外部．∴当P，A，F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值．∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，∴|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－\f(1,2)))2＋4－02)＝5.∴|PA|＋|PM|有最小值5－eq\f(1,2)＝eq\f(9,2).3.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝9x解析：选B如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a由抛物线的定义得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a2|AE|＝|AC|，所以6＝3＋3a，从而得a＝1因为BD∥FG，所以eq\f(|DB|,|FG|)＝eq\f(|BC|,|FC|).即eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，解得p＝eq\f(3,2)，因此抛物线方程为y2＝3x.4．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋eq\f(p,2)，|BF|＝y2＋eq\f(p,2)，|OF|＝eq\f(p,2)，由|AF|＋|BF|＝y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2)，所以eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：y＝±eq\f(\r(2),2)x5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C(x0，xeq\o\al(2,0))(xeq\o\al(2,0)≠a)，A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，则eq\o(CA,\s\up7(→))＝(－eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))．∵CA⊥CB，∴eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，即－(a－xeq\o\al(2,0))＋(a－xeq\o\al(2,0))2＝0，(a－xeq\o\al(2,0))(－1＋a－xeq\o\al(2,0))＝0.∴xeq\o\al(2,0)＝a－1≥0，∴a≥1.答案：[1，＋∞)6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3)，∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4).∴FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)，①MN的方程为y－2＝－eq\f(3,4)x，②联立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).7.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA＝eq\f(y1－2,x1－1)(x1≠1)，kPB＝eq\f(y2－2,x2－1)(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，①,y\o\al(2,2)＝4x2，②))所以eq\f(y1－2,\f(1,4)y\o\al(2,1)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(1,4)y\o\al(2,2)－1)，所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4.由①－②得，yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，所以kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1(x1≠x2)．C级——重难题目自主选做1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A′，B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点E(－2,3)，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝17D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝26解析：选B设直线AB的方程为x－1＝ty.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝ty，,y2＝4x，))得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－1，y1)，B′(－1，y2)．∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.又∵以A′B′为直径的圆C过点E(－2,3)，eq\o(A′E,\s\up7(→))＝(－1,3－y1)，eq\o(B′E,\s\up7(→))＝(－1,3－y2)，∴eq\o(A′E,\s\up7(→))·eq\o(B′E,\s\up7(→))＝1＋(3－y1)(3－y2)＝0，即y1y2－3(y1＋y2)＋10＝－4－12t＋10＝0，解得t＝eq\f(1,2).∴y1＋y2＝2，∴圆C的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－1,2)，\f(y1＋y2,2)))＝(－1,1)．半径R＝eq\f(|y1－y2|,2)＝eq\f(\r(y1＋y22－4y1y2),2)＝eq\r(5).∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5.2．(2018·武汉调研)已知直线y＝k(x－2)与抛物线Γ：y2＝eq\f(1,2)x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N.(1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行；(2)是否存在实数k使eq\o(NA,\s\up7(→))·eq\o(NB,\s\up7(→))＝0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝\f(1,2)x))消去y并整理，得2k2x2－(8k2＋1)x＋8k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2＋1,2k2)，x1x2＝4，∴xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(8k2＋1,4k2)，yM＝k(xM－2)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2＋1,4k2)－2))＝eq\f(1,4k).由题设条件可知，yN＝yM＝eq\f(1,4k)，xN＝2yeq\o\al(2,N)＝eq\f(1,8k2)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8k2)，\f(1,4k))).设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为y－eq\f(1,4k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,8k2)))，将x＝2y2代入上式，得2my2－y＋eq\f(1,4k)－eq\f(m,8k2)＝0.∵直线l与抛物线Γ相切，∴Δ＝1－4×2m×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4k)－\f(m,8k2)))＝eq\f(m－k2,k2)＝0，∴m＝k，即l∥AB.(2)假设存在实数k，使eq\o(NA,\s\up7(→))·eq\o(NB,\s\up7(→))＝0，则NA⊥NB.∵M是AB的中点，∴|MN|＝eq\f(1,2)|AB|.由(1)，得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2＋1,2k2)))2－4×4)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(16k2＋1),2k2).∵MN⊥y轴，∴|MN|＝|xM－xN|＝eq\f(8k2＋1,4k2)－eq\f(1,8k2)＝eq\f(16k2＋1,8k2).∴eq\f(16k2＋1,8k2)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(16k2＋1),2k2)，解得k＝±eq\f(1,2).故存在k＝±eq\f(1,2)，使eq\o(NA,\s\up7(→))·eq\o(NB,\s\up7(→))＝0.(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：选D∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)，得k＝2.2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若eq\o(FP,\s\up7(→))＝4eq\o(FQ,\s\up7(→))，则|QF|＝()A．3 B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,2) D.eq\f(3,2)解析：选A已知F(2,0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，则eq\o(FP,\s\up7(→))＝(－4，t)，eq\o(FQ,\s\up7(→))＝(x0－2，y0)．由题设可得4(x0－2)＝－4，即x0＝1，所以|QF|＝x0＋2＝3.3．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)C．1 D．2解析：选D设AB的中点为M，焦点为F(0,1)，过点M作准线l：y＝－1的垂线MN，垂足为N，过点A作AC⊥l于点C，过点B作BD⊥l于点D，则|MN|＝eq\f(|AC|＋|BD|,2)＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)≥eq\f(|AB|,2)＝3，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，所以AB的中点到x轴的最短距离dmin＝3－1＝2.故选D.4．已知点A是抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点，O为坐标原点．若A，B是以点M(0,10)为圆心，OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是()A.eq\f(5,2) B.eq\f(5,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(5,9)解析：选C如图，因为|MA|＝|OA|，所以点A在线段OM的垂直平分线上．又因为M(0,10)，所以可设A(x,5)．由tan30°＝eq\f(x,5)，得x＝eq\f(5,\r(3)).将Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,\r(3))，5))代入方程x2＝2py，得p＝eq\f(5,6).5．(2018·太原模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为()A.eq\r(6) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4解析：选A因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝eq\r(\f(16,k2)＋16)，因为|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝6，所以4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))＝6，解得k＝±eq\r(2)，所以|y1－y2|＝eq\r(\f(16,k2)＋16)＝2eq\r(6)，所以△AOB的面积为eq\f(1,2)×1×2eq\r(6)＝eq\r(6)，故选A.6．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝eq\f(1,2)|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E，∵|PA|＝eq\f(1,2)|AB|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x1＋2＝x2＋2，,3y1＝y2，))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))得x1＝eq\f(2,3)，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋eq\f(2,3)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)7．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋eq\f(p,2)，|BF|＝y2＋eq\f(p,2)，|OF|＝eq\f(p,2)，由|AF|＋|BF|＝y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2)，所以eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：y＝±eq\f(\r(2),2)x8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C(x0，xeq\o\al(2,0))(xeq\o\al(2,0)≠a)，A(－eq\r(a)，a)，B(eq\r(a)，a)，则eq\o(CA,\s\up7(→))＝(－eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))．∵CA⊥CB，∴eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))＝0，即－(a－xeq\o\al(2,0))＋(a－xeq\o\al(2,0))2＝0，(a－xeq\o\al(2,0))(－1＋a－xeq\o\al(2,0))＝0.∴xeq\o\al(2,0)＝a－1≥0，∴a≥1.答案：[1，＋∞)9.如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x，得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋|AB|＝eq\r(m2＋1)|y1－y2|＝eq\r(m2＋1)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(m2＋1)·eq\r(4m2－4×－4)＝4(m2＋1)．所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0.10.(2018·合肥模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B.(1)若点O到直线l的距离为eq\f(\r(3),2)，求直线l的方程；(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．解：(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1时，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以eq\f(|－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，解得k＝±eq\r(3).即直线l的方程为y＝±eq\r(3)(x－1)．(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：设A(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝4x0.因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直线AB的方程为y＝eq\f(y0,2x0)(x＋x0)，整理得，x＝eq\f(2x0y,y0)－x0，把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，Δ＝64xeq\o\al(2,0)－16x0yeq\o\al(2,0)＝64xeq\o\al(2,0)－64xeq\o\al(2,0)＝0，所以直线AB与抛物线C相切．B级——拔高题目稳做准做1．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，则C的焦点到准线的距离为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，解得p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x解析：选C由已知得抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设点A(0,2)，M(x0，y0)，则eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，eq\o(AF,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq\f(8,p)＋eq\f(p,2)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))·eq\o(FD,\s\up7(→))的最大值为()A．－4 B．－16C．4 D．－8解析：选B设A(xA，yA)，B(xB，yB)，依题意可得，eq\o(FA,\s\up7(→))·eq\o(FB,\s\up7(→))＝－(|eq\o(FA,\s\up7(→))|·|eq\o(FB,\s\up7(→))|)．又因为|eq\o(FA,\s\up7(→))|＝yA＋1，|eq