高考总复习理数（北师大版）第8章第2节空间图形的基本关系与公理

第二节空间图形的基本关系与公理考点高考试题考查内容核心素养异面直线所成的角2017·全国卷Ⅱ·T10·5分求解异面直线所成的角直观想象数学运算2016·全国卷Ⅰ·T11·5分面面平行的判定与性质，异面直线所成的角2014·全国卷Ⅱ·T11·5分求解异面直线所成的角线面的位置关系2013·全国卷Ⅱ·T14·5分线面位置关系的判断直观想象逻辑推理命题分析异面直线所成的角是高考热点，会单独考查，常出现在选择题中；本节其他知识一般不单独命题，常在解答题中涉及.1．空间图形的基本位置关系(1)空间点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外.(2)空间点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外.(3)空间两条直线的位置关系有三种：①平行直线：在同一平面内，而且没有公共点的两条直线．②相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线．③异面直线：不共面的两条直线．(4)空间直线与平面的位置关系有三种：①直线在平面内：直线和平面有无数个公共点．②直线和平面相交：直线和平面只有1个公共点．③直线和平面平行：直线和平面没有公共点．(5)空间平面与平面的位置关系有两种：①平行平面：两个平面没有公共点．②相交平面：两个平面不重合，并且有公共点．2．空间图形的公理及等角定理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A、B、C三点不共线，则存在一个平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则lα公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线若A∈α，A∈β，则α∩β＝l，且A∈l公理4平行于同一条直线的两条直线平行若a∥b，b∥c，则a∥c等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补若AO∥A′O′，BC∥B′O′，则∠AOB＝∠A′O′B′，∠AOC和∠A′O′B′互补3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条直线互相垂直．(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).提醒：辨明三个易误点(1)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(2)直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．(3)两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC．()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()(5)没有公共点的两条直线是异面直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×2．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EFA．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D3．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有()A．4个 B．3个C．2个 D．1个解析：选A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．4．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：选C由已知，α∩β＝l，∴lβ，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．5．(教材习题改编)两两相交的三条直线最多可确定________个平面．解析：当三条直线共点且不共面时，最多可确定3个平面．答案：3平面的基本性质[明技法]共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[提能力]【典例】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面证明：如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为E、F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B．又因为A1D1＝BC且A1D1∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所EF与CD1确定一个平面α，所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四点共面．[母题变式]本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三线共点[刷好题]已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC．求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点．证明：(1)连接EF、GH，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD．又因为CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E、F、G、H四点共面．(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FH∩AC＝M，所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC．又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，所以M∈EG，所以FH、EG、AC共点．空间两条直线的位置关系[明技法]空间两直线位置关系的判断方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．[提能力]【典例】(1)下列结论正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③ B．②④C．③④ D．②③(2)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是()A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交C．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．aα，bβ，α与β相交⇒a与b相交解析：(1)选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②由公理4可知正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B．(2)选C如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．[刷好题]1．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l42．已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．异面直线所成的角[明技法]用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[提能力]【典例】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________.解析：如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APE＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)[母题变式]在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的值．解：设N为BF的中点，连接EN，MN.则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．不妨设正方形ABCD的边长为4，则EN＝eq\r(5)，EM＝2eq\r(6)，MN＝eq\r(33).在△MEN中，由余弦定理得cos∠MEN＝eq\f(EM2＋EN2－MN2,2EM·EN)＝eq\f(24＋5－33,2×2\r(6)×\r(5))＝－eq\f(1,\r(30))＝－eq\f(\r(30),30).即cosθ＝eq\f(\r(30),30).[刷好题](2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(3),3)解析：选C将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC