第三章函数的概念与性质（习题课单调性与奇偶性的综合应用）课件高一上学期数学人教A版

第三章函数的概念与性质习题课单调性与奇偶性的综合应用人教A版

数学

必修第一册重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习目标1.理解函数奇偶性与单调性的关系.(逻辑推理)2.能运用函数的单调性与奇偶性等解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.(数学运算)重难探究·能力素养速提升问题1函数的奇偶性,可否为研究函数的性质提供简化?问题2结合具体的函数图象,说明函数奇偶性与单调性之间有什么联系吗?探究点一函数的单调性与奇偶性判断【例1】

下列函数是偶函数且在区间(-∞,0)上单调递减的是(

)A.y=2x

B.y=C.y=|x|

D.y=-x2C解析

y=2x不是偶函数;y=不是偶函数;y=|x|是偶函数,且函数在(-∞,0)上单调递减,所以C选项正确;y=-x2是二次函数,是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,故选C.探究点二应用函数的单调性与奇偶性比较大小问题3已知函数一侧的单调性,结合奇偶性,可否知道另一侧的单调性?问题4已知函数单调性,主要能解决什么问题?体现了什么数学思想?【例2】

已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)A解析

∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(2)<f(3)<f(π),∴f(-2)<f(-3)<f(π).故选A.延伸探究(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.

解

(1)因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数.因为-3<-2<π,所以f(-3)<f(-2)<f(π).规律方法

涉及奇、偶函数有关的函数值大小比较的策略应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.探究点三应用函数的单调性与奇偶性解不等式【例3】

已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.解因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递减.延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解

因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在区间[-2,0]上单调递减,所以函数在区间[0,2]上单调递增,原不等式可化为f(|1-m|)<f(|m|),规律方法

抽象不等式的求解策略解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号“f”,使不等式得解.【例4】

设f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,f(1)=0,则xf(x)<0的解集是(

)A.{x|-1<x<0或0<x<1}B.{x|x<-1或0<x<1}C.{x|-1<x<0或x>1}D.{x|x<-1或x>1}D解析

由已知可得f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是减函数,又f(1)=0,所以f(-1)=0,所以xf(x)<0等价于:当x<0时,则f(x)>0,即f(x)>f(-1),解得x<-1;当x>0时,则f(x)<0,即f(x)<f(1),解得x>1.综上所述,不等式xf(x)<0的解集为{x|x<-1或x>1}.故选D.延伸探究已知函数f(x)是R上的奇函数,满足对任意的x1,x2∈(-∞,0)(其中x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,且f(-1)=0,则

的范围是(

)A.(-∞,-1)∪[0,1) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1]∪(0,1] D.(-1,1)B解析

因为对任意的x1,x2∈(-∞,0)(其中x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,所以当x<0时,f(x)单调递减,因为f(-1)=0且f(x)是R上的奇函数,所以f(1)=f(-1)=0,f(0)=0,作出f(x)的大致图象如图所示,规律方法

求解与奇、偶函数有关的不等式问题要涉及分类讨论问题,为避免分类讨论出现错误,可根据函数的奇偶性、单调性作出函数的大致图象及函数与x轴的交点,根据图象可将不等式等价转化为具体不等式求解.学以致用·随堂检测促达标1234567891011A级必备知识基础练1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是(

)A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-7BC解析

根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.123456789101112345678910112.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是(

)D12345678910113.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(

)A.f(-1)>f(2)>f(-3) B.f(2)>f(-1)>f(-3)C.f(-3)>f(-1)>f(2) D.f(-1)>f(-3)>f(2)A解析

由y=f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故选A.12345678910114.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(

)A.单调递增,且有最小值为f(1)B.单调递增,且有最大值为f(1)C.单调递减,且有最小值为f(2)D.单调递减,且有最大值为f(2)C解析

根据奇函数的图象关于原点对称,所以其在y轴两侧单调性相同,因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.1234567891011B解析

∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,∴m=0,即f(x)=-x2+3.∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,123456789101112345678910116.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是(

)A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(0)C解析

∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1),又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.12345678910117.

已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是

.

解析

∵f(4x-3x2)+f(7)>0,∴f(4x-3x2)>-f(7).又f(x)为定义域R上的奇函数,∴f(4x-3x2)>f(-7).12345678910118.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.解

∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),∴f(1-a)+f(1-a2)<0,则f(1-a)<-f(1-a2),即f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,故实数a的取值范围为(0,1).12345678910111234567891011B级关键能力提升练9.(多选题)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是(

)A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数BD解析

若y=f(x)是奇函数,当定义域不包含0时不成立,故A错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B正确;举反例:f(x)=(x-)2满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C错误;设x1<x2,则[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]=[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R上的增函数,故D正确.1234567891011123456789101110.若定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)内单调递减