湖北省部分重点中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试卷

湖北省部分重点中学20172018学年度下学期高二期中考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数（是虚数单位）是实数，则实数（）A.0B.3C.3D.22．对下列三种图形，正确的表述为（）A.它们都是流程图B.它们都是结构图C.（1）、（2）是流程图，（3）是结构图D.（1）是流程图，（2）、（3）是结构图3．已知函数f(x)＝，则＝()A.B.C.D.4.在复平面内，O是原点，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为()A.4＋7iB.1＋3iC.4－4iD.－1＋6i5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝()A．4B．5C．2D．36．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．97．已知“整数对”按如下规律排一列:，则第2017个整数对为（）A.B.C.D.8．已知，则下列三个数（）A.都大于6B.至少有一个不大于6C.都小于6D.至少有一个不小于69.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为()A.eq\f(r,2)B.eq\f(\r(3),2)rC.eq\f(\r(3),3)rD．r10．设为实数，函数的导数为，且是偶函数，则曲线：在点处的切线方程为（）A.B.C.D.11．函数在的图象大致为（）A.B.C.D.12．定义在上的减函数，其导函数是满足，则下列结论正确的是（）A.当且仅当B.当且仅当，C.对于D.对于,二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，均不得分.13．设集合，，若，则最大值是________14.根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，则输出的数是________．15.已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，则该四棱锥的高为16．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算__________.三、解答题：共6题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）已知复数z＝bi(b∈R)，eq\f(z－2,1＋i)是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．18.(本小题12分)你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，x应取何值？(2)若厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，x应取何值？19．（本小题12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．20.（本小题12分）如图所示，矩形ABCD中，AB＝3,BC＝4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求证：平面ACD⊥平面ABC；(2)求三棱锥A－BCD的体积．21．（本小题11分）已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．22．（本小题13分）已知函数f(x)＝eq\f(x,lnx)＋ax，x>1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值；(3)若方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围

湖北省部分重点中学20172018学年度下学期高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ACACADCDDDCD二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．14.50.615．8.16．2016三、解答题：（解答题共6题，共70分）17．（本题10分）解：(1)∵z＝bi(b∈R)，∴eq\f(z－2,1＋i)＝eq\f(bi－2,1＋i)＝＝=＋………3分∵eq\f(z－2,1＋i)是实数，∴eq\f(b＋2,2)＝0，∴b＝－2，即z＝－2i.……………………5分(2)∵z＝－2i，m∈R，∴(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，…………7分∵复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－4>0，,－4m>0.))解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．…………10分18.解(1)根据题意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2，（0<x<30）S′＝240－16x，令S′＝0，得x＝15.………………3分当0<x<15时，S′>0，S（x）递增；当15<x<30时，S′<0，S（x）递减．……5分所以x＝15cm时包装盒侧面积S(x)最大．……………6分(2)根据题意有V＝(eq\r(2)x)2·eq\f(\r(2),2)(60－2x)＝2eq\r(2)x2(30－x)，(0<x<30)V′＝6eq\r(2)x(20－x)，令V'=0，x=20……………9分当0<x<20时，V′>0，V(x)递增；当20<x<30时，V′<0，V(x)递减．……………11分所以x＝20cm时包装盒容积V(x)最大．……………12分19．解：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))……………3分所以d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．………5分(2)证明：由(1)，得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).…………6分假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0.……………8分∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，,))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr∴(p－r)2＝0.……………10分∴p＝r，这与p≠r矛盾，∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．………12分20.(1)证明∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.……………1分又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.…………3分又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.……………………5分(2)解由(1)知，CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB.∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.………7分∴VA－BCD＝VB－ACD＝eq\f(1,3)·S△ACD·AB.……8分∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，……11分∴VA－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(7)×3×3＝eq\f(3\r(7),2)………12分21．解：(1)由题意得f'(x)＝x2－4x＋3，则f'(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．………4分(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))………………6分解得－1≤k＜0或k≥1，………………8分故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，……………9分得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．……11分22．解：(1)f'(x)＝eq\f(lnx－1,ln2x)＋a，由题意可得f'(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤eq\f(1,ln2x)－eq\f(1,lnx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))2－eq\f(1,4).∵x∈(1，＋∞)，∴lnx∈(0，＋∞)，∴当eq\f(1,lnx)－eq\f(1,2)＝0时，函数t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)的最小值为－eq\f(1,4)，∴a≤－eq\f(1,4)，故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))).……4分(2)当a＝2时，f(x)＝eq\f(x,lnx)＋2x，f'(x)＝eq\f(lnx－1＋2ln2x,ln2x)，………………5分令f'(x)＝0得2ln2x＋lnx－1＝0，解得lnx＝eq\f(1,2)或lnx＝－1(舍)，即x＝e.当1<x<e时，f'(x)<0，f(x)在（1,e〕上单调递减，当x>e时，f'(x)>0，f(x)在(e，+∞]上单调递增…7分∴f(x)的极小值为f(e)＝eq\f(e,\f(1,2))＋2e＝4e.……………8分(3)将方程(2x－m)lnx＋x＝0