考点06 反比例函数应用（解析版）

考点六反比例函数应用知识点整合一、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例引领1．受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒．(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？(2)求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？【答案】(1)3米/秒(2)v=；6米/秒【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用；（1）依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；（2）依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题．【详解】（1）解：由题意，设小勇第一次训练的速度是米秒，则第二次训练的速度是米秒，．解得：，答：小勇第一次训练的速度是米秒．（2）从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：米，小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为米秒，所用时间为秒，．当要使所用时间不超过秒时，即，．要使所用时间不超过秒，则速度应不低于米秒．2．某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系．（元）（个）(1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式；(2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？【答案】(1)(2)【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解题的关键是根据题意列出等量关系．（1）要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可；（2）首先要知道纯利润（销售单价进价）日销售数量，确定与的函数关系式，然后根据题目的“售价最高不超过元/张”，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价．【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：，将代入得：，解得：，与之间的函数关系式为：；（2），又，当，最大．3．某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间的关系满足反比例函数关系，其图象如图所示：(1)请求出与之间的函数关系式；(2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少米/秒？【答案】(1)；(2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为米/秒．【分析】（）设，利用待定系数法即可求解；（）把代入（）中所得的函数关系式计算即可求解；本题考查了反比例函数与实际问题的综合运用，利用待定系数法求出反比例函数表达式是解题的关键．【详解】（1）解：设，把代入得，，解得，∴与之间的函数关系式为；（2）解：把代入得，米/秒，答：当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为米/秒．4．某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求的值.(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于的时间有多长.【答案】(1)(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时．【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．（1）直接将点的坐标代入即可；（2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的值，相减就是结论．【详解】（1）把代入中得：；（2）如图，设的解析式为：．把、代入中得：，解得：，的解析式为：，当时，，．，解得：，．答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于的时间有13.8小时．变式拓展5．研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图像如图所示．(1)求反比例图数的表达式，并求点对应的指标值；(2)张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少?【答案】(1)反比例函数的表达式为，点对应的指标值(2)当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、已知自变量求函数值等知识，读懂题意，求出反比例函数表达式是解决问题的关键．（1）由题意，设出反比例函数表达式，将代入表达式求解即可得到表达式，将代入求得的表达式即可得到点对应的指标值；（2）由（1）中得到的表达式，将代入表达式即可得到答案．【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，由图知反比例函数过点，则代入表达式得，解得，反比例函数的表达式为；当时，，故点对应的指标值；（2）解：由题意得，，答：当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12．6．2023年8月8日，成都大运会闭幕式在成都露天音乐公园举行．成都露天音乐公园是一座以音乐为主题，集文化艺术、休闲娱乐、旅游观光等功能为一体的大型城市公园，公园的整体景观设计融入了太阳神鸟文化、天府文化、凤凰文化、古蜀音乐文化，同时其具国际化风格．王华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷蓉宝手办，在销售过程中发现：每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．设销售这款手办的日利润为（元）．

(1)求与之间的函数关系式：(2)求与之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件手办的售价为多少元？【答案】(1)(2)80元/件或90元/件【分析】本题考查了分式方程的应用及一次函数的应用及反比例函数的应用：（1）分段讨论：当时，设，当时，设直线为，利用待定系数法即可求解；（2）分类讨论：当时，当时，分别代入（1）中对应的函数解析式中即可求解；理清题意，利用待定系数法求函数解析式及分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：当时，设，将，代入得：，，当时，，，当时，设直线为，因为，由题意得：，解得：，与之间的函数关系式为，综上所述：．（2）当时，，由，解得：，经检验，是原方程的解，当销售价格为80元/件时，日利润为600元，当时，，由，解得：，，当销售价格为80元/件或90元/件时，日利润为600元，综上，当日利润为600元时，销售价格为80元/件或90元/件．7．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是．

(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料温度低于时，需停止操作，那么锻造的操作时间有多长？【答案】(1)燃烧时函数解析式为；锻造时函数解析式为(2)【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．（1）先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出点B的坐标，再用待定系数法求出函数解析式；（2）把代入求出，然后再求出结果即可．【详解】（1）解：设材料停止煅烧后y与x的函数关系式为，∵∴，∴，∴，把代入得，，∴，∴，∴材料停止煅烧后y与x的函数关系式为；设材料煅烧时y与x的函数关系式为，∵，∴，∴，∴材料煅烧时y与x的函数关系式为；（2）解：把代入，∴，∴，．答：锻造的操作时间为．8．某煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室，该储存室的底面积为，深度为．(1)求S与d的函数关系式；(2)公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向地下报进多深？【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数是解题的关键．（1）根据题意，由体积底面积高即可得到答案；（2）将代入函数解析式即可得到答案．【详解】（1）解：由于体积底面积高，；（2）解：将代入函数解析式，得，解得．答：施工队施工时应该向地下报进．9．某研究所经实验测得，成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．(1)根据函数图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为；下降阶段的函数表达式为；（并写出x的取值范围）(2)求血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？【答案】(1)，(2)6小时【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识.（1）当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出时的两个x值，再求时间差即可解决问题．【详解】（1）解：当时，由图象可知，y是x的正比例函数，令，∴当时，y与x成反比例，令，∴（2）解：当，时，则，解得当，时，则解得∵（小时），∴血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是6小时.10．越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：v（千米/小时）15202530t（小时）21(1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；(2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；(3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围．【答案】(1)(2)不能，理由详见解析(3)【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．（1）由表中数据可得