新高考数学二轮复习创新题型专题14 集合复数逻辑语言专题（数学文化）（解析版）

专题14集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）一、单选题1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的共轭复数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得SKIPIF1<0,然后利用共轭复数的概念判定.【详解】解：SKIPIF1<0,故选：C.2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（）A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者【答案】A【分析】由SKIPIF1<0即可判断S的含义.【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，故选：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0”为真命题，则“由SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0”，即一旦SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0就成立，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0成立的充分条件.也可以这样说，若SKIPIF1<0不成立，那么SKIPIF1<0一定不成立，SKIPIF1<0对SKIPIF1<0成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，故选：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选：C5．（2020·陕西榆林·统考一模）在复平面内，复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）对应向量SKIPIF1<0（O为坐标原点），设SKIPIF1<0，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：SKIPIF1<0，直接求解即可.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元SKIPIF1<0次复系数多项式SKIPIF1<0在复数集中有SKIPIF1<0个复数根（重根按重数计）那么SKIPIF1<0在复平面内使SKIPIF1<0除了1和SKIPIF1<0这两个根外，还有一个复数根为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用方程根的意义，把SKIPIF1<0代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根.故选：B7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，SKIPIF1<0表示的复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可.【详解】解：根据欧拉公式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即它在复平面内对应的点为SKIPIF1<0，故位于第二象限.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔SKIPIF1<0创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0(其中i是虚数单位SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据条件，设SKIPIF1<0，再列式求SKIPIF1<0，即可得到复数.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0②，由①②解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程SKIPIF1<0，它的两个虚数根分别为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证．【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD，A选项，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此选项A正确，则选项B错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．故选：A．10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了SKIPIF1<0，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用SKIPIF1<0表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.【详解】设SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作SKIPIF1<0孙子算经SKIPIF1<0下卷有题：今有物，不知其数SKIPIF1<0三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二SKIPIF1<0问：物几何？现有如下表示：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列选项中符合题意的整数SKIPIF1<0为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的表达式，检验是否为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的元素，即可选出正确选项．【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，选项A错误；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，选项B错误；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，选项C错误；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，选项D正确.故选：D．12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合SKIPIF1<0，再根据交集的定义求出SKIPIF1<0，从而可得答案.【详解】解：依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的子集个数为8．故选：D．13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数SKIPIF1<0的不足近似值和过剩近似值分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道SKIPIF1<0，若令SKIPIF1<0，则第一次用“调日法”后得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的更为精确的过剩近似值，即SKIPIF1<0，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得SKIPIF1<0的近似分数为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案.【详解】第一次用“调日法”后得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的更为精确的过剩近似值，即SKIPIF1<0；第二次用“调日法”后得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的更为精确的过剩近似值，即SKIPIF1<0；第三次用“调日法”后得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的更为精确的不足近似值，即SKIPIF1<0，所以答案为SKIPIF1<0.故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买SKIPIF1<0黄金，售货员先将SKIPIF1<0的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将SKIPIF1<0的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（

）A．大于SKIPIF1<0 B．小于SKIPIF1<0 C．大于等于SKIPIF1<0 D．小于等于SKIPIF1<0【答案】A【分析】设天平左臂长为SKIPIF1<0，右臂长为SKIPIF1<0（不妨设SKIPIF1<0），先称得的黄金的实际质量为SKIPIF1<0，后称得的黄金的实际质量为SKIPIF1<0.根据天平平衡，列出等式，可得SKIPIF1<0表达式，利用作差法比较SKIPIF1<0与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为SKIPIF1<0，右臂长为SKIPIF1<0（不妨设SKIPIF1<0），先称得的黄金的实际质量为SKIPIF1<0，后称得的黄金的实际质量为SKIPIF1<0.由杠杆的平衡原理：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.下面比较SKIPIF1<0与10的大小：（作差比较法）因为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以这样可知称出的黄金质量大于SKIPIF1<0.故选：A15．（2022·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（

）A．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0B．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0C．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0D．对任意实数a和b，有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为SKIPIF1<0，斜边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为SKIPIF1<0，斜边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在正方形的面积为SKIPIF1<0，四个直角三角形的面积和为SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0（a＞0，b＞0） D．SKIPIF1<0（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由图形可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.【详解】解：由图形可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝SKIPIF1<0，∵CF≥OF，∴SKIPIF1<0，故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如SKIPIF1<0，也即复数SKIPIF1<0的模的几何意义为SKIPIF1<0对应的点SKIPIF1<0到原点的距离．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由复数几何意义可得SKIPIF1<0的轨迹为圆SKIPIF1<0，从而将问题转化为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离，则所求最大值为圆心到SKIPIF1<0的距离加上半径.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对应的点SKIPIF1<0的轨迹为圆SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的几何意义为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离，SKIPIF1<0.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0是虚数单位，SKIPIF1<0是自然对数的底数，SKIPIF1<0），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.【详解】对于A，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A不正确；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C不正确；对于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D不正确.故选：B.19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到SKIPIF1<0世纪，直到SKIPIF1<0年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续SKIPIF1<0多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集SKIPIF1<0划分为两个非空的子集SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的每一个元素都小于SKIPIF1<0中的每一个元素，则称SKIPIF1<0为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割SKIPIF1<0，下列选项中一定不成立的是（

）A．SKIPIF1<0没有最大元素，SKIPIF1<0有一个最小元素B．SKIPIF1<0没有最大元素，SKIPIF1<0也没有最小元素C．SKIPIF1<0有一个最大元素，SKIPIF1<0有一个最小元素D．SKIPIF1<0有一个最大元素，SKIPIF1<0没有最小元素【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0没有最大元素，SKIPIF1<0有一个最小元素SKIPIF1<0；故A正确；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0没有最大元素，SKIPIF1<0也没有最小元素；故B正确；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0有一个最大元素，SKIPIF1<0没有最小元素，故D正确；SKIPIF1<0有一个最大元素，SKIPIF1<0有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：C20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知SKIPIF1<0则该方程的整数解有（

）组．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】原方程可化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，等号是不能成立的，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0综上所述，共有四组解SKIPIF1<0故选：D21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（

）．A．SKIPIF1<0 B．10 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先由勾股定理得SKIPIF1<0，再利用基本不等式易得SKIPIF1<0，由此得到SKIPIF1<0，问题得解.【详解】不妨设该直角三角形的斜边为SKIPIF1<0，直角边为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以该直角三角形周长SKIPIF1<0，即这个直角三角形周长的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是SKIPIF1<0对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；SKIPIF1<0如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0的一个太极函数为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0圆的太极函数均是中心对称图形；SKIPIF1<0奇函数都是太极函数；SKIPIF1<0偶函数不可能是太极函数.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】由定义可知过圆SKIPIF1<0的任一直线都是圆SKIPIF1<0的太极函数，故SKIPIF1<0正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，那么该直线表示的函数为太极函数，故SKIPIF1<0错误；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0成中心对称，又∵圆SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0成中心对称，故SKIPIF1<0可以为圆SKIPIF1<0的一个太极函数，故SKIPIF1<0正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，例如：故SKIPIF1<0错误；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇函数可以为太极函数，故SKIPIF1<0正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故SKIPIF1<0错误；则错误的命题有3个，故选B.二、多选题23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为虚数单位，SKIPIF1<0）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．复数SKIPIF1<0对应的点位于第一象限 B．SKIPIF1<0为纯虚数C．复数SKIPIF1<0的模长等于SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭复数的概念即可判断各选项的真假．【详解】对A，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即复数SKIPIF1<0对应的点SKIPIF1<0位于第一象限，A正确；对B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为实数，B错误；对C，SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0的模长为：SKIPIF1<0，C正确；对D，SKIPIF1<0，共轭复数为SKIPIF1<0，D错误．故选：AC．24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式SKIPIF1<0（本题中SKIPIF1<0为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于第二象限C．复数SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<0D．复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点的轨迹是圆【答案】ABD【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D.【详解】对于A，SKIPIF1<0，A正确；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于第二象限，B正确；对于C，SKIPIF1<0，共轭复数为SKIPIF1<0，C错误；对于D，SKIPIF1<0，在复平面内对应的点为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在复平面内对应的点的轨迹是圆.故选：ABD.25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①SKIPIF1<0a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（

）A．SKIPIF1<0关于数的乘法构成群B．G={x|x=SKIPIF1<0，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群D．SKIPIF1<0关于数的加法构成群【答案】CD【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.【详解】对于A：若SKIPIF1<0，对所有的a、SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，满足乘法结合律，即①成立，满足②的SKIPIF1<0为1，但当SKIPIF1<0时，不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即③不成立，即选项A错误；对于B：因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以选项B错误；对于C：若SKIPIF1<0，对所有的a、SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，满足加法结合律，即①成立，满足②的SKIPIF1<0为0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即③成立；即选项C正确；对于D：若SKIPIF1<0，所有的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，即①成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足的SKIPIF1<0，即②成立；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即③成立；即选项D正确.故选：CD.26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为SKIPIF1<0，宽为内接正方形的边长SKIPIF1<0.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设SKIPIF1<0为斜边SKIPIF1<0的中点，作直角三角形SKIPIF1<0的内接正方形对角线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则下列推理正确的是（

）①由图1和图2面积相等得SKIPIF1<0；②由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；③由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；④由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.A．① B．② C．③ D．④【答案】ABCD【解析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中SKIPIF1<0的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案.【详解】对于①：由图1和图2面积相等得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正确；对于②：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设图3中内接正方形边长为t，根据三角形相似可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，故②正确；对于③：因为SKIPIF1<0为斜边SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故③正确；对于④：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，故④正确；故选：ABCD【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得SKIPIF1<0的表达式，根据图形及题意，得到SKIPIF1<0的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点SKIPIF1<0在半圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直径SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则该图形可以完成的无字证明为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：根据图形，利用射影定理得：SKIPIF1<0，由于：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以由于SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是SKIPIF1<0.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为SKIPIF1<0，头顶至脖子下端的长度为SKIPIF1<0，则其身高可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】设身高为SKIPIF1<0，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高.【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点SKIPIF1<0,假设身高为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比均是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故BC正确.故选：BC29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前SKIPIF1<0世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称SKIPIF1<0为正数SKIPIF1<0的算术平均数，SKIPIF1<0为正数SKIPIF1<0的几何平均数，并把这两者结合的不等式SKIPIF1<0叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．若实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】CD【分析】通过反例可知A错误；根据基本不等式“SKIPIF1<0”的应用可求得BC正误；令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将所求式子化为SKIPIF1<0，利用基本不等式可知D正确.【详解】对于A，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A错误；对于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号），即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，B错误；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号），C正确；对于D，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），即SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，D正确.故选：CD.30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，SKIPIF1<0，则下列命题正确的是（

）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】利用不等式性质结合可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据不等式性质结合对数函数的性质可判断C，根据幂函数的性质可判断D.【详解】A中，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，错误；B中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立，正确；C中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，正确；D中，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正确.故选：BCD.三、填空题31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数SKIPIF1<0（i为虚数单位），则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.【详解】SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】“好汉”SKIPIF1<0“到长城”，“到长城”SKIPIF1<0“好汉”，所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可.【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为SKIPIF1<0.此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<034．（2022秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为直径作半圆．过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交半圆于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．该图形完成SKIPIF1<0的无字证明．图中线段__________的长度表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的调和平均数SKIPIF1<0，线段______________的长度表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平方平均数SKIPIF1<0．【答案】

DE

DG【分析】根据△ACD∽△DCB得到SKIPIF1<0，进而由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，进而由勾股定理求出SKIPIF1<0.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为直径，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则∠ACD=∠BCD=90°，又∠DAC+∠ADC=90°，∠ADC+∠BDC=90°，所以∠DAC=∠BDC，所以△ACD∽△DCB，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，故O为圆心，所以SKIPIF1<0，因为过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，可证得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0故答案为：DE，DG35．（2022秋·浙江温州·高三温州中学校联考期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.【答案】

36

24【分析】设共有SKIPIF1<0人，则每人分得SKIPIF1<0两银子，由条件可得SKIPIF1<0，解出即可.【详解】设共有SKIPI