专题11 函数中的同构问题（解析版）

专题11函数中的同构问题一、考情分析近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.二、解题秘籍(一)同构函数揭秘同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如与属于“跨阶函数”，而属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：，等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；等.【例1】（2024届陕西省西安市部分学校高三上学期考试）已知函数.(1)当，求的极值；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，，则，所以在上，单调递增，在上，单调递减，当时取得极大值，，故的极大值为，无极小值.（2）由，可得，则，即.令，则，因为在上单调递增，所以，则.令，则，在上，单调递增，在上，单调递减，即，所以，则的取值范围为.【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数在处的切线和直线垂直.(1)求实数的值；(2)若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围.【解析】（1）由函数，可得，可得因为函数在处的切线l和直线垂直，所以，即，解得.（2）解：不妨设，则，因为对任意的，，都有成立，可得，即，设，则，故在单调递增，从而有，即在上恒成立，设，则，因为，令，即，解得，令，即，解得，所以在单调递减，在单调递增，又因为，故在上最小值，所以，实数的取值范围是.(二)型同构【例3】（2023届吉林省长春外国语学校高三上学期考试）已知函数（e是自然对数的底数）.(1)当时，求的极值点；(2)讨论函数的单调性；(3)若有两个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，,则.当时，，此时函数递减，当时，，此时函数递增，所以极小值点为，无极大值点.（2）求导①当时，，在上递增②当时，当时，，在上递减，当时，，此时函数在上递增.（3）等价于有两个零点，令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，所以有两个零点，等价于有两个零点.因为，①当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，②当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，所以.若，得，此时恒成立，没有零点；若，得，此时有一个零点.若，得，因为，，，所以在，上各存在一个零点，符合题意，综上，的取值范围为.(三)型同构【例4】（2023届福建省宁德市博雅培文学校高三高考前最后一卷）已知函数．(1)讨论函数的零点的个数﹔(2)当时，若对任意，恒有，求实数a的取值范围．【解析】（1）令则，记，则，当时，，此时在单调递减，当时，，此时在单调递增，故当时，取极大值也是最大值，又，而当时，，故当时，，当时，，作出的图象如下：

因此当时，即，无交点，此时无零点，当或时，即或，有一个交点，此时有一个零点，当时，即，有两个交点，此时有2个零点，综上可知：当时，无零点，当或有一个零点，当，有2个零点，（2）当时，若对任意，恒有等价于：对任意，恒有，令，则不等式等价于，由于，令，当单调递减，当单调递增，所以，故在单调递增，由得对任意恒成立，两边取对数得对任意恒成立，故，所以故的范围为(四)型同构【例5】（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数a的取值范围.【解析】（1）依题意，得.当时，，所以在单调递增.当时，令，可得；令，可得，所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）因为当时，，所以，即，即，即.令，则有对恒成立.因为，所以在单调递增，

故只需，即对恒成立.令，则，令，得.当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以.因此，所以.(五)型同构【例6】已知，，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证：．【解析】(1)，当时，，即在上单调递减，故函数不存在极值；当时，令，得，x+0-增函数极大值减函数故，无极小值.综上，当时，函数不存在极值；当时，函数有极大值，，不存在极小值．(2)显然，要证：，即证：，即证：，即证：．令，故只须证：．设，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，即，所以，从而有．故，即．三、典例展示【例1】（2024届江苏省徐州市邳州市新世纪学校高三上学期月考）已知函数．(1)若，求的最小值；(2)若方程有解，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，，设，则，在上单调递增，且，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以；（2）即，即，设，则，，设，则，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即，在上单调递增，所以方程有解即在上有解，有解，即有解，设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，当时，，所以，即实数a的取值范围是．【例2】（2024届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试）已知函数（是自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，当时，，所以在R上单调递减；当时，令得；令得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在R上单调递减，无增区间；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意有两个零点，令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以有两个零点等价于有两个零点，等价于有两个不同的实数解，等价于与有两个交点，则，得，得，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，当t趋向于0且为正时，趋向于负无穷大，当t趋向于正无穷大时，趋向于0，如图：

由图可知，要使与有两个交点，则，所以实数的取值范围为.【例3】（2024届重庆市渝北中学高三上学期月考）已知函数，．(1)当时，求函数的极值；(2)若任意、且，都有成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，其中，则，令，解得或，又因为，所以，列表如下：20单调递减极小值单调递增因此有极小值，无极大值.（2）解：因为，，所以，其中，对、且，不妨设，则，得到，化为，设且函数的定义域为，所以在为增函数，即有对恒成立，即对任意的恒成立，设，其中，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以最大值，因此实数的取值范围是．【例4】已知(1)当时，求的单调性；(2)讨论的零点个数．【解析】(1)解：因为，，所以，令，，所以在单增，且，当时，当时，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增(2)解：因为令，易知在上单调递增，且，故的零点转化为即，，设，则，当时，无零点；当时，，故为上的增函数，而，，故在上有且只有一个零点；当时，若，则；，则；故，若，则，故在上有且只有一个零点；若，则，故在上无零点；若，则，此时，而，，设，，则，故在上为增函数，故即，故此时在上有且只有两个不同的零点；综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点；【例5】已知函数.(1)当时，若曲线与直线相切于点，求点的坐标；(2)当时，证明：；(3)若对任意，不等式恒成立，请直接写出的取值范围.【解析】(1)当时，.设，则切线斜率.由切点性质，得，解得.所以点的坐标.(2)当时，，其中，则，令，其中，则，故函数在上单调递增，且，当变化时，变化情况如下表：10单调递减极小值单调递增由上表可知，.所以.(3)显然，在上恒成立，即恒成立即恒成立，所以恒成立，构造函数，易知在上是增函数，所以恒成立，即，令，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围.【例6】已知函数(1)请讨论函数的单调性(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)当时，在上递增当时，在，单调递减在上，单调递增(2)原式等价于设，由（1）当时，为增函数，，∴等式等价于恒成立，时，成立，时，，设，，，设，所以在上为增函数，又因为，所以在上，，，为减函数，在上，，，为增函数，，．四、跟踪检测1.（2023届广东省深圳市光明区高三二模）已知函数的图象在处的切线经过点.(1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域是，.所以在点处的切线方程为，切线经过点，则.，设，是的极小值点，且，因此在恒成立，所以函数的单调增区间为，无单调减区间.（2）在区间上恒成立，即，令，则，即.由（1），只需要，也就是在区间上恒成立.设，.，故是的最大值，所求的取值范围是.2.（2023届海南省海口市龙华区海南华侨中学高三一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)已知，若存在，不等式成立，求实数的最大值.【解析】（1）函数的定义域为，所以，∴令，则，∴函数在上单调递增，在上单调递减.又∵，∴当时，，∴，∴函数在，上单调递减.（2）∵，且，，∴，∴，∴，∴.∵，由（1）知，函数在上单调递减，∴只需在上能成立，∴两边同时取自然对数，得，即在上能成立.令，则，∵当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减，∴，∴，又，∴，∴实数的最大值为.3．（2024届山东省部分学校高三上学期联考）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）定义域为，，①当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减；②当时，令，得，此时单调递增，令，得，此时单调递减；综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减.（2）记，由（1）知，当时，，则，则，当时，恒成立，即对恒成立，即对恒成立，则，即对恒成立，令，对恒成立，则在单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.4．已知函数，.(1)求在处的切线方程；(2)求证：.(3)当时，，求实数的取值范围.【解析】(1)因为，则，，，所以，在处的切线方程为.(2)要证明，即证：，即证：，（*）设，则，所以，在内单调递减，故，所以，当时，，所以要证（*）成立，只需证，设，则，当时，，故函数在上单调递增，当时，，故函数在上单调递减，故，则，则，即，故成立，所以原命题得证.(3)由题得在上恒成立，即，恒成立，因为，①若，，在上单调递增，，符合题意；②若，令，，则，所以在单调递增，且，（i）若，，在上单调递增，，符合题意；（ii）若，，当时，，则，取，则，则存在，使得当时，，单调递减，此时，不合题意；综上，.5.已知函数.(1)当时，求函数的单调区间：(2)若在恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)当时设，则即在递减，在递增，当，当而当所以当递减；递增.故函数增区间为，减区间为(2)，令在递增，而，，使，即当时，在递减，当时，在递增因为可变形为又在递增，由（**）可得故取值范围为6．已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为，所以，即.当时，，令，则，所以在单调递增，因为，所以，当时，，；当时，，，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)设，，易知在单调递增.又当时，，所以的值域为；当时，的值域为.所以的值域为.故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.因为，即.设，，所以要使，只需.当时，因为，即，所以不符合题意.当时，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.所以.设，，则，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减.所以，所以，，当且仅当时，等号成立.又因为，所以，所以.综上，存在a符合题意，.7．已知函数．(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)，，当时，恒成立，所以在上单调递增．又，，所以此时在上仅有一个零点，符合题意；当时，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，所以在上单调递减．要使在上仅有一个零点，则必有，解得．综上，当或时，在上仅有一个零点．(2)因为，所以对任意的，恒成立，等价于在上恒成立．令，则只需即可，则，再令，则，所以在上单调递增．因为，，所以有唯一的零点，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，设，则，所以函数在上单调递增．因为，所以，即．所以，则有．所以实数a的取值范围为．8．已知函数，其图象在处的切线过点．(1)求a的值；(2)讨论的单调性；(3)若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．【解析】(1)因为函数，所以，，则，所以函在处的切线方程为，又因为切线过点，所以，即，解得；(2)由（1）知；，则，令，则，当时，，当时，，所以即当时，，当时，，所以在上递增，在上递增；(3)因为x的不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为在上递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以.9．已知函数，（），其中e是自然对数的底数.(1)当时，（ⅰ）求在点处的切线方程；（ⅱ）求的最小值；(2)讨论函数的零点个数；(3)若存在，使得成立，求a的取值范围【解析】(1)当时，，.（ⅰ），，∴切线方程为.（ⅱ），令，得，∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴.(2)∵（），令得，，当时，，无零点，当时，令，则，令，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，当，即时，，函数在上无零点，当，即时，，函数在上有唯一零点，当，即时，，又，，∴函数在，上各有一个零点，综上，当时，函数在上无零点，当时，函数在上有唯一零点，当时，函数在上有两个零点.(3)由得，，∴，即