9.1 直线方程与圆的方程（精练）（教师版）

9.1直线方程与圆的方程（精练）1．（2023秋·北京·高三统考开学考试）直线被圆所截得的弦长为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】由已知得圆心为，半径，因为圆心在直线上，所以直线被圆所截得的弦长为.故选：C2．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是（

）A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点【答案】A【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为，依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，而圆的圆心为，半径为，于是得圆心在直线l上，所以直线l与圆相交，过圆心.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：联立两直线方程，得，解得，所以两直线的交点坐标为.因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.法二：由题意，直线l过定点，设直线与x轴、y轴的交点分别为.如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，

∴的倾斜角为，的倾斜角为.∴直线l的倾斜角的取值范围是.故选：D4．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】因为直线过点，所以，由和都是正实数，所以，，．所以，当时取等号，即，时取等号，所以的最小值是.故选:B．5．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由直线，可得，由可解的，即直线过定点，则,当与直线垂直时，，当直线过点，即时，，又直线无论取何值，不能表示直线，所以，故选：B6．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【解析】解方程组，得直线与直线的交点，依题意，，解得，所以实数.故选：A7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线是圆的对称轴，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆方程得：圆心，直线是圆的对称轴，圆心在直线上，即，解得：.故选：A.

8．（2023·全国·高三专题练习）点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点，可得，点在圆上，则，即.故选：A.9．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：，于是点到直线：的距离，而点在圆上，因此点到直线距离的最大值为，又，所以面积的最大值为.故选：D

10．（2023·广西梧州·苍梧中学校考模拟预测）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，因为圆与圆关于直线对称，所以的中点满足直线方程，解得，过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为，所以解得：，故选：C．10．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】两圆方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，因为公共弦为圆的直径，所以圆的圆心在直线上，由解得，所以圆的面积为.故选：D.11．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【解析】与两式相减得，即公共弦所在直线方程.圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，半弦长为，则有，解得或（舍），此时故选：.12．（2023·全国·高三专题练习）过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】把（1）转化为，圆心，半径，则，，圆的方程为（2），（1）（2），得．故选：B.13．（2023·福建福州·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，过点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【【解析】圆的圆心为，半径为2，以、为直径,则的中点坐标为，，以为圆心，为直径的圆的方程为，因为过点圆的两条切线切点分别为A，B，所以是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为：.故选：A．14．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【解析】圆：的圆心为，半径为a，所以圆心到直线的距离为，解得或．因为，所以.所以圆：的圆心为，半径为．圆：的标准方程为，圆心坐标为，半径，圆心距，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．15．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解析】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，，．设，则．因为，所以P是圆A：上的点．又点P与点距离的最大值为，即，所以．故的最大值为17．故选：B.

16．（2023秋·云南保山·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3，则（

）A．2 B．1 C．3 D．【答案】A【解析】由抛物线，可得，又由圆，可得圆心，半径，因为与圆上点的距离最小值，可得，解得.故选：A.17．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列说法是错误的为（

）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大B．直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示．【答案】ABC【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；当直线的斜率为，倾斜角为，故选项B不正确；当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；根据直线的两点式方程可知选项D正确，故选：ABC18．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知直线，其中，则（

）A．当时，直线与直线垂直B．若直线与直线平行，则C．直线过定点D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．19．（2023·全国·高三专题练习）（多选）与直线平行且到l的距离为2的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】设所求直线的方程为，因为两直线的距离为2，所以，解得或，故所求直线方程为，或．故选：AC.20．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）（多选）设直线l：，交圆C：于A，B两点，则下列说法中正确的有（

）A．直线l恒过定点B．弦AB长的最小值为4C．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为D．当m＝1时，圆C关于直线l对称的圆的方程为【答案】BD【解析】对A，直线的方程可化为，过定点，即A错误；对B，设，则圆心到直线的距离，且半径，所以最小弦长为，即B正确；

对C，由题可知直线l恒过定点，由题知，故动点在以为直径的圆上，又，

故动点在圆上，又直线l：表示过斜率存在的直线，所以动点的轨迹方程为除点，又，所以的最小值为，故C错误；对D，当时，直线方程为，则点关于直线对称的点为，所以圆C关于直线l对称的圆的方程为，故D正确.故选：BD.21．（2023·黑龙江大庆·统考二模）直线l经过点，，若直线l与直线平行，则．【答案】/0.5【解析】∵直线l经过点，，且与直线平行，∴，求得，故答案为：．22．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．【答案】/【解析】因为，所以，所以，，所以在点处的切线方程为，即，令得；令得，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.23．（2023·全国·高三专题练习）已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是．【答案】或.【解析】由直线得：，令，解得，所以直线l过点，由题知，在x轴上的截距取值范围是，如图：所以端点处直线的斜率分别为，

所以或；故答案为：或.24．（2023·全国·高三专题练习）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为．【答案】【解析】联立，解得，∴直线过点，∵直线的方向向量，∴直线的斜率，则直线的方程为，即．故答案为：25．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为.【答案】【解析】由题意，直线的方程化为，由得∴直线过定点，显然点在圆内，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，，解得，代入到直线的方程并化简得.故答案为：.26．（2022秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知点在圆外，则直线与圆O的位置关系是．【答案】相交【解析】点在圆外，圆心到直线的距离:,直线与圆相交.故答案为：相交.27．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为．【答案】0或2【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又因为两圆内切，有或．故答案为：0或2.28．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为.【答案】【解析】若圆与圆有且仅有两条公切线，则两圆相交，圆心，半径，圆心，半径，则，若两圆相交，则满足，即，得，又，所以，故答案为：.29．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程是.【答案】【解析】圆的圆心为,半径为2，以为直径的圆的方程为,将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程.故答案为:.30．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为.【答案】【解析】由圆，可得圆心，半径，设切点为，因为，可得，所以切线长为.故答案为：.1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知过点P与圆相切的两条直线的夹角为，设过点P与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，则圆心，半径，由，得，则圆心，半径，设过点的直线与圆切于点，与圆切于点，连接，则，因为过点P与圆相切的两条直线的夹角为，所以，则，所以，在中，，，所以，所以，，因为，所以，即，故选：C2．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）（多选）函数图象上一点到直线的距离可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】如下图所示：设点的横坐标为，由图可知，当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取最小值，因为，则，由，可得，则，此时，点的坐标为，点到直线的距离为，所以，函数图象上一点到直线的距离的取值范围是，因为，，BC选项满足条件.故选：BC.3．（2023·福建泉州·统考模拟预测）（多选）已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（

）A．的面积的最大值为B．直线被圆截得的弦长的最小值为C．有且仅有一个点，使得为等边三角形D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线【答案】ACD【解析】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，所以，且，

对于A选项，设点到直线的距离为，则，所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；故选：ACD4．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）（多选）已知圆M：，直线：，则（）A．恒过定点 B．若平分圆周M，则C．当时，与圆M相切 D．当时，l与圆M相交【答案】BC【解析】对A，直线：，令，则，则l恒过定点，选项A错误；对B，若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心，代入直线方程得，解得，选项B正确；对C，圆心到l的距离，当时，，l与圆M相切，选项C正确；对D，若l与圆M相交，则，即，即，即，故选项D错误．故选：BC.

5．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）（多选）已知圆与圆相交于两点，则（

）A．圆的圆心坐标为B．当时，C．当且时，D．当时，的最小值为【答案】ABD【解析】由圆的方程可知圆的圆心坐标为，即正确；当时，圆，，所以有，即，解得，即B正确；因为，且，所以，即，解得或，即C错误；因为圆的直径为2，所以当时，为圆的直径，所以，当且仅当时，，即D正确.故选：ABD.6．（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）（多选）已知圆，则下列选项正确的是（

）A．的最小值为B．直线与圆必相交C．圆与圆相交，且公共弦长度为D．光线由点射出，经轴反射后与圆相切于点，则从点到点的光线经过的总路程为【答案】BCD【解析】由圆的方程知：圆心，半径，对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率；过原点作圆的切线，斜率显然存在，设切线方程为，即，圆心到直线的距离，解得：，，则的最小值为，A错误；对于B，直线方程可整理为：，由得：，直线恒过点，即恒过圆心，直线与圆必相交，B正确；对于C，由圆方程知：圆心，半径，圆心距，又，，，圆与圆相交，由得：，即公共弦所在直线方程为，圆心到公共弦的距离，公共弦长为，C正确；对于D，点关于轴的对称点为，则从点到点的光线经过的总路程即为，

，，从点到点的光线经过的总路程为，D正确.故选：BCD.7．（2023秋·云南保山·高三统考期末）（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（

）A．曲线的方程为B．曲线与圆外切C．曲线被直线截得的弦长为D．曲线上恰有三个点到直线的距离为1【答案】ACD【解析】对于A，设，由定义，得，化简整理得，故A正确；对于B，的圆心为，半径；的圆心为，半径；圆心距，故B错误；对于C，圆心到直线的距离，所以弦长为，故C正确；对于D，圆心到直线的距离，半径，所以圆上恰有三个点到直线的距离为1,故D正确.故选：ACD.8．（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，为切点，则（

）A．存在点，使得B．弦长的最小值为C．点在以为直径的圆上D．线段经过一个定点【答案】BCD【解析】对于A，设，则，当且仅当时，等号成立，因为，，，，所以，所以，所以，故不存在点，使得，故A不正确；对于B，根据圆的对称性得，所以，又，所以，所以，由A知，，所以.故B正确；对于C，因为，，所以既是直角三角形的外接圆的直径，又是直角三角形的外接圆的直径，所以点在以为直径的圆上，故C正确；对于D，设，则的中点为，所以以为直径的圆的方程为，即，因为是圆与圆的公共弦，所以直线的方程为：，当时，，所以直线：过定点，因为定点在圆内，所以线段经过定点，故D正确.

故选：BCD9．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）（多选）点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（

）A．存在，，，使得B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是【答案】BCD【解析】

由图可知，当直线，与圆相