8.2 二项式定理（精讲）（教师版）

8.2二项式定理（精讲）一．二项式定理1.二项式定理：（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn①项数为n＋1②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，

从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2.通项公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk=g（r）·xh（r）它表示第①h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项；②h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项；③h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项；④h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项.3.二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn二.二项式系数的性质一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤①写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Cnkan－kb②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；③把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤①根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；②根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量．三.求二项式系数最大项1.如果n是偶数，那么中间一项第n2，如果n是奇数，那么中间两项第n四.求展开式系数最大项求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥A求三项展开式中特定项（系数）的方法方法一：通过变形把三项式化为二项式，再用二项式定理求解方法二：两次利用二项展开式的通项求解方法三：利用排列组合的基本原理去求，把三项式看作几个因式之积，得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量六．二项式定理应用1．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了．2．利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．考点一二项式定理的展开式【例1】（2023广西柳州）化简（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故选：B【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为()A．128 B．129 C．47 D．0【答案】A【解析】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故选A.2．（2023·重庆九龙坡）A． B． C． D．【答案】B【解析】选B.考点二二项式指定项的系数【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）在二项式的展开式中，含的项的二项式系数为（

）A．28 B．56 C．70 D．112【答案】A【解析】∵二项式的展开式中，通项公式为，令，求得，可得含的项的二项式系数为，故选：A.【例2-2】（2022·甘肃兰州·统考一模）的展开式的常数项是（

）A．40 B．-40 C．20 D．-20【答案】D【解析】二项式的通项公式为，令，所以的展开式的常数项是，故选：D【例2-3】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）展开式中的系数为（

）A．270 B．240 C．210 D．180【答案】A【解析】展开式的通项公式为，则原展开式中的系数为.故选：A【例2-4】（2023·四川绵阳·统考二模）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：C【一隅三反】1．（2023·北京·高三专题练习）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（

）A．5 B． C．10 D．【答案】A【解析】由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.2．（2023·河南驻马店·统考二模）的展开式中的常数项是（

）A．－112 B．－48 C．48 D．112【答案】D【解析】展开式的通项为．令，得，则；令，得，则；故的展开式中的常数项是．故选：D.3．（2023·全国·高三对口高考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（

）A． B．7 C． D．【答案】D【解析】因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以，，令，得，所以展开式中常数项是.故选：D考点三三项式指定项系数【例3】（2023·全国·高三专题练习）的展开式中常数项是（）A．-252 B．-220 C．220 D．252【答案】A【解析】由，可得二项式的展开式通项为：，令，解得，∴展开式的常数项为．故选：A．【一隅三反】1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）的展开式中的系数为（

）A． B．10 C． D．30【答案】C【解析】可以看做个盒子，每个盒子中有，，三个元素，现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，所以展开式中含的项为，故展开式中的系数为.故选：C.2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】【解析】因为，设其展开式的通项公式为：，令，得的通项公式为，令，所以的展开式中，的系数为，故答案为：3．（2023秋·福建三明·高三统考期末）展开式中常数项是.（答案用数字作答）【答案】【解析】的展开式的通项为，,令,则或，或，所以常数项为，故答案为：4．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知二项式的展开式中含的项的系数为，则．【答案】2【解析】表示有5个因式相乘，来源如下：有1个提供，有3个提供，有1个提供常数，此时系数是，即，解得：故答案为：.考点四二项式系数性质【例4】（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）的展开式中二项式系数最大的项是（

）A．160 B．240 C． D．【答案】C【解析】因为，所以的展开式中二项式系数最大为，即展开式的第4项，即.故选：C．【一隅三反】1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，且常数项是，则下列说法正确的是（

）A．B．各项的二项式系数之和为1024C．D．各项的系数之和为1024【答案】ABC【解析】因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，选项A正确；所以的展开式中二项式系数之和为，故选项B正确；根据二项式定理知的通项式为，令得，所以的展开式中常数项为，所以，解得：，故选项C正确；令得，所以各项的系数之和为0，所以D选项错误.故选:ABC.2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为【答案】【解析】第四项和第八项的二项式系数相等,则，故展开式中x的系数为，故答案为：3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，则展开式中的常数项为．【答案】60【解析】因为的二项展开式为：所以它的第二项的系数为：该二项式的展开式中第二项的二项式系数为：，由的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18，所以有：，所以二项式为，由展开式通项为：，令，所以展开式中的常数项为：.故答案为：60.考法五系数最大项和系数和【例5-1】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为.【答案】【解析】设展开式的第项的系数最大，则，解得，所以系数最大的项为第或第项，所以系数最大的项为：，.故答案为：【例5-2】．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）（多选）已知函数（，）的定义域为，则（

）A． B．C． D．被8整除余数为1【答案】BCD【解析】因为，对于A：当时，，①，故A错误；对于B：当时，，②，①②得，解得，故B正确；对于C：，令得，故C正确；对于D：，所以被整除余数为1，故D正确.故选：BCD【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）的展开式中系数最大的项为（

）A．70 B．56 C．或 D．【答案】D【解析】的展开式的通项公式为，，由二项式系数中，最大，此时该二项展开式中第5项的系数最大，∴的展开式中系数最大的项为，故选：D．2．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知的展开式中前三项的二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为第（

）A．项 B．项 C．项 D．项【答案】D【解析】的展开式中前三项的二项式系数和为，整理可得，且，解得，的展开式通项为，设展开式中第项的系数最大，则，即，解得，因为，故，因此，展开式中系数最大的项为第项.故选：D.3．（2023春·山东青岛）（多选）已知，则（

）A． B．C． D．的最大值为【答案】ABD【解析】A选项，根据二项展开式的通项，，A选项正确；B选项，取代入等式，得到，B选项正确；C选项，取代入等式，得到，结合B选项，两式相加得，故C选项错误；D选项，根据二项展开式的通项，，令，即，解得，又，故，即最大，D选项正确.故选：ABD4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）若，，则（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】令得：，所以选项A正确；令得：，所以，所以选项B错误；因为，所以选项C正确；，两边对求导得：，令得：，选项D错误；故选：AC.考法六二项式定理的应用【例6-1】（2023春·课时练习）设为奇数，那么除以13的余数是（

）A． B．2 C．10 D．11【答案】C【解析】因为为奇数，则上式=.所以除以13的余数是10.故选：C.【例6-2】（2023北京）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】D【解析】，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为，故经过天后是是星期六，