7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（教师版）

7.1空间几何中的平行与垂直（精讲）一．直线与平面平行1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2.判定定理与性质定理直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊄α,b⊂α,a∥b))⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b二．平面与平面平行1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b三．三种平行关系的转化四．直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b五．平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.2.判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α六．三种垂直关系的转化一．判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义(无公共点).（2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；④线段成比例法．⑤线面平行的性质定理利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).（4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).二．证明面面平行的常用方法1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)；4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)；5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明．三．平行关系中的三个重要结论1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.四．必背常用结论1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．5．同一条直线与两个平行平面所成角相等．6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．7．垂直于同一条直线的两个平面平行8．如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．五．证明线面垂直常用的方法1.判定定理：线面垂直→线线垂直2.垂直于平面的传递性3.面面垂直的性质.4.线面垂直的定义六．三个重要结论1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).3垂直于同一条直线的两个平面平行.考法一线面平行【例1-1】（2023浙江省）如图，正三棱柱中，点为的中点，求证：平面

【答案】证明见解析【解析】连接，与相交于，连接，则是的中点，

又为的中点，所以，平面，平面，所以平面；【例1-2】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为棱的中点.，证明：平面

【答案】证明见解析；【解析】取线段的中点,连接,则为的中位线,∴由题知,∴,∴四边形为平行四边形.∴又∵平面,平面,∴平面

【例1-3】（2023·海南）如图，在四棱锥中，，，M是棱上一点，若，求证：平面

【答案】证明见解析【解析】连接BD交AC于点，连接OM，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为平面平面MAC，所以平面MAC.

【例1-4】（2023·福建）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，且，求证：平面AEC

【答案】证明见解析【解析】

如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令.则.∵四边形ABCD为正方形，∴.∵平面ABCD，且平面平面，面，∴，∴，，即四边形BOEF为平行四边形，∴.又平面AEC，平面AEC，∴平面AEC.【例1-5】（2023·安徽）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．求证：平面；

【答案】证明见解析【解析】证明：如图，取的中点，连接．

，F分别是和BD的中点，BC，HFDE．又四边形为正方形，，从而．平面ABC，平面ABC，平面ABC.同理平面ABC，又.平面平面.∵平面，则平面ABC；

【例1-6】（2023·湖南长沙）如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【一隅三反】1．（2023春·贵州）如图，在正方体中，E，F分别是棱，AB的中点，求证：平面

【答案】证明见解析；【解析】在正方体中，连接，如图，

由于是正方体的对角线，则有的中点是的中点，而F是棱AB的中点，于是，又平面，平面，所以平面.2．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知直棱柱的底面为菱形，点为的中点，证明：平面

【答案】证明见解析【解析】证明：连接交于点，连接，

在直四棱柱中，∥，四边形为平行四边形，∥，又底面为菱形，∴点为的中点．∵为的中点，∴点为的中点，∥，四边形为平行四边形，∥，又平面平面，∥平面；3．（2023春·山东滨州）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．

【答案】证明见解析【解析】证明：延长AD，BC交于点M，因为，AB=2CD，

所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，又P，平面PAD，P，平面PBC，所以平面平面PBC=PM，即直线l为直线PM．所以平面DEF．4．（2023·云南）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，如图所示.若点，分别是，的中点，求证：平面.

【答案】证明见解析.【解析】证明：如图，连接，设点为的中点，连接，，

在中，因为点为的中点，点为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.同理可证得，又因为，分别为正方形的边，的中点，故，所以.因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面平面.又因为平面，所以平面.5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点，证明：平面【答案】证明见解析；【解析】在三棱柱中，连接，交于点，连接，如图，四边形为平行四边形，有，而为的中点，则，由，得，又分别为的中点，即有，因此，则，而平面平面，所以平面．6．（2023·全国·高三对口高考）已知正方形和正方形，如图所示，、分别是对角线、上的点，且．求证：平面．

【答案】证明见解析【解析】证明：过点作交于点，连接，

因为，则，又因为，则，所以，，因为四边形为矩形，则，所以，，因为，平面，平面，所以，平面，因为，平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，所以，平面.考法二面面平行【例2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF，求证：平面平面PCD【答案】证明过程见详解【解析】因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O所以O为AC中点，点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，所以OE为三角形的中位线，OF为三角形的中位线，所以,，平面，平面，平面，平面，平面，平面，而,平面，平面，平面平面PCD.【一隅三反】1．（2023·上海）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，分别为棱中点，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】为中点，，，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；分别为中点，，平面，平面，平面；，平面，平面平面.2．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，，证明：平面平面【答案】详见解析；【解析】正四棱锥中，连接交于O，则平面则，又，，则，又，则四边形为菱形，则，又平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面平面；3．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中，形为矩形，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】由平面平面，所以平面，四边形为矩形，则，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面.考法三平行中的动点【例3】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥，若点在线段上，且平面，试确定点的位置

【答案】点为线段上靠近点的三等分点；【解析】如图，过点作交于点，连接，因为，所以四点共面，若平面，由平面，平面平面，所以，所以四边形为平行四边形，,则，

所以当且仅当点为线段上靠近点的三等分点时，平面.【一隅三反】1．（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，底面，为棱上的点，，，若平面，求证：点为的中点【答案】证明见解析【解析】解：解法一：∵底面，，故可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由，可得，，，，，则，，．∵底面，平面，∴，∵，，平面，，∴平面，故为平面的一个法向量．设，，则．∵平面，∴，∴，∴，∴为的中点．解法二：过作，交于，连接，因为，所以，所以，，，共面．∵平面，平面平面，平面，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴，又，∴为的中点．2．（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，E是棱PA上一点，，当平面EBD，求实数λ的值【答案】；【解析】在四棱锥中，连接，交于点，连接，如图，

因为平面平面，平面平面，则，因为，即，因此，由，得，于是，所以实数λ的值为.3．（2023·北京通州·统考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形是正方形，，为的中点，D为棱上一点，平面，求证：D为中点【答案】证明见解析；【解析】平面，平面，平面平面，，又因为，⸫四边形为平行四边形，且因为为的中点，⸫，⸫D为中点.考法四线面垂直【3-1】（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，，求证：平面PAB；

【答案】证明见解析【解析】因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.【例3-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，在平面ABC的射影恰为等边三角形ABC的中心，且，，证明：平面【答案】证明见详解【解析】设在平面ABC的射影为，连接，由题意可得：平面ABC，，且平面ABC，则，可得，则，可得，同理可得：，且，平面，可得平面，又因为//，所以平面.【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.【答案】证明见解析【解析】证明：图1中，在中，所以.所以也是直角三角形，，在图2中，所以平面.【一隅三反】1．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，，点M在棱PD上，且，，求证：CD⊥平面PAD

【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，所以，．因为，所以，又因为，所以，所以，即，又因为，，平面，所以AM⊥平面PCD，因为CD⊂平面PCD，所以，又因为，，平面，所以CD⊥平面PAD．2．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】在矩形中，，又平面平面，平面平面=，平面，所以平面，

又平面，所以，

在矩形中，,又，所以,所以.

又，平面，所以平面；3．（2023广西）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AF，由题意知为等腰三角形，而为的中点，所以．又因为平面平面，且，平面平面，平面，所以平面．而平面，所以．而，平面，所以平面．连接，则，，而，，所以且，所以是平行四边形，因此，故平面．考法五面面垂直【例5】（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥中，，，，，为等边三角形，，证明：平面平面PBC【答案】证明见解析【解析】证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，易知，，，在中，由余弦定理得，，则，故，由，，，同理可得且，故为二面角的平面角，又，则，故，故平面平面ABCD，又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，故．又平面ABCD，平面平面，故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．【一隅三反】1．（2023春·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，求证：平面平面

【答案】证明过程见详解【解析】在中,，，∴，∵平面,平面，∴.又∵,平面，∴平面，又，∴平面，又平面，所以平面平面.2．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）在三棱柱中，侧面，为棱的中点，三角形为等边三角形，，，求证：面面

【答案】证明见解析【解析】面，，三棱柱中，，，又为的中点，三角形为等边三角形，，，在三角形中，在三角形中，，，又，，面，面，面，面,所以面面3（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E、F分别是、的中点，又二面角大小为.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）取PC的中点G，连接EG、FG，因为F为PD的中点，所以GFCD，GFCD，因为CDAB，CDAB，又E为AB的中点，所以AEGF，AEGF，所以四边形AEGF为平行四边形，所以AFGE，且平面PEC，因此AF平面PEC.（2）因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PACD，因为，，平面PAD，平面PAD，所以CD平面PAD，平面PAD，平面PAD，所以CDAF，CDPD，所以二面角的平面角为，则，又且F为斜