2025届高考数学一轮复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第4节随机事件的概率课时跟踪检测理含解析

PAGE第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第四节随机事务的概率A级·基础过关|固根基|1.假如事务A与B是互斥事务，且事务A∪B发生的概率是0.64，事务B发生的概率是事务A发生的概率的3倍，则事务A发生的概率为()A．0.64 B．0.36C．0.16 D．0.84解析：选C设P(A)＝x，则P(B)＝3x，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，解得x＝0.16，故选C．2．(2025届西安五校模拟)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，假如事务“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事务是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡解析：选A“2张全是移动卡”的对立事务是“2张不全是移动卡”，即至多有一张移动卡．3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：选C从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的状况有4种，∴P＝eq\f(2,3).4．从1，2，3，4，5这5个数中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,5)解析：选A从1，2，3，4，5这5个数中任取3个数，共有10种状况，其中三个数可作为三角形边长的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)3种状况，故所求概率P＝eq\f(3,10).故选A．5．(2025届湖南长沙模拟)同时掷3枚硬币，至少有1枚正面对上的概率是()A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(3,8) D．eq\f(1,8)解析：选A由题意知本题是一个等可能事务的概率，试验发生包含的事务是将1枚硬币连续抛掷三次，共有8种结果，满意条件的事务的对立事务是3枚硬币都是背面对上，有1种结果，所以至少一枚正面对上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).故选A．6．(2024年全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：选D将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，状况有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种，其中两位女同学相邻的有12种，所以所求概率P＝eq\f(1,2).故选D．7．(2024年全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：选B设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则基本领件共有10种，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的取法有6种，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故选B．8．(2025届云南质检)在2，0，1，8这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(5,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)解析：选C分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，8)，(1，2，8)，(0，1，8)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝eq\f(1,2).9．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)解析：选C将两张卡片排在一起组成两位数，所组成的两位数有12，13，20，21，30，31，共6个，两位数为奇数的有13，21，31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).10．(2025届银川模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙胜的概率为eq\f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为()A．eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B．eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C．eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)，eq\f(1,2)解析：选C因为“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事务，所以甲胜的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).设“甲不输”为事务A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事务的和事务，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(,或设“甲不输”为事务A，则A,))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(可看作是“乙胜”的对立事务，所以P（A）＝1－\f(1,3)＝\f(2,3))).11．(2025届吉林模拟)从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片．登记数字后放回，再从中取出一张卡片，则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共5种，所以数字之和恰好等于4的概率是P＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)12．某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事务“赔付金额为3000元”，B表示事务“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.13．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校全部的1000名学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅运用A27人3人仅运用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数；(2)从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变．现从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，发觉他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅运用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅运用A的学生有27＋3＝30(人)，仅运用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不运用的学生有5人，故样本中A，B两种支付方式都运用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数为eq\f(40,100)×1000＝400.(2)记事务C为“从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.(3)记事务E为“从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．由(2)知，P(E)＝0.04.可以认为有改变．理由如下：因为P(E)比较小，概率比较小的事务一般不简洁发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了改变，所以可以认为有改变.B级·素养提升|练实力|14.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石解析：选B这批米内夹谷为eq\f(28,254)×1534≈169(石)，故选B．15．把一颗骰子投掷两次，视察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，其次次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1，2)，则向量m与向量n不共线的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(11,12)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,18)解析：选B若m与n共线，则2a－b＝0，即2a＝b.(a，b)的可能状况有36种，符合2a＝b的有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种，故共线的概率是eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，从而不共线的概率是1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).16．若随机事务A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))解析：选A由题意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P（A）<1，,0<P（B）<1，,P（A）＋P（B）≤1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq\f(4,3)<a≤eq\f(3,2)，所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(3,2))).故选A．17．(2025届合肥模拟)某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为(