人教版高中数学必修1知识点21指数函数教师教学教案

2.1指数函数

2.1.1指数与指数幕的运算

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数辕的概念和运算性质.从本节开始我们将

在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的〃次方根的定义，从而把指数推广到分数指

数.进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幕的运算性质由整数指数哥推广到实

数指数幕.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP

的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数品，也

让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数

模型的同时，激发学生探究分数指数暴、无理数指数幕的兴趣与欲望，为新知识的学习作了

铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数塞运算律的推

广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数暴逼近无理数指数骞)、数形结合的思想(用指数

函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用

价值.

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创

设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数耗的概念，进而学习指数导的性质.掌

握分数指数辕和根式之间的互化，掌握分数指数基的运算性质.培养学生观察分析、抽象类

比的能力.

2.掌握根式与分数指数累的互化，渗透“转化”的数学思想.通过运算训练，养成学

生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

3.能熟练地运用有理指数基运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正

确的计算能力.

4.通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数冢的运算性质.展示函数图象，让学生

通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点.

教学重点

⑴分数笳数昂和根式概念的理解.

(2)掌握并运用分数指数暴的运算性质.

(3)运用有理指数塞的性质进行化简、求值.

教学难点

(1)分数指数鼎及根式概念的理解.

(2)有理指数暴性质的灵活应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样

判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第

二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本

节课题：指数函数——指数与指数幕的运算.

思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…〃

次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数恭的运

算.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

(2)如3=小根据上面的结论我们又能得到什么呢？

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

(4)可否用一个式子表达呢？

活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，

对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互

交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出"次方根的概念，评价

学生的思维.

讨论结果：(1)若则x叫做。的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反

数，如I：4的平方根为±2,负数没有平方根，同理，若丁=小则x叫做以的立方根，一个

数的立方根只有一个，如：一8的立方根为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于m则这个数叫a的四次方根.一

个数的五次方等于小则这个数口La的五次方根.一个数的六次方等于小则这个数叫。的

六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的〃次方等于小则这个数叫々的〃次方根.

(4)用一个式子表达是，若？=小则x叫〃的〃次方根.

教师板书〃次方根的意义：

一般地，如果/=〃，那么x叫做a的〃次方根(〃throot),其中〃>1且”£N”.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能根据〃次方根的意义求出下列数的〃次方根吗？(多媒体显示以下题目).

©4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根：④32的5次方根；⑤-32的5次

方根；⑥0的7次方根：⑦小的立方根.

(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数,

有什么特点？4,±8,16,-32,32,0,心分别对应什么性质的数，有什么特点？

(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数。有正有负，还有零，结论有一个的,

也有两个的，你能否总结一般规律呢？

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣“次方根的概念，求一个数〃的〃次方根，就是求出的那

个数的〃次方等于a,及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的

特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要仝而，对回答正确的学生及时表扬，对

回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于土8,±2的4次方等于16,2的5

次方等于32,-2的5次方等于一32。的7次方等于0,/的立方等于心，所以4的平方根,

±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，一32的5次方根，0的7次方根，不的立

方根.分别是±2,±2,±2,2>—2,0,方

(2)方根的指数是2,3,457…特点是有奇数和偶数.总的来看，这些数包括正数，负数和

零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数〃的偶次方根有两个，是互为相反数.0的

任何次方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个

数的偶次方是一个负数.

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到〃次方根的性质：

①当〃为偶数时，正数。的〃次方根有两个，是互为相反数，正的〃次方根用缶表示,

如果是负数，负的〃次方根用一名表示，正的〃次方根与负的〃次方根合并写成土缶(。>

0).

②〃为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数，这时。的〃

次方根用符号纸表示.

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示：

〃为奇数，。的〃次方根有一个为缶，

a为正数：＜

5为偶数，。的〃次方根有两个为土仇.

〃为奇数，。的〃次方根只有一个为缶,

。为负数：,

、〃为偶数，4的N次方根不存在.

零的〃次方根为零，记为第=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

思考

而据〃次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正教的奇偶次方根，负数的奇次方根.

零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，

立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的

问题.

解:答案不唯一，比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,—27的5次方根为1一27,

而一27的4次方根不存在等.其中年二方也表示方根，它类似于名的形式，现在我们给式

子缶一个名称——根式.

根式的概念：

式子缶叫做根式，其中。叫做被开方数，〃叫做根指数.

如1一27中,3叫根指数，一27叫被开方数.

思考

图表示/的〃次方根，式子加=。一定成立吗？如果不一定成立，那么超等于什

么？

活动：教师让学生注意讨论〃为奇偶数和〃的符号，充分让学生多举实例，分组讨论.教

师点拨,注意归纳整理.

［如［（一3）3=妒币=一3,♦-8＞=|-8|=8］.

解答：根据〃次方根的意义，可得：（缶）

通过探究得到：〃为奇数，%=a.

＞

〃为偶数，亚；=闷={a，ci0,

—4,4Vo.

因此我们得到〃次方根的运算性质：

①（%）〃.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数.

②〃为奇数，的=。.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数.

〃为偶数,加=划="先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数

[—4,«<0.

的绝对值.

应用示例

思路]

例求下列各式的值：

(1)](-8)3；(2)^/(-10)2；(3)如一兀)4；(4加二/(心b).

活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知

识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生

展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的

方根，可按方根的运算性质来解，首先要犒清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准,

然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须

是非负数.

解:(1)^/(-8)3=-8;

(2>7(-10)2=10；

(3)寸(3—兀)4=兀-3：

(4>7(。一力2=a~b(a>b).

点评：不注意〃的奇偶性对式子好的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要

在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用.

变式训练

求出下列各式的值:

(3)4(3°—3)4.

解：(1)叱-2)7=_2,

1

(2)寸(34—3)3(后1)=3〃-3,

3tz-3,tz>1,

3-3a,a<1.

点评：本题易错的是第⑶题，往往忽视。与I大小的讨论，造成错解.

思路2

例1下列各式中正确的是(，)

A.y[c?=a

B.^/(-2)2=^2

C.«°=1

D.1yl(yj2—I)5=1g—1

活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查〃次方根的运算性质，应首先考虑根据方

根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体

会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答.

解析：(1)g7=。，考查〃次方根的运算性质，当〃为偶数时，应先写初=同，故A

项错.

（2）跖二方=H，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应

如此，结论为跖二3=S，故B项错.

（3）/=1是有条件的，即故C项也错.

（4）D项是一个正数的偶次方杈，根据运算顺序也应如此，故D项正确.所以答案选D.

答案：D

点评：本题由于考查〃次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情

况都会有，因此解题时千万要细心.

例2.3+2啦+,3-2&=.

活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们

学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果

是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需

利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，教师提示，引导

学生解题的思路.____________________________

解析：因为中+2建川1+2亚+（的2=5+的2=1+1,

13.2既川诉2-2也行=[（啦-1）2=&-1,

所以.3+2吸+,3-2巾=2^2.

答案：2巾____________________

点评：不难看出43-2啦与\'3+2也形式上有些特点,即是对称根式，是-A±2怖形式

的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

思考

上面的例2还有别的解法吗？

活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两

个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“一”，去掉一层

根号后