广东省东莞市桥头中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷VIP

2023-2024学年广东省东莞市桥头中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，1，3 B．1，﹣1，3 C．﹣1，1，3 D．﹣1，1，﹣33．（3分）将抛物线y＝x2的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝x2+3 C．y＝﹣x2﹣3 D．y＝﹣x2+34．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+2的对称轴是（）A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣15．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝96．（3分）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm7．（3分）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，则x+y的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．48．（3分）在抛物线y＝x2﹣2x+3上有，B（2，y2）和C（3，y2）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y39．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°10．（3分）二次函数y＝ax2+mx+n的图象如图，对称轴是直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．amn＜0 B．2a+m＝0 C．a+m+n＞0 D．3a+n＜0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）函数y＝x2m+x﹣1是二次函数，则m＝．12．（3分）某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程．13．（3分）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是cm．14．（3分）设m，n为关于x的方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+4m+n＝．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝4，将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，则线段AD的长度的最小值是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）3x2+1＝4x．17．（8分）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（2，3）和（﹣1，﹣3），求这个二次函数的表达式．18．（8分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，若AB＝4，AC＝3，BC＝2，求BE的长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝26，EB＝8，求弦CD的长．20．（9分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）方程＝0是不是“弦系一元二次方程”：（填“是”或“否”）；（2）写出一个“弦系一元二次方程”；（3）在（2）的条件下，判断此方程根的情况．21．（9分）卡塔尔世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于45元，且获利不高于50%．试销售期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出310本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？（3）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2600元？五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）将线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，连接BC得△ABC，又将线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD（如图①）．（1）求∠ABD的大小（结果用含α的式子表示）；（2）又将线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，连接CE（如图②）求∠BCE；（3）连接DC、DE，试探究当α为何值时，∠DEC＝45°．23．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4（a≠0），图象记为L．（1）如图，a＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；（2）在（1）的条件下，将二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x＜0）的图象向右平移2个单位，与二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x≥2）的图象组成一个新的函数图象，记为L′．设L′上的一点P的坐标为（m，n）．①当m满足时，n随m的增大而增大；②当m＞2时，过点P作y轴垂线，分别交L、L′于点M、N．若ON将△OPM的面积分成1：2两部分，求点P坐标；（3）若点（x1，3），（x2，6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4图象上，直接写出a的取值范围．

2023-2024学年广东省东莞市桥头中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．【解答】解：A、不是中心对称图形，所以不符合题意；B、是中心对称图形，所以符合题意；C、不是中心对称图形，所以不符合题意；D、不是中心对称图形，所以不符合题意；故选：B．2．（3分）一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，1，3 B．1，﹣1，3 C．﹣1，1，3 D．﹣1，1，﹣3【分析】根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．【解答】解：一元二次方程x2﹣x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为3．故选：B．3．（3分）将抛物线y＝x2的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝x2+3 C．y＝﹣x2﹣3 D．y＝﹣x2+3【分析】按照“上加下减”的规律求则可．【解答】解：将抛物线y＝x2的图象向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣3．故选：A．4．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+2的对称轴是（）A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1【分析】根据二次函数的对称轴公式进行计算即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2，∴抛物线y＝x2﹣2x+2的对称轴是直线，故选：C．5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9【分析】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，∴（x﹣1）2＝6．故选：B．6．（3分）已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．7．（3分）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，则x+y的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得x＝﹣4，y＝2，再计算x+y即可．【解答】解：∵点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，∴x＝﹣4，y＝2，∴x+y＝﹣4+2＝﹣2．故选：B．8．（3分）在抛物线y＝x2﹣2x+3上有，B（2，y2）和C（3，y2）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3【分析】依据题意，由抛物线为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，从而抛物线的对称轴是直线x＝1，且抛物线的开口向上，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，且抛物线的开口向上．∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又∵|3﹣1|＝2＞|﹣﹣1|＝＞|2﹣1|＝1，∴y2＜y1＜y3．故选：C．9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，由等腰三角形的性质可求∠B＝70°，由三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝70°，∴∠C＝∠E＝55°，∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，故选：B．10．（3分）二次函数y＝ax2+mx+n的图象如图，对称轴是直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．amn＜0 B．2a+m＝0 C．a+m+n＞0 D．3a+n＜0【分析】根据二次函数的图象与对称轴可以判断选项A和B的正误，根据当x＝1时的函数值小于0，可以判断选项C的正误，根据抛物线的对称性可以判断选项D的正误；从而得解．【解答】解：根据图象可知，开口向上，且与y轴交点在x轴下方，∴a＞0，n＜0，∵对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣＝1＞0．∴m＝﹣2a＜0，∴amn＞0，2a+m＝0．故选项A错误，符合题意；选项B正确，符合题意；由图象可知，当x＝1时，函数值y＜0即a+m+n＜0，故选项C错误，不符合题意；根据抛物线的对称性，知当x＝﹣1与x＝3时，对应的函数值均等于零，∴a﹣m+n＝0①，9a+3m+n＝0②0；∴①×3+②得，3a+n＝0．故选项D错误，不符合题意；故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）函数y＝x2m+x﹣1是二次函数，则m＝1．【分析】根据二次函数的定义可得2m＝2，求出m的值即可．【解答】解：∵函数y＝x2m+x﹣1是二次函数，∴2m＝2，解得：m＝1，故答案为：1．12．（3分）某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程50（1+x）2＝72．【分析】根据这两个月的产值平均月增长率为x，则2月份的产值是50（1+x），3月份的产值是50（1+x）（1+x），从而列方程即可．【解答】解：根据题意，得50（x+1）2＝72．故答案为：50（1+x）2＝72．13．（3分）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB．若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是3cm．【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程即可．【解答】解：∵BC⊥OA，BC＝8cm，∴BD＝CD＝BC＝4cm，BD2+OD2＝OB2，∵OB＝5cm，∴42+OD2＝52，∴OD＝3或OD＝﹣3（舍去），∴OD的长是3cm，故答案为：3．14．（3分）设m，n为关于x的方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+4m+n＝2020．【分析】先根据m是x2+3x﹣2023＝0的一个实数根得出m2+3m﹣2023＝0，利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣2023＝0的一个实数根，∴m2+3m﹣2023＝0，即m2+3m＝2023．由一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，∴m2+4m+n＝m2+3m+（m+n）＝2023+（﹣3）＝2020．故答案为：2020．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB+AC＝4，将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD，则线段AD的长度的最小值是2．【分析】通过旋转△ABC构造△EDC，然后由已知条件推导出∠AED＝90°，再由勾股定理得出AD关于AC的表达式，最后根据配方法得出AD的最小值．【解答】解：如图，把AC以点C为中心顺时针旋转120°得到CE．连接AD，AE，过点C作AE的垂线，F为垂足．故相当于△EDC是由△ABC以点C为中心顺时针旋转120°后得到的图形．则AB＝DE，CE＝AC，AB＝DE．∠DEC＝∠BAC＝120°，∵∠ACE＝120°，AC＝CE，∴∠AEC＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∵∠DEC＝120°＝∠AEC+∠AED，∴∠AED＝90°．设AC＝x（0＜x＜4），则AB＝DE＝4﹣x，CE＝x，AE＝2FE＝x．在Rt△AED中，AD＝＝＝．∵4x2﹣8x+16＝（2x﹣2）2+12≥12，此时x＝1，符合题意．∴AD≥＝2．故答案为：2．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）16．（8分）解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0；（2）3x2+1＝4x．【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7＝0，（x﹣7）（x+1）＝0，∴x﹣7＝0或x+1＝0，∴x1＝7，x2＝﹣1．（2）3x2+1＝4x，3x2﹣4x+1＝0，（3x﹣1）（x﹣1）＝0，∴3x﹣1＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝1．17．（8分）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（2，3）和（﹣1，﹣3），求这个二次函数的表达式．【分析】用待定系数法可得答案．【解答】解：把（2，3）和（﹣1，﹣3）代入y＝ax2+c得：，解得，∴这个二次函数的表达式为y＝2x2﹣5．18．（8分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，若AB＝4，AC＝3，BC＝2，求BE的长．【分析】根据旋转的性质得AB＝AE，由旋转角为60°易得△ABE为等边三角形，再由BE＝AB求出答案．【解答】解：根据旋转的性质，AB＝AE，∵旋转角∠ABE＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝4．故BE的长度为4．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝26，EB＝8，求弦CD的长．【分析】连接OC，根据垂径定理得到CE＝ED，根据AB＝26求出OC、OB的长，根据EB＝8求出OE的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴，，∴OE＝OB﹣EB＝13﹣8＝5，在Rt△OCE中，由勾股定理得：，∴CD＝2CE＝24．20．（9分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）方程＝0是不是“弦系一元二次方程”：是（填“是”或“否”）；（2）写出一个“弦系一元二次方程”3x2+5x+4＝0；（3）在（2）的条件下，判断此方程根的情况．【分析】（1）根据“弦系一元二次方程”的定义判断即可；（2）根据“弦系一元二次方程”的定义构建方程即可；（3）证明Δ≥0．【解答】解：（1）由题意a＝，b＝，c＝3，∴a2+b2＝c2，∴a，b，c能构造直角三角形，∴方程x2+3x+＝0是“弦系一元二次方程”，故答案为：是；（2）“弦系一元二次方程”：3x2+5x+4＝0．故答案为：3x2+5x+4＝0．（3）对于一元二次方程3x2+5x+4＝0，∵Δ＝（5）2﹣4×3×4＝2＞0，∴一元二次方程3x2+5x+4＝0，有两个不相等的实数根．21．（9分）卡塔尔世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于45元，且获利不高于50%．试销售期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出310本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？（3）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2600元？【分析】（1）根据销售单价每涨1元，每天销售量减少10本可得y与x的函数关系式，根据销售单价不低于45元，且获利不高于50%可得x的取值范围；（2）销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；（3）由（2）得w＝﹣10（x﹣58）2+3240，把w＝2600代入即可得销售单价．【解答】解：（1）由题意得：y＝310﹣10（x﹣45）＝﹣10x+760，即y＝﹣10x+760，每本进价40元，且获利不高于50%，即最高价为60元，即x≤60，故：45≤x≤60；（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+760）＝﹣10（x﹣58）2+3240，当x＜58时，w随x的增大而增大，而45≤x≤60，所以当x＝58时，w有最大值，最大值为3240，答：将足球纪念册销售单价定为58元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润3240元；（3）由（2）得w＝﹣10（x﹣58）2+3240，把w＝2600代入得﹣10（x﹣58）2+3240＝2600，解得x1＝50，x2＝66（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2600元．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22．（12分）将线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，连接BC得△ABC，又将线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD（如图①）．（1）求∠ABD的大小（结果用含α的式子表示）；（2）又将线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，连接CE（如图②）求∠BCE；（3）连接DC、DE，试探究当α为何值时，∠DEC＝45°．【分析】（1）由于线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，根据旋转的性质得AB＝AC，∠BAC＝α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，再由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得∠CBD＝60°，然后利用∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD进行计算；（2）由线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，根据旋转的性质得AB＝AE，∠BAE＝60°，则AC＝AE，∠CAE＝60°﹣α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ACE＝∠AEC＝60°+α，然后利用∠BCE＝∠ACB+∠ACE计算得到∠BCE＝150°；（3）由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得BC＝BD，∠CBD＝60°，则可判断△BCD为等腰直角三角形，则∠BCD＝60°，CD＝BC，所以∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°，加上∠DEC＝45°，于是△DEC为等腰直角三角形，则CE＝CD，所以CB＝CE，然后利用“SSS”证明△ABC≌△AEC，得到∠BAC＝∠EAC，所以α＝∠BAE＝30°．【解答】解：（1）∵线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝α，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，∴∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α（0°＜α＜60°）；（2）∵线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴AC＝AE，∠CAE＝60°﹣α，∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣60°+α）＝60°+α，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°﹣α+60°+α＝150°；（3）如图②，∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°，CD＝BC，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝150°﹣60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴CE＝CD，∴CB＝CE，在△ABC和△AEC中，∴△ABC≌△AEC（SSS），∴∠BAC＝∠EAC，∴∠BAC＝∠BAE＝30°，即α＝30°，当α为30°时，∠DEC＝45°．23．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4（a≠0），图象记为L．（1）如图，a＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；（2）在（1）的条件下，将二次