抛物线与阿基米德三角形（模拟+真题）（原卷版）

抛物线与阿基米德三角形1．（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（

）A．线段长度的最小值为2 B．的形状为锐角三角形C．三点共线 D．的坐标不可能为2．（2023·福建三明·统考三模）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（

）A． B． C． D．4．（2022·河南平顶山·长葛市第一高级中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线（不与x轴垂直）交抛物线于A，B两点，以AB为直径作圆Q，过点引圆Q的两条切线，切点为P，S，若∠PMS＝90°，则直线AB的斜率为（

）A．1 B．－2 C．1或 D．1或－25．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线交于点M，若，则（

）A． B． C． D．36、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____7、（多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4 B.C.△NAB面积的最小值为6 D.若直线AB的斜率为，则8、已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率．9、（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（

）A． B．C． D．以为直径的圆过点10、（多选）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（

）A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点C．线段长的最小值为 D．11、已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆（）与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．12、已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．13、过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（

）

A．切点与右焦点重合 B．C． D．14、（2024·广东中山·中山纪念中学校考二模）（多选题）已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为，的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．若F恰好为的中点，则直线的斜率为D．直线过定点15．（2024·吉林白山·统考一模）（多选题）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若为的准线上任意一点，则（

）A．直线若的斜率为，则 B．的取值范围为C． D．的余弦有最小值为16．（2023·广东广州·统考三模）（多选题）已知，是抛物线上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点M是线段的中点，则（

）．A．C的准线为B．当直线的斜率k存在时，C．当A，B，F三点共线时，D．当直线过点时，17．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于、两点，为线段中点，、、分别为、、在上的射影，且，则下列结论中正确的是（）A．的坐标为 B．C．、、、四点共圆 D．直线的方程为18．（2023·重庆·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为（为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面沿x轴折起，使平面平面，则三棱锥体积为；若，则异面直线，所成角的余弦值取值范围为．19．（2023·陕西榆林·统考二模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为；若，且平分，则.20．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．21．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．（1）证明：轴；（2）直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．22．抛物级的焦点到直线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）设直线交抛物线于，，，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证：．23．已知抛物线的方程为，点是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．24．如图，已知抛物线上的点的横坐标为1，焦点为，且，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为线段上的动点，过作抛物线的切线，切点为（异于点，，且直线交线段于点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）设，的面积分别为，，求的最小值．25．（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.(1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.26．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C，D为抛物线上的动点，且，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；(3)在（2）的条件下，求的最大值．27．（2020·全国·校联考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2．(1)求抛物线N的方程；(2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值．28．（2021·浙江嘉兴·统考模拟预测）抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上一点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AP､BP分别交准线于M､N.当，点P恰好与原点O重合时，的面积为4.（1）求抛物线C的方程；（2）记点的横坐标与AB中点的横坐标相等，若，求的最小值.29．（2020·广东东莞·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆心，点E在直线上，点P满足，，点P的轨迹为曲线M．（1）求曲线M的方程．（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若、、成等差数列，求直线l的方程．

30．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．31．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．332．（2020·北京·统考高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（

）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线33．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．1034．（2007·山东·高考真题）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（

）A． B． C． D．35．（2015·天津·高考真题）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A． B． C． D．36．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．37．（2022·全国·统考高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．38．（2023·全国·统考高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（

）．A． B．C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形39．（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.40．（2020·山东·统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于.41．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.42．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．43．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.44．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.45．（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点